從樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)整體參數(shù)

1、第六章從樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)整體參數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn)第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)第二節(jié)區(qū)間估計(jì)第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)第四節(jié)其他總體參數(shù)的估計(jì)本章小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)掌握推斷統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容和前提條件理解統(tǒng)計(jì)估計(jì)的原理，掌握統(tǒng)計(jì)估計(jì)的方法能夠運(yùn)用總體均數(shù)估計(jì)的方法解決實(shí)際問(wèn)題第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)當(dāng)總休平均數(shù)或比例未知時(shí)，我們可以直接把樣本平均數(shù)或比例用作它的估計(jì)值。由于樣本統(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，所以稱為“點(diǎn)估計(jì)值” ?？茖W(xué)研究不僅需要對(duì)事物特征作出一般性的描述，而且更要根據(jù)樣本提供的信息去推測(cè)相應(yīng)總體的情況，統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中的推斷統(tǒng)計(jì)則是專門研究如何用樣本去推斷總體的方法。一、什么是推斷統(tǒng)計(jì)一般情況下，樣本統(tǒng)計(jì)量是不會(huì)和相應(yīng)的總體參數(shù)完全相同的，兩者多

2、少都會(huì)有一定的差距，但是如果用無(wú)限多個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，平均估計(jì)誤差將會(huì)等于0。具有這一特征的統(tǒng)計(jì)量就無(wú)偏估計(jì)值。例如，用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)，總會(huì)有些誤差，在有些樣本中，它可能會(huì)大于總體平均數(shù)，而在另一些樣本中它又可能會(huì)小于總體平均數(shù)，而且對(duì)于不同的樣本估計(jì)誤差的大小也是不同的，但是無(wú)限多個(gè)樣本平均數(shù)的平均估計(jì)誤差為0。 換句話說(shuō)，樣本平均數(shù)的平均數(shù)將會(huì)等于總體平均數(shù)。推斷統(tǒng)計(jì)就是指由樣本資料去推測(cè)相應(yīng)總體情況的理論與方法。也就是由部分推全體， 由已知推未知的過(guò)程。推斷統(tǒng)計(jì)根據(jù)推測(cè)的性質(zhì)不同而分為參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩方面。參數(shù)估計(jì)（parameterestimation）就是

3、用樣本去估計(jì)相應(yīng)總體的狀況，其具體方法有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。假設(shè)檢 驗(yàn)（hypothesis test）的主要用途是對(duì)出現(xiàn)差異的兩個(gè)或多個(gè)現(xiàn)象或事物進(jìn)行真實(shí)性情況的檢 驗(yàn)，又稱統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（statistical test）。在檢驗(yàn)中又根據(jù)是否需要依賴于對(duì)總體分布形態(tài)和總體 參數(shù)檢驗(yàn)的假設(shè)而分為參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)。參數(shù)檢驗(yàn)法在檢驗(yàn)時(shí)對(duì)總體分布和總體參數(shù)（N,仃2）有所要求，而非參數(shù)檢驗(yàn)法在檢驗(yàn)時(shí)則不依賴于總體的分布形態(tài)和總體參數(shù)的情況。參數(shù)檢驗(yàn)法主要有 Z檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)和q檢驗(yàn)等，非參數(shù)檢驗(yàn)（non-parameter test）主要有。檢驗(yàn)、符號(hào)檢驗(yàn)法、符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)法、秩和檢驗(yàn)、中位數(shù)檢驗(yàn)

4、等。二、統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)的人往往有一種誤解，以為只要搜集了數(shù)據(jù)資料，就可以用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)處理數(shù)據(jù)。殊不知統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在概率論基礎(chǔ)上的，而概率論是專門研究隨機(jī)事件的。因此，在做統(tǒng)計(jì)推斷之前必須考慮你所獲得的資料是否能夠用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)分析。通常，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)應(yīng)首先考慮以下三個(gè)方面的問(wèn)題。一是關(guān)于統(tǒng)計(jì)推斷的基本前提。統(tǒng)計(jì)推斷的前提是隨機(jī)抽樣。因此當(dāng)我們利用樣本統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行總體推斷時(shí)， 首先要了解抽樣的方式，即了解樣本是如何得來(lái)的，是隨機(jī)抽取的，還是人為抽取的。隨機(jī)抽樣的均等性和獨(dú)立性，避免了入樣個(gè)體只來(lái)自總體的某一部分，從而也就避免了樣本的偏倚性?？梢哉f(shuō)，樣本的抽取直接關(guān)系著統(tǒng)計(jì)研

