高等數(shù)學(xué)試卷和答案

1、高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷一一、填空題 （每空 3 分，共 15 分）z11xyxy 的定義域?yàn)椋?）函數(shù)zarctan yz（2）已知函數(shù)x ，則 x2dy2 y（3）交換積分次序，0y2f (x, y)dx（）已知L是連接 (0,1) ,(1,0)兩點(diǎn)的直線段，則(xy)dsL4（5）已知微分方程 y2 y3y0 ，則其通解為二、選擇題 （每空 3 分，共 15 分）x3 y2z10（1）設(shè)直線 L 為 2xy10z3 0，平面為 4x2y z 20 ，則（）A. L 平行于B. L在上C.L垂直于D.L與斜交（2）設(shè)是由方程 xyzx2y 2z22 確定，則在點(diǎn) (1,0, 1) 處的 dz

2、（）dx dy dx2dy2dx2dy dx2dy（3）已知是由曲面 4 z225( x2y2 ) 及平面 z5 所( x2y2 )dv圍成的閉區(qū)域，將在柱面坐標(biāo)系下化成三次積分為（）2d23 dr5245rdzdr3dr dz000.000225225d0 r 3dr5 r dz0. 0dr 2 dr dz200（4）已知冪級數(shù)，則其收斂半徑（）13y2y 3x2exyy（）2 1 2 2 （ ）微分方程 y的特解的形式為5得分(ax b)xex ( axb) cex ( ax b) cxex三、計(jì)算題 （每題 8 分，共 48 分）閱卷x 1 y 2 z 3x 2 y 1 z人1、求過直線

3、L1:101且平行于直線 L2 ：211的平面方程zz2、已知 zf ( xy2 , x2 y) ，求 x， y3、設(shè) D22x2dxdy( x, y) xy4 ，利用極坐標(biāo)求 D4、求函數(shù) f ( x, y)e2 x ( xy22 y) 的極值xtsint5、計(jì)算曲線積分L (2xy 3sin x)dx( x2ey ) dy ，其中 L 為擺線 y1cost 從點(diǎn) O(0,0)到A(, 2) 的一段弧6、求微分方程 xyyxex 滿足 y x 11的特解四. 解答題 （共 22 分）2xzdydz yzdzdx z2dxdy221、利用高斯公式計(jì)算ò，其中由圓錐面 zxy 與上半球

4、面z2 x2y2所圍成的立體表面的外側(cè) (10 )(1)n 1 n的斂散性，若收斂，判別是絕對收斂還是條件收斂；（62、（ 1）判別級數(shù) n13n1）（2）在 x( 1,1)求冪級數(shù) nnxn1的和函數(shù)（ 6 ）高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷二一填空題 （每空 3 分，共 15 分）z4xy2x2y2 ) 的定義域?yàn)椋唬?）函數(shù)ln(1（2）已知函數(shù) zexy ，則在 (2,1) 處的全微分 dz；edxln xf ( x, y)dy（3）交換積分次序，10；（4）已知 L 是拋物線 yx2上點(diǎn) O (0,0) 與點(diǎn) B(1,1)之間的一段弧，則Lyds；（5）已知微分方程 y2y y 0 ，則其通解

5、為 .二選擇題 （每空 3 分，共 15 分）xy3z0（ ）設(shè)直線 L為 xyz0，平面為 x yz1 0，則L 與的夾角為（）；10 234（）設(shè)是由方程 z33xyza3確定，則zx （）；2yzyzxzxyxyz2z2xyxyz2z2xy （3）微分方程 y5y6 y xe2 x 的特解 y 的形式為 y（）；( axb)e2x( ax2 x(axb) ce2x(ax2 x是由球面 x2y2z22b) xeb) cxe （4）已知a 所圍dv成的閉區(qū)域 , 將在球面坐標(biāo)系下化成三次積分為（）；22 sinar 2 dr22 dadddrdrA 000B.0002da2dsinar 2d

