高考數(shù)列知識點及習題總結(jié)

1、8高考真題解答1.在公差為d的等差數(shù)列an中,已知ai10,且ai,2a22,5a3成等比數(shù)列求d,an；(2)若d0,求|ai|di&|an|.22等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S3=a2,且S1.S2.S4成等比數(shù)列，求的通項式.3.(2013年高考江西卷(理)正項數(shù)列an的前項和an滿足：s：(n2n1)sn(n2n)0(1)求數(shù)列an的通項公式an；n1*5令bnr,數(shù)列bn的前n項和為Tn.證明：對于任意的nN,都有(n2)a644. 已知an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn,bn是等比數(shù)列，且a1d,a4匕427,S4b4=10.(I) 求數(shù)列an與bn的通項公式；、*(I

2、I) 記Tn=a1b1+a2b2+L+anbn(nN)證明：8a*41(nN,n2).5. 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,數(shù)列Sn的前n項和為Tn,滿足Tn2Snn,nN.(I)求a1的值；(n)求數(shù)列an的通項公式.6.已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且22a3a21,a39a2a6(I)求數(shù)列an的通項公式.(II)設(shè)bnlOg3a1log3a2L砸3%，求數(shù)列的前n項和.數(shù)列咼考試題匯編1.【2014全國卷n(文5)】等差數(shù)列an的公差為2,若a2,a°,a*成等比數(shù)列，貝Uan的前n項和Sn=(A)nn1(B)nn1(C)(D)2.【2014全國大綱卷（理項和等于A.6B.5C

3、10)】2等比數(shù)列a*中，a4()4D.322,a55，則數(shù)列l(wèi)gan的前83. 【2014全國大綱卷（文8）】設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S=3,S=15,則&=（）A.31B.32C.63D.644.【2014北京卷（理5）】設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，則"q1"是"an"為遞增數(shù)列的（）A充分且不必要條件C.充分必要條件B.必要且不充分條件D.既不充分也不必要條件5.【2014天津卷（文5）】設(shè)an是首項為a1，公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和.liD.an2n若S,S2,S4成等比數(shù)列，則a1=（）11（A）2（B）-2（C）

4、（D）226.【2014福建卷（理3）】等差數(shù)列an的前n項和Sn，若a12,S312，則a6（）A8B.10C.12D.147. 【2014遼寧卷（文9）】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列，則（）A.d0B.d0C.a1d0d.a1d08. 【2014陜西卷（理文4）】根據(jù)右邊框圖，對大于2的整數(shù)N,得出數(shù)列的通項公式是（）Aan2nB.an2(n1)C.an2n9. 【2014重慶卷（理2）】對任意等比數(shù)列an,下列說法一定正確的是（）A.Q,a3,a?成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列10.【2014重

5、慶卷（文2)】在等差數(shù)列an中，a12,a3a510，則a7()A5B.8C.10D.1411.【2014全國卷n(文16)1】數(shù)列an滿足an1=1ana2=2，則a112.【2014安徽卷（理12)】數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11,a33,a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則13.【2014安徽卷12）】如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC22，過點A作BC的垂線，垂足為A;過點A作ac的垂線，垂足為A；過點A作AC的垂線，垂足為A3;，以此類推，設(shè)BAa,AA1a?,A1A2日3，AAa7，貝U日7C14.【2014北京卷（理12）】若等差數(shù)列滿足a7a8a90,a7a100,則當n時an

6、的前n項和最大.15.【2014天津卷（理11）】設(shè)an是首項為a1，公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列，則a1的值為16. 【2014江西卷（文13）】在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前n項和為Sn,當且僅當n8時Sn取最大值，則d的取值范圍.17. 【2014廣東卷（理13）】若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5,則InaIna2LIna20。18. 【2014廣東卷（文13）】等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)且a,a54，則log2a1log2a2log2a3log?a°log285=.題型一等差、等比數(shù)列的基本運算例1已