5、究結(jié)果的科學(xué)性。二是樣本的規(guī)模與樣本的代表性。抽樣研究需要有一定的樣本規(guī)模，而樣本要具有代表性也需要有一定的樣本規(guī)模來(lái)保證，以減少抽樣誤差。一般來(lái)說(shuō)，在其它條件相同的情況下，樣本越小，抽樣的誤差越大；樣本越大，抽樣的誤差就越小。當(dāng)樣本增至包括總體的全部個(gè) 體（即n = N ）時(shí)，抽樣的誤差為 0。因此，只要條件允許，盡可能地采用大樣本，以增強(qiáng) 樣本對(duì)總體的代表性和可靠性。值得注意的樣本規(guī)模和樣本代表性是建立在隨機(jī)抽樣基礎(chǔ)之 上的，否則即使樣本再大也是無(wú)意義的。三是統(tǒng)計(jì)推斷的錯(cuò)誤要有一定限度。 統(tǒng)計(jì)推斷是在特定的時(shí)間、空間和條件下得出的結(jié) 論，加上抽樣誤差的影響，在用樣本推測(cè)總體時(shí)總會(huì)犯一定的錯(cuò)

6、誤。 這種錯(cuò)誤在統(tǒng)計(jì)推斷中 是不可避免的，也是允許的。不過(guò)這種錯(cuò)誤要有一定的限度， 超過(guò)一定限度的錯(cuò)誤是不允許 的。統(tǒng)計(jì)推斷中允許犯錯(cuò)誤的限度是用小概率事件來(lái)表示。第二節(jié) 區(qū)間估計(jì)一、參數(shù)估計(jì)的定義所謂參數(shù)估計(jì)就是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)相應(yīng)總體的參數(shù)。譬如我們可以根據(jù)樣本均數(shù)（X）去估計(jì)總體的均數(shù)（k）,根據(jù)樣本方差（S2）去估計(jì)總體方差（仃2）,根據(jù)樣本 的相關(guān)系數(shù)（r ）去估計(jì)總體相關(guān)系數(shù)（P ）等等。二、參數(shù)估計(jì)的方法參數(shù)估計(jì)有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。譬如，某學(xué)區(qū)期末時(shí)抽取所管轄的小學(xué)四年級(jí)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)，求得平均分70分，標(biāo)準(zhǔn)差10分，于是一個(gè)管理者認(rèn)為全區(qū)四年級(jí)的數(shù)學(xué)平均 分可能是70分

7、，而另一個(gè)管理者則認(rèn)為全區(qū)四年級(jí)數(shù)學(xué)平均分可能性在6575之間。因前者是用數(shù)軸上的一點(diǎn)做估計(jì)，稱為點(diǎn)估計(jì)。后者是用數(shù)軸上的一段距離做估計(jì)，稱區(qū)間估計(jì)。（一）點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)（point estimation ）是在參數(shù)估計(jì)中直接以樣本的統(tǒng)計(jì)量（數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)）作 為總體參數(shù)的估計(jì)值。譬如用樣本統(tǒng)計(jì)量：X, S、 r等作為總體參數(shù) N、仃、P等的估計(jì)值。但是作為良好點(diǎn)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量必須具備一定的前提條件。1 .無(wú)偏性用統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)必然會(huì)存在一定的誤差，而恰好相等的情形是極少見(jiàn)的。當(dāng)然， 無(wú)偏性并不是說(shuō)沒(méi)有一點(diǎn)誤差，而是要求用各個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量作為估計(jì)值時(shí)，其偏差為0,即V X - 1 - 0這時(shí)的

