數(shù)學(xué)分析課本(華師大三版)習(xí)題及答案第十七章

1、第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)一、 證明題1. 證明函數(shù) 在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,但在此點(diǎn)不可微.2. 證明函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0,0)不連續(xù),而f在原點(diǎn)(0,0)可微.3. 證明: 若二元函數(shù)f在點(diǎn)p(x0,y0)的某鄰域U(p)內(nèi)的偏導(dǎo)函數(shù)fx與fy有界,則f在U(p)內(nèi)連續(xù).4. 試證在原點(diǎn)(0,0)的充分小鄰域內(nèi)有x+y.5. 試證:(1) 乘積的相對(duì)誤差限近似于各因子相對(duì)誤差限之和;(2) 商的相對(duì)誤差限近似于分子和分母相對(duì)誤差限之和.6.設(shè)Z=,其中f為可微函數(shù),驗(yàn)證+=.7.設(shè)Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f為可微函數(shù),證明:

2、sec x + secy=1.8.設(shè)f(x,y)可微,證明:在坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換x=u cos-v sin, y=u sin+v cos之下.+是一個(gè)形式不變量,即若g(u,v)=f(u cos-v sin,u sin+v cos).則必有+=+.(其中旋轉(zhuǎn)角是常數(shù))9.設(shè)f(u)是可微函數(shù),F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),試求:Fx(0,0)與Fg(0,0)10.若函數(shù)u=F(x,y,z)滿(mǎn)足恒等式F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t>0)則稱(chēng)F(x,y,x)為K次齊次函數(shù).試證下述關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理:可微函數(shù)F(x,y,z)為K次齊次函數(shù)的充要條件是:+=KF

3、(x,y,z).并證明:Z=為二次齊次函數(shù).11.設(shè)f(x,y,z)具有性質(zhì)f=(x,y,z)(t>0)證明:(1) f(x,y,z)=;(2) +=nf(x,y,z).12.設(shè)由行列式表示的函數(shù)D(t)=其中(i,j=1,2,n)的導(dǎo)數(shù)都存在,證明=13.證明:(1) grad(u+c)=grad u(c為常數(shù));(2) graqd(u+v)=grad u+grad v(,為常數(shù));(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=(u)grad u.14.設(shè)f(x,y)可微,L1與L2是R2上的一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量,試證明;若(i=1,2)則f(x,

4、y)常數(shù).15.通過(guò)對(duì)F(x,y)=sin x cos y施用中值定理,證明對(duì)某 (0,1),有=.16.證明:函數(shù)u=(a,b為常數(shù))滿(mǎn)足熱傳導(dǎo)方程:=17.證明:函數(shù)u=(a,b為常數(shù))滿(mǎn)足拉普拉斯方程:+=0.18.證明:若函數(shù)u=f(x,y)滿(mǎn)足拉普拉斯方程:+=0.則函數(shù)V=f(,)也滿(mǎn)足此方程.19.設(shè)函數(shù)u=,證明:=.20.設(shè)fx,fy和fyx在點(diǎn)(x0,y0) 的某領(lǐng)域內(nèi)存在,fyx在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù),證明fxy(x0,y0)也存在,且fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0),21.設(shè)fx,fy在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在且在點(diǎn)(x0,y0)可微,則有fxy(x0

5、,y0)= fyx(x0,y0)二、計(jì)算題1.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):(1) Z=x2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=;(4) Z=ln(x+y2); (5) Z=exy; (6) Z=arctg;(7) Z=xyesin(xy); (8) u=;(9) u=(xy)z; (10) u=.2. 設(shè)f(x,y)=x+(y-1)arcsin; 求fx(x,1).3. 設(shè)考察函數(shù)f在原點(diǎn)(0,0)的偏導(dǎo)數(shù). 4. 證明函數(shù)Z=在點(diǎn)(0,0)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在.5. 考察函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的可微性.6. 求下列函數(shù)在給定點(diǎn)的全微分;(1) Z=x4+y4-4x2y2在點(diǎn)(0,0),(1,1)

6、;(2) Z=在點(diǎn)(1,0),(0,1).7. 求下列函數(shù)的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xeyx+e-z+y8. 求曲面Z=arctg在點(diǎn)處的切平面方程和法線(xiàn)方程.9. 求曲面3x2+y2-Z2=27在點(diǎn)(3,1,1)處的切平面方程與法線(xiàn)方程.10. 在曲面Z=xy上求一點(diǎn),使這點(diǎn)的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并寫(xiě)出這切平面方程和法線(xiàn)方程.11. 計(jì)算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 設(shè)園臺(tái)上下底的半徑分別為R=30cm, r=20cm高h(yuǎn)=40c

