可壓縮氣體的一元流動

1、第六章第六章 可壓縮氣體的一元流動可壓縮氣體的一元流動 重 點v可壓縮氣體的基本知識可壓縮氣體的基本知識v聲速、馬赫數(shù)聲速、馬赫數(shù)v一元定常氣流的基本方程及特征一元定常氣流的基本方程及特征v氣體在變截面噴管中的流動。氣體在變截面噴管中的流動。 可壓縮氣體運動規(guī)律可壓縮氣體運動規(guī)律及其工程應(yīng)用工程應(yīng)用 航空航天、汽車等，成為流體力學(xué)獨立分支航空航天、汽車等，成為流體力學(xué)獨立分支 1.1.過流斷面上的平均值變化規(guī)律（非空間場）過流斷面上的平均值變化規(guī)律（非空間場） 2.2.氣動力學(xué)的基本內(nèi)容，許多問題可以簡化為氣動力學(xué)的基本內(nèi)容，許多問題可以簡化為此類問題，發(fā)動機供氣，汽輪機等。此類問題，發(fā)動機供

2、氣，汽輪機等。0, const, VE 比定容熱容和比定壓熱容比定容熱容和比定壓熱容VpccVcpc定容比熱容定壓比熱容兩者的關(guān)系氣體的狀態(tài)方程氣體的狀態(tài)方程),(TVpp ),(TVEE ),(TVSS 熱力學(xué)溫度流體的內(nèi)能熵SET熱力學(xué)過程熱力學(xué)過程等溫過程 絕熱過程 等熵過程 2112VVpp0dQkp常數(shù) 或者 kpv 常數(shù) 工程熱力學(xué)（4）沈維道，P.1126.1 聲速和馬赫數(shù)聲速和馬赫數(shù) 當(dāng)氣流速度比較大時，必須考慮壓縮性效應(yīng)。氣體壓縮性對流動性能的影響，是用氣流速度接近聲速的程度來決定的，這就 涉 及 到 聲 速 和 馬 赫 數(shù) 兩 個 概 念 。 6.1.1 聲速 聲速是微弱擾

3、動波在彈性介質(zhì)中的傳播速度v在移動前氣體的質(zhì)量為在移動前氣體的質(zhì)量為 v而移動后氣體的質(zhì)量為而移動后氣體的質(zhì)量為 v根據(jù)質(zhì)量守恒可得根據(jù)質(zhì)量守恒可得 v消去消去 ，得，得 (6.1.1) tAcdtAucd)d)(d(tAuctAcdd)d(d）（ tAddddcu動量變化和所受到的合外力沖量消去 得 (6.1.2) )0d(dddutActpAtAdcpudd cpcddd( +d )pp ApAdddcu)d1 (ddpcddpc 聲速公式(弱擾動)：聲速是反映流體壓縮性大小的物理參數(shù)，聲速是反映流體壓縮性大小的物理參數(shù)，聲速聲速c c越小，流體的可壓縮性越大。越小，流體的可壓縮性越大。c

4、pcddd等熵過程條件 v完全氣體的狀態(tài)方程式kpcRTpk為絕熱指數(shù)1ddkpkc1ddkppkck工程熱力學(xué)（4）沈維道，P.112R為氣體常數(shù)v (6.1.9) v (6.1.10) kRTkppcddsmTTc1 .202874 . 11.4k 空氣空氣KkgJR1 .287在式（6.1.9）的推導(dǎo)過程中，并未對介質(zhì)提出特殊要求，故該式既適用于氣體，也適用于液體，乃至適用于一切彈性連續(xù)介質(zhì)適用于一切彈性連續(xù)介質(zhì)。ddppkpRTddpc 6.1.2馬赫數(shù) v定義流場中某一點的速度與該點的當(dāng)?shù)芈曀僦葹轳R赫數(shù) v (6.1.11) cuMa 22uMakRT對于完全氣體對于完全氣體根據(jù)擾

5、動源速度根據(jù)擾動源速度u的大小分為四種情況的大小分為四種情況MaMa1 1 MaMa=1 =1 MaMa1 1 小于聲速小于聲速 等于聲速等于聲速大于聲速大于聲速 MaMa=0=0 擾動源不動擾動源不動 v（1 1）擾動源不動。）擾動源不動。v此時弱擾動沿各個方向以聲速傳播，其波面為同此時弱擾動沿各個方向以聲速傳播，其波面為同心圓球面。心圓球面。v（2 2）擾動源的速度小于聲速，）擾動源的速度小于聲速，ucuc，即，即Ma1Mac,uc,即即Ma1Ma1。v此時擾動源始終在波面前方，這時擾動與未擾動此時擾動源始終在波面前方，這時擾動與未擾動氣體的分界面是一個圓錐面（亦稱馬赫錐），夾氣體的分界面