7、知等差數(shù)列an的前5項和為105，且a10=2a5.求數(shù)列an的通項公式；對任意mN*,將數(shù)列an中不大于72m的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列bm的前m項和Sm.破題切入點(1)由已知列出關(guān)于首項和公差的方程組，解得al和d，從而求出an.(2)求出bm,再根據(jù)其特征選用求和方法.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，前n項和為Tn,由T5=105,a10=2a5,得5a1+5X(5-1)2d=105,a1+9d=2(a1+4d),解得a1=7,d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(nN*).對mN*,若an=7nw72m貝UnW72m-1.因此bm=72m1.所以數(shù)列bm是首項為

8、乙公比為49的等比數(shù)列，故Sn=b1(1qm)1q=7X(149m)149=7X(72m1)48=72m1748.題型二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例2(1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列an,前20項和為100,則a7?a14的最大值是()A.25B.50C.100D.不存在在等差數(shù)列an中，a1=2013，其前n項和為Sn,若S1212S1010=2，貝US2013的值為()A.2011B.2012C.2010D.2013破題切入點(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a7+a14=a1+a20,S20=20(a1+a20)2可求出a7+a14,然后利用基本不等式.等差數(shù)列an中，Sn是其前n項和，貝USnn也

9、成等差數(shù)列.答案(1)A(2)D解析(1)TS20=a1+a202x20=100,aa1+a20=10./a1+a20=a7+a14，二a7+a14=10.Tan>0,.a7?a14<a7+a1422=25.當且僅當a7=a14時取等號.故a7?a14的最大值為25.(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列Snn也是等差數(shù)列，根據(jù)已知可得這個數(shù)列的首項S11=a1=-2013，公差d=1,故S=-2013+(20131)X1=-1,所以S2013=2013.題型三等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足條件2Sn=3(an-1)，其中nN*.(1) 證明：數(shù)列an為等比數(shù)

10、列；(2) 設(shè)數(shù)列bn滿足bn=Iog3an，若cn=anbn,求數(shù)列cn的前n項和.破題切入點(1)利用an=Sn-Sn-1求出an與an-1之間的關(guān)系，進而用定義證明數(shù)|列an為等比數(shù)列.由(1)的結(jié)論得出數(shù)列bn的通項公式，求出cn的表達式，再利用錯位相減法求和.(1) 證明由題意得an=Sn-Sn-1=32(anan-1)(n>2),/an=3an1，二anan-1=3(n>2),又S1=32(a1-1)=a1,解得a1=3,數(shù)列an是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.解由(1)得an=3n,貝Ubn=log3an=log33n=n,cn=anbn=n?3n,設(shè)Tn=1?31+

11、2?32+3?33+(n1)?3n1+n?3n,3Tn=1?32+2?33+3?34+(n1)?3n+n?3n+1.2Tn=31+32+33+3nn?3n+1=3(1-3n)1-3-n?3n+1,-Tn=(2n1)3n+1+34.總結(jié)提高(1)關(guān)于等差、等比數(shù)列的基本量的運算，一般是已知數(shù)列類型，根據(jù)條件，設(shè)出a1,an,Sn,n,d(q)五個量的三個，知三求二，完全破解.(2) 等差數(shù)列和等比數(shù)列有很多相似的性質(zhì)，可以通過類比去發(fā)現(xiàn)、挖掘.等差、等比數(shù)列的判斷一般是利用定義，在證明等比數(shù)列時注意證明首項a1M0,利用等比數(shù)列求和時注意公比q是否為1.1. 已知an為等差數(shù)列，其公差為一2，且

12、a7是a3與a9的等比中項，Sn為an的前n項和，nN*,貝US10的值為()A.110B.90C.90D.110答案D解析/a3=a1+2d=a14,a7=al+6d=al12,a9=al+8d=al16,又a7是a3與a9的等比中項，(a112)2=(a14)?(a116),解得a1=20. S10=10X20+12X10X9X(2)=110.2. (2014?課標全國n)等差數(shù)列an的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn等于()A.n(n+1)B.n(n1)(n+1)(n1)2答案A解析由a2,a4,a8成等比數(shù)列，得a24=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2