8、統(tǒng)計(jì)量被稱為無(wú)偏估計(jì)量（unbiased estimator）。譬如，根據(jù)中心極限定理二有u _ u _ X 一 ，即樣本均數(shù)的均數(shù)是總體均數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，亦即我們可以用樣本均數(shù)的均數(shù)作為總體均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。 假設(shè)我們從某市四個(gè)區(qū)的六歲男童中隨機(jī)抽取四個(gè)樣本，對(duì)每個(gè)樣本測(cè)量其身高的平均數(shù)，再求得四個(gè)樣本均數(shù)的均數(shù)為110.70公分，并此值作為該市所有六歲男孩的平均身高就是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。如果，Z（X -"）大于0或小于0,那么這時(shí)的統(tǒng)計(jì)量就為有偏估計(jì)量。作為總體參數(shù)的良好估計(jì)值是應(yīng)當(dāng)具備無(wú)偏性的。當(dāng)樣本容量足夠大的時(shí)候，用樣本均數(shù)或樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體相應(yīng)參數(shù)的估計(jì)量都可視 為無(wú)偏估計(jì)量。

9、正因?yàn)槿绱耍诖髽颖窘y(tǒng)計(jì)分析中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差（&/）去代替總體標(biāo)準(zhǔn)差（仃）。當(dāng)總體分布呈正態(tài)時(shí)，中數(shù)也是總體均數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。然而由于抽樣誤差的普遍存在，我們不能期待一次抽樣就能對(duì)總體參數(shù)作出精確的估計(jì)。加之點(diǎn)估計(jì)不能給出估計(jì)誤差及其可靠性有關(guān)信息，因此采用點(diǎn)估計(jì)時(shí)應(yīng)特別注意樣本統(tǒng)計(jì)量所具有的特性。2 . 一致性總體參數(shù)的估計(jì)量隨樣本容量的無(wú)限增大，應(yīng)當(dāng)能越來(lái)越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)。例如正態(tài)總體的總體均數(shù)為R,標(biāo)準(zhǔn)差為仃，如果X是從總體中隨機(jī)抽取樣本獲得的平均數(shù)， 其容量為n ,則當(dāng)N -8日, X - N ； Sn，一仃。這時(shí)樣本統(tǒng)計(jì)量的均數(shù) X就是總體參數(shù) N 的一個(gè)估計(jì)值，或

10、者說(shuō) X與是一致的。3 .有效性當(dāng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量不止一個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，則要分析無(wú)偏估計(jì)量的變異大小的情況。無(wú)偏估計(jì)量變異性小的，有效性較高；無(wú)偏估計(jì)量變異性大的，則有效性較低。例如作為總 體均數(shù)N的估計(jì)值來(lái)說(shuō)，樣本均數(shù)X、中數(shù)Mdn和眾數(shù)Mo等都是無(wú)偏估計(jì)量。 這時(shí)選誰(shuí) 作為估計(jì)值最恰當(dāng)則要看誰(shuí)的變異性最小。在 X , Mdn和Mo中只有X的變異性最小， 即X的方差最小。所以用統(tǒng)計(jì)量 一一樣本均數(shù)作為總體參數(shù) N的估計(jì)值是最佳選擇。這也 同時(shí)說(shuō)明為什么在統(tǒng)計(jì)推斷中不常使用中數(shù)和眾數(shù)。4 .充分性充分性是指一個(gè)容量為 n的樣本統(tǒng)計(jì)量是否充分地反映了全部n個(gè)數(shù)所反映的總體信息。從X , Mdn和

11、Mo的比較中我們已知，只有在求均數(shù)X時(shí)n個(gè)數(shù)據(jù)全部參與計(jì)算，它充分地反映所有數(shù)據(jù)所要反映的總體信息，而在計(jì)算Mdn和Mo時(shí)只有部分?jǐn)?shù)據(jù)參與計(jì)算，是用部分?jǐn)?shù)據(jù)反映的總體信息。因此平均數(shù)的充分性最高，中數(shù)和眾數(shù)的充分性較低。 同理，在差異量數(shù)中方差 S2和標(biāo)準(zhǔn)差S要比平均差A(yù)D、四分位差Q更具有充分性。一個(gè)好的點(diǎn)估計(jì)應(yīng)當(dāng)具備以上四個(gè)條件。但是無(wú)論如何，抽樣誤差總是存在，加上點(diǎn)估計(jì)不能提供正確估計(jì)的概率，所以應(yīng)用時(shí)受到局限。例如，我們只能大體上知道樣本容量比 較大時(shí)，多數(shù)的 X靠近R,但是樣本容量究竟大到什么程度，多數(shù)“、靠近”到什么程度，多數(shù)”到底是多少等等都是很模糊的。點(diǎn)估計(jì)的這些不足以及缺陷可