6、rdrdrd000.0002n1 xn（5）已知冪級數(shù) n 12n，則其收斂半徑（） .1得分2 1 22閱卷三計(jì)算題 （每題 8 分，共 48 分）5、求過A(0,2,4)1 : x 2z12 : y3z2人且與兩平面和平行的直線方程.zz6、已知 zf (sin x cos y, exy ) ，求 x ， y .y7、設(shè) D( x, y) x2y21,0yx ，利用極坐標(biāo)計(jì)算 Darctanx dxdy .得分8、求函數(shù) f ( x, y)x25 y26x10 y6的極值.(ex sin y2 y) dx (ex cos y2)dy、利用格林公式計(jì)算L 為沿上L，其中9半圓周 (x a)2

7、y 2a2 , y0 、從 A(2 a,0)到 O(0,0)的弧段 .y3y( x1)2x18、求微分方程的通解 .四解答題 （共 22 分）1、（ 1）（ 6 ）判別級數(shù) n 1(1)n 1 2n sin3n的斂散性，若收斂，判別是絕對收斂還是條件收斂；xn（2）（ 4 ）在區(qū)間 (1,1) 內(nèi)求冪級數(shù) n 1n的和函數(shù) .2、 (12 ) 利用高斯公式計(jì)算2xdydzydzdxzdxdy，為拋物面 zx2y2 (0 z 1) 的下側(cè)高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷三一填空題 （每空 3 分，共 15 分）1、函數(shù) yarcsin( x3) 的定義域?yàn)?.( n2)2lim3n2 =.2、 n 3n2

8、、已知 yln(1x2 )，在x1 處的微分 dy.312006 sin xx2 )dx4、定積分(x1.5、求由方程 y53x7dy2 yx0 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) dx .二選擇題 （每空 3 分，共 15 分）1、 x 2 是函數(shù) yx21x23x2 的間斷點(diǎn)（A）可去（ B）跳躍（C）無窮（ D）振蕩2、積分(A) (B)(C)0(D)11xdx0 1 x2=.x3、函數(shù) yex1在 (, 0 內(nèi)的單調(diào)性是。（ C）單調(diào)增加且單調(diào)減少；(D) 可能增加 ; 可能減少。1sin tdt的一階導(dǎo)數(shù)為 .4、 x（ A） sin x （ B） sin x（C） cos x （D） cos x

9、rr2, 2, 1 相互垂直則 k .5、向量 a1,1, k 與 b（A）3（B）-1 （C）4（D）2三計(jì)算題（ 3 小題，每題6 分，共 18 分）lim(2 x3) x 11、求極限 x2x1limxsin x2、求極限 x 0x3dy3、已知 yln cos ex，求 dx四計(jì)算題（ 4 小題，每題6 分，共 24 分）xt 22d 2 y1、已知y1 t ，求 dx 22、計(jì)算積分x2cos xdx13、計(jì)算積分arctanxdx022x2 dx4、計(jì)算積分0五觧答題（ 3 小題，共 28 分）1、 (8 ) 求函數(shù) y3x44x21的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。101xf ( x)x122、

10、(8)設(shè)1ex 1x 0f ( x 1)dx求 03、（ 1）求由 yx2及 y2x 所圍圖形的面積； (6 )（2）求所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的體積。(6 )高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷四一填空題 （每空 3 分，共 15 分）y11x21、函數(shù)x的定義域?yàn)?.e axdx, a0=.2、 03、已知 ysin(2 x1) ，在 x0.5 處的微分 dy .1 sin x dx4、定積分 1 1 x2 =.5、函數(shù) y3x44x31的凸區(qū)間是 .二選擇題 （每空 3 分，共 15 分）x21y1 的間斷點(diǎn)1、 x 1 是函數(shù)x（A）可去（ B）跳躍（C）無窮（ D）振蕩a 0, f (0)0

11、,f(0)f (ax)1, lim2、若x0x=(A)1(B) aa(C)-1(D)3、在 0, 2 內(nèi)函數(shù) yxsin x 是。（A）單調(diào)增加；（ B）單調(diào)減少；（ C）單調(diào)增加且單調(diào)減少； (D) 可能增加 ; 可能減少。rrrr4、已知向量 a4,3, 4 與向量 b2, 2,1 則 a b 為.（A）6（B）-6（C）1（D）-3dy5、已知函數(shù) f (x) 可導(dǎo)，且f ( x )為極值， yef (x)dx x x0.，則0（A） ef ( x0 ) （B） f ( x0 ) （C）0（D） f ( x0 )三計(jì)算題（ 3 小題，每題 6 分，共 18 分）1klim(1- kx)