13、)(a1+14), a1=2. Sn=2n+n(n1)2X2=2n+n2n=n(n+1).3. 等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若2S4=S5+S6,則數(shù)列an的公比q的值為()A.2或1B.1或2C.2D.1答案C解析方法一若q=1,則S4=4a1,S5=5a1,S6=6a1,顯然不滿足2S4=S5+S6,故A、D錯.若q=1,貝VS4=S6=0,S5=a5M0,|不滿足條件，故B錯，因此選C.方法二經(jīng)檢驗q=1不適合，則由2S4=S5+S6,得2(1q4)=1q5+1q6，化簡得q2+q2=0，解得q=1(舍去)，q=2.4. (2014?大綱全國)等比數(shù)列an中，a4=2,a5=5,則數(shù)列

14、Igan的前8項和等于()A.6B.5C.4D.3答案C解析數(shù)列l(wèi)gan的前8項和S8=lga1+lga2+lga8=Ig(a1?a2?a8)=lg(a1?a8)4=lg(a4?a5)4=lg(2x5)4=4.|5. (2014?大綱全國)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S2=3,S4=15,則S6等于()A.31B.32C.63D.64答案C解析在等比數(shù)列an中，S2、S4S2、S6S4也成等比數(shù)列，故(S4S2)2=S2(S6S4),則(153)2=3(S615),解得S6=63.6. 已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,則使得anbn為整

15、數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是()A.2B.3C.4D.5答案D解析由等差數(shù)列的前n項和及等差中項，可得anbn=12(a1+a2n1)12(b1+b2n1)=12(2n1)(a1+a2n1)12(2n1)(b1+b2n1)=A2n1B2n1=7(2n1)+45(2n1)+3=14n+382n+2=7n+19n+1=7+12n+1(nN*),故n=1,2,3,5,11時，anbn為整數(shù)|即正整數(shù)n的個數(shù)是5.7. (2013?課標全國I)若數(shù)列an的前n項和Sn=23an+13,則an的通項公式是an=答案（一2）n1解析當n=1時，a1=1;當n2時,an=SnSn1=23an23an1,故anan1

16、=2，故an=(2)n1.&(2014?江蘇)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是.答案4解析因為a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2，所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2q22=0,解得q2=2,a6=a2q4=1x22=4.9. (2014?安徽)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，貝Uq=.答案1解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則a3=a1+2d,a5=a1+4d,(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得d=1

17、,q=a3+3a1+1=a12+3a1+1=1.10. 在數(shù)列an中，如果對任意nN*都有an+2an+1an+1an=k(k為常數(shù))，則稱數(shù)列an為等差比數(shù)列，k稱為公差比.現(xiàn)給出下列問題： 等差比數(shù)列的公差比一定不為零； 等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列； 若an=3n+2,則數(shù)列an是等差比數(shù)列； 若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比.其中正確命題的序號為.答案解析若k=0,an為常數(shù)列，分母無意義，正確；公差為零的等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，錯誤；an+2an+1an+1an=3，滿足定義，正確；設(shè)an=a1qn1(q豐0),貝Uan+2an+1an+1an=a1qn+1a1qna1qna1

18、qn1=q,正確.11. (2014?課標全國I)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2,a4是方程x25x+6=0的根.(1) 求an的通項公式；(2) 求數(shù)列an2n的前n項和.解方程x2-5x+6=0的兩根為2,3,由題意得a2=2,a4=3.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a4a2=2d,故d=12,從而a1=32.所以an的通項公式為an=12n+1.設(shè)an2n的前n項和為Sn.由(1)知an2n=n+22n+1,則Sn=322+423+n+12n+n+22n+1,12Sn=323+424+n+12n+1+n+22n+2.兩式相減得12Sn=34+(123+12n+1)n+22n+2=34+14(1

19、12n1)n+22n+2.所以Sn=2n+42n+1.12. (2014?北京)已知an是等差數(shù)列，滿足a1=3,a4=12,數(shù)列bn滿足b1=4,b4=20,且bnan為等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列an和bn的通項公式；求數(shù)列bn的前n項和.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得d=a4a13=1233=3,所以an=a1+(n1)d=3n(n=1,2，).設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為q,由題意得q3=b4a4b1a1=201243=8,解得q=2.所以bnan=(b1a1)qn1=2n1.|從而bn=3n+2n1(n=1,2，).(2) 由(1)知bn=3n+2n1(n=1,2，).數(shù)列3n