12、以用區(qū)間估計(jì)的方法來(lái) 彌補(bǔ)。第三節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)一、均數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤均數(shù)估計(jì)就是用樣本均數(shù)去估計(jì)總體均數(shù)。在用樣本均數(shù)（X ）對(duì)總體均數(shù)（N）進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤（SEX ）是衡量抽樣誤差大小的重要指標(biāo)，而樣本均數(shù)的抽樣分布則是進(jìn)行這種估計(jì)的理論依據(jù)。 2.（一）標(biāo)準(zhǔn)誤的定義式一一 仃 已知當(dāng)總體（T 2已知時(shí)，根據(jù)中心極限定理三有V X . J2二 X SEX 二一二'n n. n因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)誤與總體標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本容量的平方根成反比，所以總體標(biāo)準(zhǔn)差越小， 標(biāo)準(zhǔn)誤越??；樣本容量越大，標(biāo)準(zhǔn)誤也越小。對(duì)于一個(gè)指定的總體來(lái)說(shuō)，其總體標(biāo)準(zhǔn)差仃是一個(gè)確定的數(shù)。因此，在實(shí)際工作中，增

13、大樣本容量可以減小均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，這是提高估計(jì)精度的重要手段。對(duì)于總體均數(shù)N進(jìn)行估計(jì)時(shí)，如果。已知，那么只需從總體中抽取一個(gè)容量為n的隨機(jī)樣本，就可以求出SEX而對(duì)其區(qū)間作出估叱，其區(qū)間估計(jì)公式為二=1 -1.96r-X二=1 -2.58 二 X X2 .（二）標(biāo)準(zhǔn)誤的近似式一一 仃 未知在實(shí)際工作中，總體方差及總體標(biāo)準(zhǔn)差往往是未知的。這時(shí)我們只能根據(jù)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差。用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)必須考慮其無(wú)偏估計(jì)量的問(wèn)題。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)已證明樣本標(biāo)準(zhǔn)差&不是總體標(biāo)準(zhǔn)差 仃的無(wú)偏估計(jì)量。因此，以 Sn作為。的點(diǎn)估計(jì)是不恰當(dāng)?shù)?。但是樣本的無(wú)偏標(biāo)準(zhǔn)差卻是總體標(biāo)準(zhǔn)差 。的無(wú)偏估計(jì)量

14、，即統(tǒng)計(jì)量Sn抽樣分布的平均數(shù)恰好等于仃。因此，這里的樣本無(wú)偏標(biāo)準(zhǔn)差定義為_(kāi)（X-XfSn 1， n由于是的無(wú)偏估計(jì)量，且當(dāng) n 一定時(shí)，Sn抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤小于 SEX ,所以 當(dāng)n足夠大且一定時(shí)，Sn比*的近似程度高于 X定N。于是，有了樣本平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的 近似公式Sn n -1當(dāng)總體b未知時(shí)，即可采用這一公式計(jì)算均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。二、總體均數(shù)的估計(jì)方法總體均數(shù)的估計(jì)方法大致有三種，一種以正態(tài)分布理論為依據(jù)的估計(jì)法，稱正態(tài)估計(jì)法。一種是以t分布理論為依據(jù)的估計(jì)方法，稱 t分布估計(jì)法。三是以漸近正態(tài)分布為依據(jù)的估 計(jì)方法，稱近似正態(tài)估計(jì)法。三種方法適用于不同的資料形式。（一）正態(tài)估計(jì)法正態(tài)估計(jì)法

