行列式的性質(zhì)與計(jì)算

1、1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa性質(zhì)性質(zhì)1 行列互換行列互換, 行列式不變行列式不變. 即即(稱為稱為D的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式) D記記TD記記 性質(zhì)性質(zhì)1表明表明, 在行列式中行與列的地位是對稱的在行列式中行與列的地位是對稱的, 因之因之凡是有關(guān)行的性質(zhì)凡是有關(guān)行的性質(zhì), 對列也同樣成立對列也同樣成立. 一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì) 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11122212000nnnnaaaaaa 在上一節(jié)中在上一節(jié)中, 我們從行列式的定義得到我們從行列式的

2、定義得到, 下三角行列下三角行列式等于對角線元素的乘積式等于對角線元素的乘積. 由性質(zhì)由性質(zhì)1, 對于上三角行列式對于上三角行列式也有同樣的結(jié)論也有同樣的結(jié)論.11121222000Tnnnnaaaaaa1122nna aa1niiia11121222000nnnnaaaaaa3機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)2. 行列式的兩行行列式的兩行(列列)互換互換, 行列式反號行列式反號. 1112111121121212121212nniiinjjjnjjjniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1111111111212222122211klnlkn

3、klnlknnnknlnnnnlnknnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 即即4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,571571 266853.825825 3615675673612668530 cbacba再如再如,cbacba cbacba 5機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Cor1. 如果行列式有兩行如果行列式有兩行(列列)相同相同, 則行列式為零則行列式為零. 性質(zhì)性質(zhì)3 111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakakaaaaaaaaa111111112122212211jnjnjnjnnnjnnnnj

4、nnakaaaaaakaaaaakakaaaaa 一個(gè)數(shù)乘以行列式某一行一個(gè)數(shù)乘以行列式某一行(列列), 等于用這個(gè)等于用這個(gè)數(shù)乘以這個(gè)行列式數(shù)乘以這個(gè)行列式. 即即6機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)有公因子有公因子k, 則可將這則可將這個(gè)公因子提到行列式外個(gè)公因子提到行列式外. Cor1. Cor2. 如果行列式的有兩行如果行列式的有兩行(列列)成比例成比例, 則行列式為零則行列式為零.Cor3. 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)全為零全為零,則行列式為零則行列式為零.例如例如123331182122 1282 2 3113 ,11

5、4 1263642841 126332184120963321 7機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 應(yīng)用應(yīng)用44434241343332312423222114131211kakakakakakakakakakakakakakakaka44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaak4(1)44434241343332313433323114131211aaaaaaaakakakakaaaaa44434241343332313433323114131211aaaaaaaaaaaaaaaak=0(2)8機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果行

6、列式某一行如果行列式某一行(列列)是兩組數(shù)的和是兩組數(shù)的和, 則此行則此行列式等于兩個(gè)行列式的和列式等于兩個(gè)行列式的和, 這兩個(gè)行列式的這一行這兩個(gè)行列式的這一行(列列)分別是第一組數(shù)和第二組數(shù)分別是第一組數(shù)和第二組數(shù), 而其余各行而其余各行(列列)與原來行與原來行列式的相應(yīng)各行列式的相應(yīng)各行(列列)相同相同. 性質(zhì)性質(zhì)4. 11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabababaaabbbaaaaaaaaa即即11111111111112122221222122111jjnjnjnjjnjnjnn

7、njnjnnnnjnnnnjnnaabaaaaabaaabaaaaabaaabaaaaaba9機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如600300301395200199204100103600300130039520012002041003100 600300300395200200204100100 60030013952001204100310機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 行列式的某一行行列式的某一行(列列)乘以一個(gè)數(shù)加到另一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行(列列), 行列式不變行列式不變. 性質(zhì)性質(zhì)5. 即即111211112112121211221212nniiiniiinjjjni

