課題：含有絕對值的不等式(2)

1、課題：含有絕對值的不等式（2）教學目的：1進一步掌握含有絕對值不等式的定理及其推論；2培養(yǎng)學生的化歸（或轉化）的數(shù)學思想*3提高分析問題和解決問題以及綜合運用數(shù)學知識的能力4培養(yǎng)創(chuàng)新意識，提高學生的數(shù)學素質+教學重點：不等式性質、定理的綜合運用教學難點：常見證明技巧授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：上一節(jié)課，我們學習了含絕對值的不等式的一個重要性質，并認識到證明不等式的方法的多樣性與靈活性，這一節(jié)，我們將綜合運用絕對值的性質、不等式的性質、算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理證明不等式+定理：|a|-|b|_|ab|勻a|b|注意：1左邊可以“加強”同樣成

2、立，即|a|-|b|aba|b|2這個不等式俗稱"三角不等式”一三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊3°a,b同號時右邊取“=”，a,b異號時左邊取“=”推論1：1a!'aan1<|a!|a?|a.|推論2：|a|b|勻ab|勻a|b|二、講解范例：例1已知a、b、c、d都是實數(shù)，且a2+b2=r2,c2+d2=R2,(r>0,R>0)22rR求證：|ac+bd|w證明：（綜合法a、/Iac+bd|w2b、c、d都是實數(shù)，2222acbdIac|+|bd|<22a2b2c2d2a2+b2=r2,c2+d2=R2,22r+RIac+b

3、d|w221例2設f(x)=x2+px+q,求證：If(1)I、IfI、IfI中至少有一個不小于2說明：此題正面證明較為困難，“正難則反”，引導學生嘗試“反證法”證明+111證明：(反證法)假設原命題不成立，則If(1)Iv，If(2)Iv,(3)I<,If(1)I+2|f(2)I+f(3)I<2由f(1)=1+p+q,f(2)=4+2p+q,f(3)=9+3p+q得f(1)+f(3)2f(2)=2If(1)I+2|f(2)|+|f(3)I>If(1)+f(3)2f(2)I=2這與矛盾，故假設不成立，求證為真*例3求證：|a|b|_|ab|,1+|a|+|b|1+|a+b|證

4、法一：(分析法)要證明|a|b|乜吐1+|a|+|b|1+|a+b|只需證(|a|+|b|)(1+|a+b|)|a+b|(1+|a|+|b|)只需證|a|+|b|+(|a|+|b|)|a+b|>|a+b|+(|a|+|b|)|a+b|只需證|a|+|b|>|a+b|顯然上式成立所以原不等式成立.證法二：(利用函數(shù)的單調性)x構造函數(shù)f(x)=(x>0)1+x“、X1f(x)=1-1+x1+x函數(shù)f(x)在0,+s)是增函數(shù)/f(|a|+|b|)=_,f(|a+b|)=_1+|a|+|b|1+|a+b|而|a|+|b|a+b|,.f(|a|+|b|)>f(|a+b|)即|

5、a|b|>|ab|1|a|b|1|ab|例4已知x2y2=1,求證：一丫1a2玄y-ax：-：1'a2說明：根據(jù)已知條件x2+y2=1的形式特點，可以進行三角代換，即設x=cos：,y=sin：,轉化為三角形式的不等式解：設x=cos，y=sin,則|y-ax|=|sin：-acos：a2|sin(：-)|(其中tanb=a)/|sin(、；_0)|w11a2|sin(：-巧1a2|y-ax1a2即一、1a2乞yax乞.1a2三、課堂練習：1若|xa|<m,|ya|<n,則下列不等式一定成立的是(D)A.Ixy|<2mB.|xy|<2nC|xy|<n

6、mD.|xy|<n+m2.已知函數(shù)f(x)=2x+1，對任意的正數(shù)e，使得|f(X1)f(X2)|<e成立的一個充分非必要條件是(C)gEgA|X1X2|<eB|X1X2|<C.|X1X2|<D.|X1X2|>233四、小結：通過本節(jié)學習，要求大家進一步認識證明不等式的方法的多樣性，并能靈活掌握絕對值的性質、不等式的性質，算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理對不等式進行證明”五、課后作業(yè)：1若b,0,0,則型+理>J面+麗卜v|b|V|a|2解不等式|x24x+2|>20<xw7-17x>43求證:(1)|x+1|+|x-1|>2;(2

7、) |x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|>6;(3) 2|x+2|+|x+1|>1(當且僅當x=-2時,“=”號成立卜證明:(1)|x+1|+|x-1|>|(x+1)-(x-1)|=2(2)|x+1|+|x-1|>|(x+1)-(x-1)|=2+當且僅當(x+1)(x-1)W0,即-1wxw1時“=”成立；又|x+2|+|x-2|>|(x+2)-(x-2)|=4,當且僅當(x+2)(x-2)w0,即-2wxw2時“=”號成立.Ix+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|>6,1<x<1當且僅當丿-即-1wxw1時“=”號成立*廠2蘭x

8、蘭2(3)|x+2|+|x+1|>|(x+2)-(x+1)|=1,當且僅當(x+2)(x+1)w0,即-2wxw-1時“=”號成立；又|x+2|>0,當且僅當x=-2時，“=”號成立，2|x+2|+|x+1|>1,當x=-2時，“=”號成立.；24已知f(x)=.1x,當|a|工|b|時,求證:(1)Ia+b|<|f(a)+f(b)|;(2)|a-b|>|f(a)-f(b)|.證明：(1)|a+b|w|a|+|b|<,1a.1b2=|f(可+f(b)|+|a-b|=-b2a2由得：|a+b|<da1b2,22(1_+a)_(1_+b)J1+a2+J1十

9、b2't,'1+a271+b2=|f(a)_f(b)a2b25求證:>|a|-|b|(azb)a2-b2a2-b2證明:當|a|w|b|時,|a|-|b|w0,>|a|-|b|;b當|a|>|b|時,又az0,從而|a|>0,有|1<1=a-|-|>-1a-(|b|>0)綜上所述有：b2>-|b|a2-b2a2-b2=|a|-b2>|a|-|b|(azb).b2b|-6若|x|<1,|y|<1,|z|<1,求證：|xyzxyz|<1+xy+yz+zx證明：所證不等式=|x+y+z+xyz|<|l

10、+xy+yz+zx|22：=(x+y+z+xyz)<(1+xy+yz+zx)：=(xyz+xy+yz+zx+x+y+z+l)(xyz-xy-yz-zx+x+y+z-l)<0二:(x+l)(y+l)(z+i):(x-i)(y-i)(z-i):<0222二(x-l)(y-l)(z-l)<0由于|x|<1,|y|<1,|z|<1，從而x<1,y<1,z<1,于是(x2-1)(y2-1)(z2-1)<0成立，所以原不等式成立.aa1+a+b|1+<a7已知a,bR求證:1bb證明:原不等式u|a+b|(1+|a|)(1+|b|)w|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|)=|a+b|(1+|b|)+|a+b|a|(1+|b|)w|a|(1+|b|)+|a|(1+|b|)|a+b|+|b|(1+|a|)+|b|a+b|(1+|a|)|a+b|+|a+b|b|<|a|+2|ab|+|b|+|b|a+b|+|ab|a+b|二|a+b|<|a|+|b|+2|ab|+|ab|a+b|.由于|a+b|w|a|+|b|成立,顯然最后一個不等式成立，從而原不等式成立.以上證明是最基本的方法，但過程