15、適用于總體方差 b2已知的數(shù)據(jù)資料。其具體應(yīng)用情形有二，一是總體呈正態(tài)時(shí)，不論樣本容量的大小，樣本均數(shù)的分布都呈正態(tài)分布。因?yàn)?，中心極限定理一指出， 總體正態(tài)時(shí)，從總體抽取的容量為 n一切可能樣本的均數(shù)呈正態(tài)分布。二是總體呈非正態(tài)時(shí)， 只要樣本容量大于 30,樣本均數(shù)的分布呈近似正態(tài)分布。因?yàn)?，中心極限定理一指出，當(dāng)n足夠大時(shí)，無(wú)論總體分布形態(tài)如何，樣本均數(shù)的分布服從或接近正態(tài)分布。第四節(jié)其他總體參數(shù)的估計(jì)參數(shù)估計(jì)除總體均數(shù)的估計(jì)外，還有總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)、總體相關(guān)系數(shù)的估計(jì)和 總體比例的估計(jì)等等。這種參數(shù)估計(jì)過(guò)程大致相同，主要區(qū)別在于標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算不同。、總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)（一）總

16、體方差的估計(jì)2由于樣本方差與總體方差比值的分布呈'分布，所以有22nn-1 S2,n-1Snjn 1SnI- 2，、， n1 :2. n ：-（2t2, wctw （主，或 （匕 wcrwl例8-5 :從某校初三學(xué)生中隨機(jī)抽取10份物理成績(jī)，計(jì)算得平均分為71.2,標(biāo)準(zhǔn)差（Sn）為14.46。試估計(jì)物理成績(jī)的方差在什么范圍之內(nèi)。選擇顯著性水平口。假設(shè)本例選口 = 0.05計(jì)算自由度。本例，df = n-1 =10-1 = 95)22 .2顯著性臨界值表，確定,力291-2代入公式,結(jié)果解釋2 0.975 = 2.7作出估計(jì)29 14.4622.7696.97 < a2 <2

17、 .和C 2 ,本例有9 0.025 = 19 .029 14.462仃2 w 19.099.04,或 26.40 w。2 <9.957 / 7該校初三學(xué)生物理成績(jī)的方差有98%的可能會(huì)落在86.86901.20之間或標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)落在9.3230.02之間，超出這一范圍的可能只有2%。從這一結(jié)果看，物理成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間較大，若增加樣本容量可縮小區(qū)間差距。（二）總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)既可以采用上述總體方差估計(jì)區(qū)間的平方根，也可以直接利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行估計(jì)。樣本標(biāo)準(zhǔn)差抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差稱標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)誤，其公式為_(kāi) Sn JSEs （或。S）J27因其近似正態(tài)分布，所以總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為S

18、n-1.96SES；=Sn4 -2.58SES用此法對(duì)例8-5進(jìn)行總體標(biāo)準(zhǔn)的估計(jì)，則有SEs =14.46,2 1014.464.47= 3.23；=14.46 1.96 3.23 =8.13 20.79、總體相關(guān)系數(shù)的估計(jì)由樣本相關(guān)系數(shù)r形成的分布形式較多，因此計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的及置信限的方法也較為復(fù)雜。這里只介紹常用方法一一 Fisher的Z函數(shù)分布法。Fisher的Z函數(shù)分布法是 通過(guò)將樣本相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換為 乙值（因Zr的樣本分布近似正態(tài)分布），并以乙值進(jìn)行估計(jì)， 然后再將乙值還原為r值的做法。這種既無(wú)需考慮樣本容量大小，也無(wú)需顧忌總體相關(guān)系例8-6:某教師經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，其所教班級(jí)學(xué)生（55人）的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的相關(guān)系數(shù)為0.66。試以95%的置信度估計(jì)全年級(jí)數(shù)學(xué)和物理的相關(guān)系數(shù)。1)2)將r轉(zhuǎn)換為Zr函數(shù)。查 求Zr的標(biāo)準(zhǔn)誤Fisher 函數(shù)轉(zhuǎn)換表，當(dāng) r = 0.66 時(shí)，Zr = 0.