6、是一個圓錐面（亦稱馬赫錐），夾角稱為馬赫角。角稱為馬赫角。 馬赫錐的半頂角，即圓錐的母線與氣流速度方向之間的夾角，稱為馬赫角，用 表示。由上圖可以容易地看出，馬赫角 與馬赫數(shù) 之間的關(guān)系為 MaMaVc1sin馬赫角從90這時相當(dāng)于擾動源以聲速v=c流動的情況 開始，隨著馬赫數(shù)的增大而逐漸減小。由于圓錐頂就是擾動源，所以當(dāng)物體以超聲速運動時，它所引起的擾動不能傳到物體的前面。馬赫錐外面的氣體不受擾動的影響，微弱擾動波的影響僅在馬赫錐內(nèi)部，即微弱擾動波不能向馬赫錐外傳播。超聲速飛行的彈丸在附著于它頭部的波未到達(dá)觀察者的耳朵以前聽不到聲音的緣故。MaVc1sin馬赫數(shù)劃分氣體的流動狀態(tài)馬赫數(shù)劃分氣

7、體的流動狀態(tài) MaMa1 1 MaMa=1 =1 MaMa1 1 亞聲速流亞聲速流 聲速流聲速流 超聲速流超聲速流 可壓縮氣體流動分類可壓縮氣體流動分類例：一飛機在A點上空H=2000m，以速度v=1836km/h（510m/s）飛行，空氣溫度t=15（288K），A點要過多長時間聽到飛機聲？解：340/ckRTm s5101.5340vMc8 .411arcsinMHctgvtlsctgctgvHt38. 48 .415102000vlHA6.2 可壓縮氣體一元流動的基本方程式 v氣體流動時，若過流斷面上各參數(shù)均勻分布，氣體流動時，若過流斷面上各參數(shù)均勻分布，其狀態(tài)參數(shù)只是流程的函數(shù)，這種流

8、動稱為其狀態(tài)參數(shù)只是流程的函數(shù)，這種流動稱為一元流動一元流動。氣體沿管道、噴管或節(jié)流器的流。氣體沿管道、噴管或節(jié)流器的流動等都可近似認(rèn)為是一元流動。動等都可近似認(rèn)為是一元流動。v下面來討論下面來討論一元定常流動一元定常流動的基本方程式。的基本方程式。 6.2.1 可壓縮氣體總流的連續(xù)性方程式 圖圖6.2.1可壓縮性氣體在流管內(nèi)的定常流動可壓縮性氣體在流管內(nèi)的定常流動 v (6.2.2) 222111AuAucuACAuuAlnlnln)ln(0dddAAuu1.連續(xù)性方程積分形式2.連續(xù)性方程微分形式6.2.2 可壓縮性氣體的能量方程式 v由于氣體的密度很小，所以質(zhì)量力可以忽略不計。對于理想氣

9、體作定常流動，歐拉運動微分方程可寫成v沿流線的積分方程為 xpxuuddddcup2d2zvvyvvxvvtvzpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111完全氣體的等熵流動 v (6.2.4) cpk11dd1kkpkpcppkcupkk212cup2d2cupkk212ppkpkk111cpupk2112v定壓比熱： v定容比熱： v于是有：Rkk1CpRk11CvvpCC RpvCkC工程熱力學(xué)（4）沈維道，P.112ve在熱力學(xué)中稱為內(nèi)能，在熱力學(xué)中稱為內(nèi)能， h在熱力學(xué)中稱為焓在熱力學(xué)中稱為焓 v (6.2.7)

10、111()111pvvpvpRTCC TC TekkCChTCpkkpep122uhconst22PuC Tconst這就是等熵流動的能量方程Rkk1CpRk11Cv例題v例例6.2.1 設(shè)有空氣從儲氣罐經(jīng)一個變截面管道流出，如圖6.2.2所示。今測得罐內(nèi)空氣的溫度為40oC，又測得管道某處的溫度為15 oC，求該處的氣流速度u。（空氣的等壓比熱Cp1003Nm/kgK） 解：解： 這類問題稱為氣體從大容器的出流問題。假定大容器這類問題稱為氣體從大容器的出流問題。假定大容器的氣流速度為零。氣體的出流可視為絕熱過程，空氣的等的氣流速度為零。氣體的出流可視為絕熱過程，空氣的等壓比熱壓比熱 ，容器內(nèi)