20、的前n項和為32n(n+1),數(shù)列2n1的前n項和為12n12=2n1.所以，數(shù)列bn的前n項和為32n(n+1)+2n1.數(shù)列專題復(fù)習、等差數(shù)列的有關(guān)概念：1、等差數(shù)列的判斷方法：定義法an1and(d為常數(shù))或an1ananan1(n2)。如設(shè)an是等差數(shù)列，求證：以bn=竺也nN*為通項公式的數(shù)列bn為n等差數(shù)列。2、等差數(shù)列的通項：ana1(n1)d或anam(nm)d。如(1)等差數(shù)列an中，a1030,a2050，則通項an(答:2n10)；(2)首項為-24的等差數(shù)列,從第10項起開始為正數(shù),則公差的取值范圍是3、等差數(shù)列的前n和：Sn(1)數(shù)列an中，ann(da.)21/c2

21、(n2,n，Sn3d。則a1=n=_(答：a1(2)已知數(shù)列an的前an1ani，前n項和Sn號，3，n10)；2n項和Sn12nn，求數(shù)列|an|的前n項和Tn(答:2*12nn(n6,nN)T)n212n72(n6,nN)4、等差中項：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且A提醒：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。(2)為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a2d,ad,a,ad,a2d(公差為d)；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)

22、為，a3d,ad,ad,a3d,(公差為2d)5、等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)當公差d0時，等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d;前n和Snnain(n1)ddn2佝d)n是關(guān)于n的二次222函數(shù)且常數(shù)項為0.0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d0,則為遞減等差數(shù)列，右公差（2）若公差dd0,則為常數(shù)列。(3)當mnPq時，則有amanapaq,特別地，當mn2p時，則有aman2ap.如（1）等差數(shù)列an中，Sn18,anan1an23,S31，則n=(答：27)；(4)若an、bn是等差數(shù)列，則kan、kanpbn（k、p是非零常數(shù)）、2pnq（P，qN*）

23、、Sn,S2nSnnS?n，也成等差數(shù)列，而心紳成等比數(shù)列；若a.是等比數(shù)列，且an0，則lgan是等差數(shù)列.如等差數(shù)列的前n項和為25,前2n項和為100，則它的前3n和為。（答：225）（5）在等差數(shù)列an中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶-S奇nd;項數(shù)為奇數(shù)2n1時,S奇S偶a中，S2ni（2n1）a中（這里a中即an）;S奇:S偶n:n-1。如（1）在等差數(shù)列中，S11=22,則a6=（答：2）;（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列an中，奇數(shù)項和為80,偶數(shù)項和為75,求此數(shù)列的中間項與項數(shù)（答：5;31）.（6）若等差數(shù)列an、bn的前n和分別為A、Bn,且合f（n）,則Bnf（2n1）.如設(shè)a

24、n與bn是兩個等差數(shù)列，它們的前n項和分別為Sn和Tn，若乞3n1，那么an（答：6n2)Tn4n3bn8n7an(2n1)anA?n1bn(2n1)bnB2n1（7）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組anan100或:：10確定出前多少項為非負（或非正）；法0因等差數(shù)列前n項是關(guān)nN*。上述兩于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性種方法是運用了哪種數(shù)學思想（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎如（1）等差數(shù)列an中，a125,S9S7，問此數(shù)列前多少項和

25、最大并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）;（2）若an是等差數(shù)列，首項a10,a2003a20040,a2003a20040,則使前n項和Sn0成立的最大正整數(shù)n是(答：4006)（3）在等差數(shù)列an中,a100,an0,且an|a®|,Sn是其前n項和，則(S,S2LSo都小于S,S2LS9都小于S20,S21L都大于0S,S2LS5都小于0,S6,S7L都大于0S,S2LS20都小于S21,S22L都大于0(答：B)（8）如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列,且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項僅是公共的

