基本不等式知識(shí)點(diǎn)

1、基本不等式知識(shí)點(diǎn)1、不等式的基本性質(zhì)（對(duì)稱性）（傳遞性）b,b（可加性）（同向可加性）ab,c（異向可減性）ab,c（可積性）b,cacbcab,c0ac（同向正數(shù)可乘性）bca0,cdacbd（異向正數(shù)可除性）0,0cd（平方法則）_nnab(nN,且n1)（開方法則）7an/b(n1)（倒數(shù)法則）1b'a2、幾個(gè)重要不等式22_ab2aba,，（當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取”"號(hào)）.變形公式:ab2-2ab2（基本不等式）aba,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取到等號(hào)）變形公式：a2高abab2用基本不等式求最值時(shí)三相等”.（積定和最小，和定積最大）,要注意滿足三個(gè)條件“一正（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平

2、均不等式）abc時(shí)取到等號(hào)）bc3，abc/3(a、thcR)（當(dāng)且僅當(dāng)a2b2c2abbccaa,bR(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)).333_a3b3c33abc(a0,b0,c0)(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)).b若ab0,貝一a2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）若ab皿b0,則一a2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）,(其中ab0,m0,n0)規(guī)律:小于1同加則變大，大于1同加則變小.當(dāng)a0時(shí)，xa;絕對(duì)值三角不等式3、幾個(gè)著名不等式a.平均不等式:號(hào)）.（即調(diào)和平均變形公式：幾何平均ab算術(shù)平均b2ba2b2平方平均）.(ab)22,（a,bR,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取""哥平均不等式:22ai

3、a22ann二維形式的三角不等式:1(aia2an)2.2222,xiyi,x2y2(xix2)(yiy2)(xi>Yl>x2)y2R).二維形式的柯西不等式:(a2b2)(c2d2)(ac2,bd）（a，b，c，dR）.當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立.三維形式的柯西不等式：222222(a,a2a3)(b,b24)(a一般形式的柯西不等式：222222(aia.an)(1blb2.bn)向量形式的柯西不等式：1111rurltirur設(shè)，是兩個(gè)向量，則,等號(hào)成立.排序不等式(排序原理)：a2b2a3b3).2(aibia2b2.anbn).irurur當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k

4、,使k時(shí),設(shè)aia2.an,bib?.4為兩組實(shí)數(shù).g。,.，g是白電,.，bn的任一aibna2bni.anbaiCia2c2.angaQa2b2.anbn.(反序和順序和)，當(dāng)且僅當(dāng)aia2.an或b1b2.bn時(shí)，反序和等于順序和琴生不等式：(特例：凸函數(shù)、凹函數(shù))若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x)，對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x,X2(XiX2),有f(Xx2)f(x)f(X2)或f(Xx2)f(x)f(x2)2)22)2.則稱f(x)為凸(或凹)函數(shù)4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法(作差，作商法)、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法

5、等常見不等式的放縮方法：i23(a舍去或加上一些項(xiàng)，如24將分子或分母放大(縮小)，22i22,kJk；kJk.kJi0)1111-2，-2,如kk(ki)kk(ki)i2*-r=(kN,ki)VkVkVki等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或2(a0,b4ac0)解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿(奇穿偶切)，結(jié)合原式不等號(hào)的方向,寫

6、出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則里0f(x)g(x)0g(x)f(x)0f(x)g(x)0g(x)g(x)0(“或”時(shí)同理)規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解：f(x)0,f(x)a(a0)12f(x)a,f(x)a(a0)f(x)0f(x)a2.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)00或2g(x)f(x)g(x),f(x)g(x)(4)f(x)0g(x)02f(x)g(x)2.f(x).g(x)f(x)0g(x)0f(x)g(x)規(guī)律：把無理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解9、指數(shù)不等式

7、的解法：f(x)g(x)當(dāng)a1時(shí),aaf(x)g(x)f(x)g(x)當(dāng)0a1時(shí)aaf(x)g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化10、對(duì)數(shù)不等式的解法f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0當(dāng)a1時(shí)，f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.當(dāng)0a1時(shí)，f(x)g(x)規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對(duì)值不等式的解法：a(a0)a.定義法：a(a0)平方法："')g(x)f2(x)g2(x).同解變形法，其同解定理有： xaaxa(a0); xaxa或xa(a0); |f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0) f

8、(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).12、含有兩個(gè)(或兩個(gè)以上)絕對(duì)值的不等式的解法：規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法2解形如axbxc0且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有:討論a與0的大小；討論與0的大小；討論兩根的大小.14、恒成立問題2不等式axbxc0的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a0時(shí)b0,c0；a0當(dāng)a0時(shí)0.2不等式axbxc0的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a0時(shí)b0,c0;a0當(dāng)a0時(shí)0.f(x)/值成立f(x)maxa;f(x)a恒成立f(x)maxa;f(x)2恒成立f(x)mina；f(x)a恒成立f(x)mina.15、線性規(guī)劃問