12、x1、求極限 x 01sin t 2dtlimcos xx2 sin x2、求極限 x 0lnsin 1dy3、已知 yex，求 dx四計(jì)算題（每題 6 分，共 24 分）1、設(shè) eydyxy10 所確定的隱函數(shù) yf ( x) 的導(dǎo)數(shù) dx x 0 。2、計(jì)算積分arcsin xdx3、計(jì)算積分4、計(jì)算積分0sin3 xsin5 xdx3axdx, a 03a20x2五觧答題（ 3 小題，共 28 分）x3at1t2y3at 21t 2 ，求在 t2 處的切線方程和法線方程。、(8)已知12、 (8 ) 求證當(dāng) a1ln aln b1b0 時(shí)， aabb3、（ 1）求由 yx3及 y0, x

13、2 所圍圖形的面積； (6 )（2）求所圍圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的體積。 (6 )ln( xy)高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷五一填空題 （每空3 分，共 21 分）zy1函數(shù)的定義域?yàn)椤? 已知函數(shù) zex2y2，則 dz。3 已知 z exyz(1,0)，則 x。4 設(shè) L 為 x2y21 上點(diǎn) 1,0到1,02ds的上半弧段，則 L。eln x5 交換積分順序dxf (x, y)dy。10(1) n6 . 級數(shù) n 1 n 是絕對收斂還是條件收斂？。7 微分方程 ysin x 的通解為。二選擇題 （每空 3 分，共 15 分）1函數(shù) z f x, y 在點(diǎn) x0 , y0 的全微分存在是 f

14、 x, y 在該點(diǎn)連續(xù)的（）條件。A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既非充分，也非必要2 平面1 : x2yz10 與 2 : 2x y z 2 0 的夾角為（）。A 6B4C2D3( x5) n3 冪級數(shù) n 1n 的收斂域?yàn)椋ǎ 4,6 B 4,6 C 4,6 D 4,6y1 ( x)4 設(shè) y1 ( x), y2 (x) 是微分方程 yp(x) yq( x) y 0 的兩特解且 y2 ( x)常數(shù)，則下列（）是其通解（ c1 ,c2 為任意常數(shù)）。A yc1 y1 ( x)y2 (x) B yy1 ( x)c2 y2 ( x)C yy1 ( x)y2 ( x) D yc1 y

15、1 ( x)c2 y2 (x)5 zdv為 x3, x0, y3, y0 ，z 0, z 3在直角坐標(biāo)系下化為三次積分為 （），其中所圍的閉區(qū)域。0333dx33303zdz330dxdyzdzdyzdzdxdydxdy zdzA 300B 000C 030D 003三計(jì)算下列各題（共21分，每題 7 分）1、已知 ln zezz ,zxy0 ，求 xy 。x1y2z2、求過點(diǎn) (1,0,2) 且平行直線123的直線方程。3、利用極坐標(biāo)計(jì)算 D( x 2y 2 )d，其中 D 為由 x 2y24 、 y0 及 yx 所圍的在第一象限的區(qū)域。四求解下列各題（共20 分，第1題 8 分，第 2 題

16、12 分）1、利用格林公式計(jì)算曲線積分( y 2ex ) dx(2xy5xsin 2 y)dyL，其中 L為圓域 D：x 2y24 的邊界曲線，取逆時(shí)針方向。2 、判別下列級數(shù)的斂散性：五、求解下列各題（共23分，第 1、 2 題各 8分，第 3題 7 分）f (x, y) x31 y23x 3y 11、求函數(shù)2的極值。dyye x滿足 y x 02的特解。2 、求方程 dx3 、求方程 y2 y8 y2ex 的通解。高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷六一、填空題 ：（每題 3分, 共 21 分. ）1函數(shù) zarccos( yx) 的定義域?yàn)?。z2已知函數(shù) zln( xy) ，則 x 2,1。3 已知