26、項,其項數(shù)不一定相同，即研究anbm、等比數(shù)列的有關(guān)概念：1、等比數(shù)列的判斷方法：定義法空anq（q為常數(shù)），其中q0,an乩亙（n2）。陰陽師筆記無彈窗如（1）一個等比數(shù)列an共有2n1項，奇anan1數(shù)項之積為100,偶數(shù)項之積為120，則an1為5（答：丄）；（2）數(shù)列an中,6Sn=4an1+1(n2)且a1=1，若bnan12an，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列。2、等比數(shù)列的通項:ann1亠ae或anamq如等比數(shù)列an中,an66,a?an1128，前n項和Sn=126，求n和q.（答:q-或2)23、等比數(shù)列的前n和：當q1時，Sn；當q1時，Sna1(1qn)a1a“qo1q（1）

27、等比數(shù)列中,q=2,$9=77,求a3a6a99(答：44)；10n(答：2046);(2)(Cn)的值為n1k0特別提醒：等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為1時，要對q分q1和q1兩種情形討論求解。4、等比中項：若a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個.ab。如已知兩個正數(shù)a,b（ab）的等差中項為A,等比中項為B,則A與B的大小關(guān)系為（答：A>B）提醒：（1）等比數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個

28、元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2aa33，,aq,aq,qq個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，£r，a,a,aq,aq2（公比為q）;但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為qq9因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為q。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求此四個數(shù)。（答：15,9,3,1或0,4,8,16）5.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當mnpq時，則有amg3napgaq，特別地，

29、當mn2p時，則有2am8nap女口（1）在等比數(shù)列an中，a3比124,a4a7512，公比q是整數(shù)，則a10=_（答：512）；（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a5a69，則log3a1log3a2Llog3a10（答:10）。*（2）若an是等比數(shù)列，則|an|、apnq（p,qN）、kan成等比數(shù)列；若an、bn成等比數(shù)列，則anbn、咅成等比數(shù)列；若an是等比數(shù)列，且公比q1,bn則數(shù)列Sn,S2nSn,S3n務(wù)，也是等比數(shù)列。當q1，且n為偶數(shù)時，數(shù)列Sn,S2n&,S3nS2n，-是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列如(1)已知a0且a1,設(shè)數(shù)列xn滿足logaxn11lo

30、gaxn(nN*),且X1x2LX100100，則X101X102Lx200.(答：100a)；(2)在等比數(shù)列an中，Sn為其前n項和，若S3013So,SoS30140，則S20的值為(答：40)(3) 若ai0,q1，則an為遞增數(shù)列；若耳0,q1,則an為遞減數(shù)列；若ai0,0q1，則an為遞減數(shù)列；若印0,0q1,則a.為遞增數(shù)列；若q0，則an為擺動數(shù)列；若q1，則an為常數(shù)列.(4) 當q1時，Sna1qnHaqnb，這里ab0,但a0,b0，1q1q是等比數(shù)列前n項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)&，判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列。如若an是等比數(shù)列，且Sn3nr，則r=(

31、答：1)(5) SmnSmq"SnS.qm.如設(shè)等比數(shù)列a*的公比為q，前n項和為Sn,若Sn1,Sn,Sn2成等差數(shù)列，則q的值為(答：2)(6) 在等比數(shù)列an中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶qS奇；項數(shù)為奇數(shù)2n1時，S奇a1qS偶.心懷鬼胎小說如果數(shù)列an既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列務(wù)是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列an僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。2Snanbna、bR,如設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn(nN),關(guān)于數(shù)列如有下列三個命題：若1n，則an是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號anan1(nN)，則an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若則an是等差數(shù)列；若

32、Sn1是(答：)三、數(shù)列通項公式的求法一、公式法anSXn1)Sn&1(n2)an等差、等比數(shù)列an公式.例已知數(shù)列an滿足an12an32n,ai2，求數(shù)列an的通項公式。aan3-4-，說明數(shù)列2n2i)3，進而求出數(shù)列剳是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式ani2an32n轉(zhuǎn)化為開an的通項公式。例已知數(shù)列an滿足anian2n1,a!1,求數(shù)列an的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式anian2ni轉(zhuǎn)化為anian2ni，進而求出(anani)(anian2)L(asa2)ai)a!，即得數(shù)列an的通項公式。例已知數(shù)列an滿足