11、溫度為，容器內(nèi)溫度為 ，速度為零，由能量方程得速度為零，由能量方程得 Km/kgN1003pC0T2C20uTCTpp)(2u0TTCp)15273()40273(10032m/s94.22315oC6.3 一元氣流的基本特性 v利用伯努利方程來討論一元等熵流動特定的狀態(tài)參數(shù)。 6.3.1 滯止?fàn)顟B(tài)和滯止參數(shù) v 圖6.3.1 氣體的滯止?fàn)顟B(tài) 對滯止?fàn)顟B(tài)截面和任一截面列能量方程有：對滯止?fàn)顟B(tài)截面和任一截面列能量方程有：這時焓升到最大值，即總焓，溫度達(dá)最大值，總溫這時焓升到最大值，即總焓，溫度達(dá)最大值，總溫 v (6.3.1) v (6.3.2) 202uhhconst0001pkhRTC Tk

12、21120uRTkkRTkk220T111T22pukuC TkRT 22211)(211Makcuk20 2pPuC TC T又兩邊同除以CPT得：v (6.3.4) v (6.3.5) kkkkkTTppRTpRTppp)()()()()(00000012100)211 ()(kkkkMakTTpp1121100)211 ()(kkMakTT20112TkMaT 6.3.2 最大速度狀態(tài)全部能量轉(zhuǎn)化為動能，焓為零，速度達(dá)最大速度全部能量轉(zhuǎn)化為動能，焓為零，速度達(dá)最大速度v (6.3.6) 022max1212RTkkuRTkku1212120000maxkckkRTpkku00max514

13、 . 12ccu6.3.3 臨界狀態(tài)和臨界參數(shù) v設(shè)想氣體從滯止?fàn)顟B(tài)設(shè)想氣體從滯止?fàn)顟B(tài) 開始，經(jīng)過一管道開始，經(jīng)過一管道逐漸加速流動，最后達(dá)到逐漸加速流動，最后達(dá)到 。 這中間必然有一流速恰好等于當(dāng)?shù)芈曀俚慕剡@中間必然有一流速恰好等于當(dāng)?shù)芈曀俚慕孛?，即面，?，這種狀態(tài)就稱為臨界狀態(tài)，對，這種狀態(tài)就稱為臨界狀態(tài)，對應(yīng)的氣流參數(shù)叫臨界參數(shù)，臨界參數(shù)用下標(biāo)應(yīng)的氣流參數(shù)叫臨界參數(shù)，臨界參數(shù)用下標(biāo)“*”表示。表示。00u maxuuc以臨界參數(shù)表示的能量方程220*122(1)ppukC TC TCk20111TkMaTk 2101(1)1kkpkMapk12101(1)1kkMakkkkkkTTpp

14、RTpRTppp)()()()()(000000*021cck21*0kTT1*0)21(kkkpp11*0)21(kkmax021uck20111TkMaTk 2101(1)1kkpkMapk12101(1)1kkMak1Ma 220*122(1)ppukC TC TCkmax11kuk2.滯止參數(shù)（駐點參數(shù)）設(shè)想某斷面的流速以等熵過程減小到零，此斷面的參數(shù)稱為滯止參數(shù)u0=0滯止點（駐點）00000,pT c h200121pkpukkk20121kukRTRTkk2220121ccukk202uhh性質(zhì)：（1 1）在等熵流動中，滯止參數(shù)值不變；）在等熵流動中，滯止參數(shù)值不變；（2 2）在

15、等熵流動中，速度增大，參數(shù)值降低；）在等熵流動中，速度增大，參數(shù)值降低；（3 3）氣流中最大聲速是滯止聲速；）氣流中最大聲速是滯止聲速；（4 4）在有摩擦的絕熱過程中，機械能轉(zhuǎn)化為）在有摩擦的絕熱過程中，機械能轉(zhuǎn)化為 內(nèi)能，總能量不變內(nèi)能，總能量不變T0，c0，h0不變，不變， p0，0，但，但p0/ 0=RT0不變。如有不變。如有 能量交換，吸收能量能量交換，吸收能量T0，放出能量，放出能量T000ckRT3.滯止參數(shù)與馬赫數(shù)的關(guān)系220111122TkukMaTkRT 20121kukRTRTkk11200112kkkkpTkMapT1111200112kkTkMaT1122200112c

16、TkMacT由例：容器中的壓縮氣體經(jīng)過一收縮噴嘴射出，出口絕對壓力p=100kPa，t=-30，u=250m/s，求容器中壓強和溫度解：噴口處312.5/ckRTm s1.411.4 122011.4 11100 10.8152.422kkkppMakPap2500.8312.5uMac22011.4 11273 30 10.8274.11.122kTTMaKCtTpTp、004.氣體按不可壓縮處理的極限空氣 k=1.4密度相對變化%1 . 2100取 Ma=0.2取Ma=0.4%2 . 80一般取Ma=0.2t=15時，uMac=0.2340=68m/s1111200112kkTkMaT變截