17、zsinx2y2，則 dz。4設(shè) L 為 yx1上點(diǎn) ( 1,0) 到0,1 的直線段，則2ds。L11x2f ( x2y2 )dy5dx0將0化為極坐標(biāo)系下的二重積分。(1) n6 . 級數(shù) n 1 n 2 是絕對收斂還是條件收斂？。7 微分方程 y 2x 的通解為。二、選擇題：（每題 3 分, 共 15 分. ）1函數(shù) zf x, y 的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) x0 , y0 連續(xù)是其全微分存在的（）條件。A必要非充分， B充分， C充分必要， D既非充分，也非必要，l : xy 2z2: x 2 y z 3 的夾角為（）。2直線 110與平面A 6B3C2D4xn3 冪級數(shù) n 1 3n n2 的收

18、斂域?yàn)椋ǎ ( 3,3) B 3,3 C ( 3,3 D 3,3)4 . 設(shè) y* (x) 是微分方程 y p(x) yq( x) yf ( x) 的特解，0 的通解，則下列（）是方程yp( x) y q(x) yA y( x) B y(x)y* (x) C y* (x) D y* ( x)y( x)z2 dv5 在柱面坐標(biāo)系下化為三次積分為（），其中2RR2Rrdrdr z2 dzdrdrz2 dzA 000B 0002RR2 r 22RR2 r 2ddrz2 dzdrdrz2dzC 000D 000三、計(jì)算下列各題（共18 分，每題 6 分）y( x) 是方程 y p( x) y q(

19、x) y f ( x) 的通解。為 x2y2z2R2 的上半球體。1、已知 z3z ,z3xyz 5 ，求 xy2 、求過點(diǎn) (1,0, 2) 且平行于平面 2xy3z5 的平面方程。( x2y2 )dxdyx 、 y 0及 x 1 所圍的閉區(qū)域。3、計(jì)算 D，其中 D 為 y四、求解下列各題（共25分，第 1題 7分, 第2題8分，第 3題10分）L ( x2y)dx(xsiny) dy，其中 L 為圓周 y2 x x2上點(diǎn) (0,0) 到 (1,1) 的1、計(jì)算曲線積分一段弧。2 、利用高斯公式計(jì)算曲面積分： òxdydzydzdx zdxdy，其中是由 z0, z 3, x2y

20、21所圍區(qū)域的整個表面的外側(cè)。3 、判別下列級數(shù)的斂散性：五、求解下列各題（共 21 分 , 每題 7 分）f (x, y) 3x26 x1 y32 y 211、求函數(shù)3的極值。dyyex1 的特解。2 、求方程 dx滿足 y x 03 、求方程 y5 y6 y ( x 1)ex的通解。高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷七一填空題 （每空 3 分，共 24 分）z1( x2y 2 )25x2y21二元函數(shù)的定義域?yàn)?一階差分方程 yt 12yt135 的通解為3 zx y 的全微分 dz_4 ydxxdy0 的通解為 _zarctan yz_5設(shè)x ，則 x6微分方程 y2 y5 y0 的通解為7若區(qū)域

21、D(x, y) | x2y 242 dxdy，則 D18級數(shù) n 0 2n的和 s=二選擇題： （每題 3 分，共 15 分）1 f x, y 在點(diǎn) a, b 處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在是f x, y 在點(diǎn) a, b 處連續(xù)的條件（ A）充分而非必要（ B）必要而非充分（ C）充分必要（ D）既非充分也非必要1xf (x, y)dy2累次積分dx00改變積分次序?yàn)?dy11dyx(A)f ( x, y)dxf ( x, y)dx00（B） 001y2f ( x, y)dx11dyy2 f ( x, y)dx（C） 00（D） 0 dy3下列函數(shù)中，是微分方程 y5y6y xe 3 x 的特解形式 (a