7、m. 若R,r,h分別增加3mm,4mm,2mm.求此園臺(tái)體積變化的近似值.13. 設(shè)二元函數(shù)f在區(qū)域D=a,b×c,d上連續(xù)(1) 若在intD內(nèi)有fx0,試問(wèn)f在D上有何特性?(2) 若在intD內(nèi)有fx=fy0,f又怎樣?(3) 在(1)的討論中,關(guān)于f在D上的連續(xù)性假設(shè)可否省略?長(zhǎng)方形區(qū)域可否改為任意區(qū)域?14. 求曲面Z=與平面y=4的交線(xiàn)在x=2處的切線(xiàn)與OZ軸的交角.15. 測(cè)得一物體的體積v=4.45cm3,其絕對(duì)誤差限為0.01cm3,又測(cè)得重量W=30.80g,其絕對(duì)誤差限為0.018,求由公式d=算出的比重d的相對(duì)誤差限和絕對(duì)誤差限.16.求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

8、或?qū)?shù):(1) 設(shè)Z=arc tg(xy),y=ex,求;(2) 設(shè)Z=,求,;(3) 設(shè)Z=x2+xy+y2,x=t2,y=t,求;(4) 設(shè)Z=x2lny,x=,y=3u-2v,求，；(5) 設(shè)u=f(x+y,xy),求,;(6) 設(shè)u=f,求,.17.求函數(shù)u=xy2+z3-xyz在點(diǎn)(1,1,2)處沿方向L(其方向角分別為60,°45°,60°)的方向?qū)?shù).18.求函數(shù)u=xyz在點(diǎn)A(5,1,2)處沿到點(diǎn)B(9,4,14)的方向AB上的方向?qū)?shù).19.求函數(shù)u=x2+2y2+3z2+xy-4x+2y-4z在點(diǎn)A(0,0,0)及點(diǎn)B(5,-3,)處的梯度以

9、及它們的模.20.設(shè)函數(shù)u=ln,其中r=求u的梯度;并指出在空間哪些點(diǎn)上成立等式=1.21設(shè)函數(shù)u=,求它在點(diǎn)(a,b,c)的梯度.22.設(shè)r=,試求:(1)grad r; (2)grad .23.設(shè)u=x3+y3+z33xyz,試問(wèn)在怎樣的點(diǎn)集上grad u分加滿(mǎn)足:(1)垂直于Z軸,(2)平行于Z軸(3)恒為零向量.24.設(shè)f(x,y)可微,L是R2上的一個(gè)確定向量,倘若處處有fL(x,y)0,試問(wèn)此函數(shù)f有何特征?25.求下列函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù):(1) Z=x4+y44x2y2,所有二階偏導(dǎo)數(shù);(2) Z=ex(cos y+x sin y),所有二階偏導(dǎo)數(shù);(3) Z=xln(xy),;

10、(4) u=xyzex+y+z,;(5) Z=f(xy2,x2y),所有二階偏導(dǎo)數(shù);(6) u=f(x2+y2+x2),所有二階偏導(dǎo)數(shù)；(7)Z=f(x+y,xy,),zx, zxx, Zxy.26.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x2+y2)在點(diǎn)(0,0)(到二階為止);(2) f(x,y)=在點(diǎn)(1,1)(到三階為止);(3) f(x,y)=ln(1+x+y)在點(diǎn)(0,0);(4) f(x,y)=2x2xyy26x36+5在點(diǎn)(1,2).27.求下列函數(shù)的極值點(diǎn):(1) Z=3axyx3y3 (a>0);(2) Z=x2+5y26x+10y+6;(3)

11、Z=e2x(x+y2+2y).28.求下列函數(shù)在指定范圍內(nèi)的最大值與最小值.(1) Z=,+；(2) Z=,;(3) Z=sinx+singsin(x+y),29.在已知周長(zhǎng)為2P的一切三角形中,求出面積為最大的三角形.30.在xy平面上求一點(diǎn),使它到三直線(xiàn)x=0,y=0,及x+2y16=0的距離平方和最小.31.已知平面上n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,.試求一點(diǎn),使它與這n個(gè)點(diǎn)距離的平方和最小.32.設(shè) u=求(1)ux+uy+uz; (2)xux+yux+zuz; (3)uxx+uyy+uzz.33.設(shè)f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx,試按h,k,L的下正整數(shù)冪展開(kāi)f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研復(fù)習(xí)題1. 設(shè)f(x,y,z)=x2y+y2z+z2x,證明fx+fy+fz=(x+y+z)2.2. 求函數(shù)在原點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)fx(0,0)與fy(0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 設(shè) 證明: (1) (2) .4. 設(shè)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)的n階偏導(dǎo)數(shù):試