8、jijinjnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaa111111111112122221222211klnkklnklnkklnnnknlnnnnknknlnnaaaaaacaaaaaaaaacaaaaaaaaacaaaQ. E. F.11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 基本思想基本思想: 化高階行列式為較低階的行列式化高階行列式為較低階的行列式. 定義定義. 在在n階行列式階行列式D中中,劃去元素劃去元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列列, 剩下的剩下的(n 1)2個(gè)元素依原順序組成一個(gè)個(gè)元素依原順序組成一個(gè)n 1階行列式階行列式稱為元素稱為

9、元素aij 的的余子式余子式, 記為記為Mij . 在余子式在余子式Mij 的前面貫的前面貫以符號以符號( 1)i+j, 稱稱Aij =( 1)i+j Mij 為元素為元素aij的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式. nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa例如三階行列式例如三階行列式的代數(shù)余子式為：的代數(shù)余子式為：2223113233

10、aaMaa1213213233aaMaa1213312223aaMaa12132 1213233( 1)aaAaa 22231 1113233( 1)aaAaa 12133 1312223( 1)aaAaa 余子式余子式代數(shù)余子式代數(shù)余子式13機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa2123123133aaMaa1113223133aaMaa1113322123aaMaa11132 2223133( 1)aaAaa 21231 21231

11、33( 1)aaAaa 11133 2322123( 1)aaAaa 余子式余子式代數(shù)余子式代數(shù)余子式14機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa2122133132aaMaa1112233132aaMaa1112332122aaMaa11122 3233132( 1)aaAaa 21221 3133132( 1)aaAaa 11123 3332122( 1)aaAaa 余子式余子式代數(shù)余子式代數(shù)余子式15機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

12、束 有了代數(shù)余子式的概念有了代數(shù)余子式的概念, 我們回憶三階行列式的展開我們回憶三階行列式的展開式式.333231232221131211aaaaaaaaaD 112233122331132132a a aa a aa a a132231122133112332a a aa a aa a a112233233212213323311321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa2223212321221 11 21 3111213323331333132( 1)( 1)( 1)a

13、aaaaaaaaaaaaaa111112121313a Aa Aa A16機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n階行列式階行列式D等于它的任一行等于它的任一行(列列)元素與其元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和. 定理定理1. 即即 1122,iiiiininDa Aa Aa A(1,2, )in或或1122,jjjjnjnjDa Aa Aa A(1,2, )jn031521413 52411 03523 )0341()1( 1312153 20 第第1列展開列展開例子例子17機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 行列式按一行行列式按一行(列列)展開的這個(gè)性質(zhì)特別適用于計(jì)

14、算展開的這個(gè)性質(zhì)特別適用于計(jì)算某一行某一行(列列)有諸多有諸多“0”的行列式的計(jì)算的行列式的計(jì)算, 因?yàn)榇诵再|(zhì)可因?yàn)榇诵再|(zhì)可將其化成低一階的行列式的計(jì)算將其化成低一階的行列式的計(jì)算. 11212221200nnnnnaaaaaaa111112100na AAA 例子例子1111a A2221 1112( 1)nnnnaaaaa18機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式nD 解解: 將行列式按第一列展開將行列式按第一列展開1 11000000000000( 1)nnabaabDaa11000000000( 1)0nnbabbabb 1( 1)nnnab Q. E

15、. F.19機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由于行列由于行列式中式中, 上上(下下)三角形行列式容易計(jì)算三角形行列式容易計(jì)算, 因此因此計(jì)算行列式的一個(gè)基本方法是利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的一個(gè)基本方法是利用行列式的性質(zhì), 把行把行列式化成上列式化成上(下下)三角形行列式進(jìn)行計(jì)算三角形行列式進(jìn)行計(jì)算. 三、行列式的計(jì)算三、行列式的計(jì)算 2101044614753124025973313211 D例例2. 求下行列式求下行列式D的值的值20機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2101044614753124025973313211 D3 解解:210104461475312402201001

16、3211312 rr21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 23機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 24機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 Q. E. F.25機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 證明證明證明證明:Q. E. D.26機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求下行列式求下行列式D的值的值.解解:D D 27機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下