22、、b 為常數(shù) )（A） y ( axb)e 3 x （B） y x(ax b)e 3 x（C） y x2 (axb)e 3 x （D） y ae3x4下列級數(shù)中，收斂的級數(shù)是1n( 3)n( 1)n（A） n 12n 1 （B） n 1 2n1 （C） n 1 2n（D） n 1n5設(shè) x2y2z2z4z ，則 xxxxx(A)z (B)2z(C) z 2 (D)z得分閱卷人三、求解下列各題 （每題 7 分，共 21 分）x , v 3x 4yz , zz u 2 ln v, 而 u1. 設(shè)y，求 x y3 nx2 y2dxdy ，其中 D 為 x22. 判斷級數(shù) n 1 n 2 n的收斂性3

23、.計(jì)算 Dey21所圍區(qū)域四、計(jì)算下列各題 （每題 10 分，共 40 分）y1yln x1.x求微分方程的通解 .Ixy dxdyx, x 1及 x 軸圍成的平面區(qū)域 .2.計(jì)算二重積分D，其中 D 是由直線 y3.求函數(shù) f ( x, y)y3x26x 12 y5的極值.x n4.求冪級數(shù) n 1n 24 n的收斂域 .高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷一參考答案一、填空題 ：（每空 3 分，共 15 分）y4x1、 ( x, y) | xy 0, x y 0 2、 x2y2dx1 f ( x, y)dy3、 02 x4、 2 5、 yC1exC2e 3 x二、選擇題： （每空 3 分，共 15分）1

24、. C 2. D3. C4A5. D三、計(jì)算題 （每題 8 分，共 48 分）1、解： A(1,2,3)平面方程為2、解：令 u xy 2 3、解： D: 0fx ( x, y)4解：f y ( x, y)s11,0,1x3yz2vx2 y 220re2 x (2 x2 y2e2x (2 y2)s22,1,1 20 82 ， 34 y 1)00(1 ,1)得駐點(diǎn) 24Q A 2e 0, AC B24e20極小值為f ( 1 , 1)1 e8解：225P2xQ,P 2xy 3sin x,Qx2ey ，有 yx曲線積分與路徑無關(guān)2積分路線選擇： L1 :y0, x 從 0，L2:x, y 從 02

25、 46解：y1 y exP1 , Q ex2xxyP ( x)dx Q( x)eP (x) dx1 dx1dxC通解為edx Ce x ex e x dx4代入 y x 11，得 C1，y1 ( x 1)ex1特解為x8四、解答題2xzdydz yzdzdx z2dxdy(2zz2z)dvzdv1、解： ò424 cossin2r 3dr0dd2 10方法一：原式00212r 2zdz 21r 2 )dr0drdrr (12 10方法二：原式0r02、解：（ 1）令 unn 1nlimun 1limn13n 111n(1)3n1nunn3nn3n 1 3n 1收斂， 4( 1)n 1

26、n絕對收斂。 6n 13n 1s( x)nxnxnxn 1xs1 ( x)（2）令n1n 12高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷二參考答案一、填空題 ：（每空 3 分，共 15 分）1dyef (x, y)dx1、 ( x, y) | y24x,0x2y21 2、 e2 dx2e2dy3、 0ey1 (551)C2 x)ex4、 125、 y(C1二、選擇題： （每空 3 分，共 15分） 1.A 2.B3.BD.A三、計(jì)算題 （每題 8 分，共 48 分）1、解： A(0, 2, 4)n11,0, 2n20,1,3 2xy2z4直線方程為23182、解：令 usin x cos y vexy2D :04

27、0r13、解：， 3f x ( x, y)2x604解：f y ( x, y)10 y100 得駐點(diǎn) (3,1) 4Q A 20,ACB2200極小值為 f (3,1)8 85解： Pex sin y2y,Qex cos y 2 ，Pex cos y2,Qex cos y,有 yx2取 A(2 a,0),OA :y0, x 從 02a 4原式a2 OA PdxQdy a20a2 813P,Q(x1)226解：x1yP ( x)dxP (x) dx1dx(x31dxC通解為e Q( x)edxC e x 1 1)2 ex 1dx4四、解答題lim un 1lim2n1 sin3n121、解：（ ）令 un(n 12nsinnunn2nsin33n3n1)4112n