17、面的等熵流動1.氣流參數(shù)與變截面的關(guān)系由連續(xù)性方程歐拉微分方程0ddudAuA0dpudu及2dpcduMacRTp常數(shù)kp得21dAduMaAu221dAMadpAkMap 221dAMadAMa 2211dAMadTAkMaT 0ddudAuA0dpudu2dpcduMacRTp常數(shù)kp211dudAuAMa221dpkMadApMaA 221dMadAMaA 2211kMadTdATMaA 2.討論du 與與dp、d、dT異號異號流動參數(shù)Ma1漸縮管漸縮管漸擴管漸擴管漸縮管漸縮管漸擴管漸擴管流速流速u壓強壓強p密度密度溫度溫度T增大減小減小減小減小增大增大增大減小增大增大增大增大減小減小

18、減小一元等熵氣流各參數(shù)沿程的變化趨勢 211dudAuAMa221dpkMadApMaA 221dMadAMaA 2211kMadTdATMaA （1 1）亞聲速）亞聲速流動：流動：Au(p,T)由于速度變化的絕對值大于截面的變化211Ma （2 2）超聲速）超聲速流動：流動：Av(p,T)由于密度變化的絕對值大于截面的變化2211MaMavAcvA，（3 3）聲速流動）聲速流動臨界狀態(tài)（臨界參數(shù)臨界狀態(tài)（臨界參數(shù)* *）最小斷面才可能達(dá)到聲速211dudAuAMa221dMadAMaA 6.4.2噴管目的目的 氣流加速氣流加速常用類型常用類型u收縮噴管，亞聲速氣流加速收縮噴管，亞聲速氣流加速

19、u拉伐爾噴管，亞聲速加速到超聲速拉伐爾噴管，亞聲速加速到超聲速用途用途汽輪機，壓氣機和火箭等氣流加速汽輪機，壓氣機和火箭等氣流加速漸縮噴管等熵假設(shè)等熵假設(shè)u絕熱（噴管短，流速大）絕熱（噴管短，流速大）u理想氣體理想氣體能量方程能量方程等熵等熵202ppuC TC TRTp1pkCRk200112pkkpukk00kkppC1000211kkpkpukp速度公式，（圣維南定律）速度公式，（圣維南定律）1000211kkpkpukp適用于亞、超聲速流動適用于亞、超聲速流動Saint. VenantSaint. Venant質(zhì)量流量質(zhì)量流量110000211kkkmpkpquAAppkp00kkpp

20、C流入絕對真空，流入絕對真空，流量方程分析流量方程分析0p ，流量為，流量為0 0內(nèi)外壓力相等，內(nèi)外壓力相等，0pp，流量為，流量為0 0存在最大流量值存在最大流量值求極值求極值求導(dǎo)，極值條件求導(dǎo)，極值條件110000211kkkmpkpquAAppkp1021kkppk此時壓力為臨界壓力此時壓力為臨界壓力10*12kkpkp最大流量最大流量11max002211kmkqApkk代入圣維南公式，對應(yīng)流速（臨界速度，聲速）代入圣維南公式，對應(yīng)流速（臨界速度，聲速）0*002211pkucckk背壓背壓噴管出口的環(huán)境壓力噴管出口的環(huán)境壓力實際噴管的流動實際噴管的流動p，噴管內(nèi)無流動，噴管內(nèi)無流動0

21、pp，按流速流量公式算，按流速流量公式算*0ppp1000211kkpkpukp110000211kkkmpkpquAApkp，臨界狀態(tài)，臨界狀態(tài)，*pp1Ma *ucmaxmmqqp，狀態(tài)不變，保持臨界壓力、速度和流量狀態(tài)不變，保持臨界壓力、速度和流量*ppp，狀態(tài)不變，狀態(tài)不變，“堵塞堵塞”現(xiàn)象現(xiàn)象保持臨界壓力、速度和流量保持臨界壓力、速度和流量*pp參數(shù)Ma1漸縮管漸縮管漸縮管漸縮管流速流速u壓強壓強p密度密度溫度溫度T增大減小減小減小減小增大增大增大證明：反證法證明：反證法p*p1Ma 1Ma 結(jié)論：結(jié)論：漸縮噴管，最大加速到聲速漸縮噴管，最大加速到聲速 超聲速？超聲速？拉伐爾（Laval）噴管目的目的 氣流獲得超聲速的裝置氣流獲得超聲速的裝置常用用途常用用途火箭發(fā)動機火箭發(fā)動機原理原理流動參數(shù)Ma1漸縮管漸縮管漸擴管漸擴管漸縮管漸縮管漸擴管漸擴管流速流速u壓強壓強p密度密度溫度溫度T增大減小減小減小減小增大增大增大減小增大增大增大增大減小減小減小先收縮，后擴散先收縮，后擴散p