33、anian2n丄3i，ai求數(shù)列an的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式anian3ni轉(zhuǎn)化為anian23ni,進而求出an(anani)(anian2)(asa2)2ai)ai，即得數(shù)列a.的通二、累加法項公式。三、累乘法例已知數(shù)列an滿足ani2(ni)5nan，ai3，求數(shù)列an的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系ani2(ni)5nan轉(zhuǎn)化為旦口2(ni)5n，進而求ian出亙苑l魚魚ai，即得數(shù)列an的通項公式。anian2a2ai四、取倒數(shù)法例已知數(shù)列an中，其中aii,，且當n>2時，anani2ani，求通項公式an。i解將an也2ani-兩邊取倒數(shù)得

34、：iianii2，這說明丄是一個等差數(shù)列,ananiiii首項是丄i，公差為2，所以丄i(ni)22ni，即anaian2ni五、待定系數(shù)法6，求數(shù)列an的通項公式。例已知數(shù)列an滿足ani2an35n,a“評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an12an35n轉(zhuǎn)化為am5n12(an5n)，從而可知數(shù)列an5n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an5n的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。例已知數(shù)列an滿足an13an52n4，a11，求數(shù)列an的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an13ann524轉(zhuǎn)化為an152n123（an52n2），從而可知數(shù)列務(wù)52n2是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列a

35、n52n2的通項公式，最后再求數(shù)列an的通項公式。六、對數(shù)變換法例已知數(shù)列an滿足ani23na；，ai7，求數(shù)列a.的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an123na；轉(zhuǎn)化為lgan1器1）譬弩5（lgan器耳?），從而可知數(shù)列41644164lgan也直2是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列l(wèi)gan旦n朋的通項41644164公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。七、迭代法例已知數(shù)列an滿足an1a；（n1）2",a5，求數(shù)列佝的通項公式。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式an1an（n1）2兩邊取常用對數(shù)得lgan13(n1)2nlga

36、n，即lg%13(n1)2n，再由累乘法可推知lganlganLlgan1lgan2n(n°3n1n!2n(n1)lga3lga23n1n!223!22-一lgqlg5，從而an5。lga2lgq八、數(shù)學歸納法例已知數(shù)列an滿足an1a8(n1)aan22，a1(2n1)(2n3)8，求數(shù)列an的通項公式。9解：由an1an仲2及a18，得。(2n1)(2n3)9由此可猜測an2(2nJ21，往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。(2n1)2(1)當n1時,ai2(211)1(211)28，所以等式成立。9(2)假設(shè)當nk時等式成立，即ak2(2(；晉，則當nk1時，ak1ak8(k1)z。

37、22(2k1)(2k3)由此可知，當nk1時等式也成立。根據(jù)(1)，(2)可知，等式對任何N都成立。九、換元法1例已知數(shù)列an滿足an1押124an)，a,1，求數(shù)列a.的通項公式。1解：令bnJ24an，則an另(b21)121故an124(bn11)，代入an116(14an.124an)得。即4b；1(bn3)2因為bn,124an0，故bn1,124%10則2bmbn3，即bn1丄021可化為bn13；(03)，所以bn3是以b13,124a13124132為首項，以1為公比的等比數(shù)n1(-2)n2，則bn(1)n23,即J124an(1)n23，得列，因此bn3an構(gòu)造等差、等比數(shù)列

38、法an1panq；an1panqn:an1panf(n);an2panqan.已知數(shù)列an中，a11,an12an3，求數(shù)列an的通項公式.【解析】an132(an3)342n1an2n13.【反思歸納】遞推關(guān)系形如“aPan適用于待定系數(shù)法或特征根法:令an1P(an)；在an1panq中令an1X旦，an1X1pP(anX）；由an1panq得anPan1an1anp(anan1).例已知數(shù)列an中，ai1,ani2an3n，求數(shù)列an的通項公式【解析】an12an3n，色1an2門2門1bn(bnbn1)(bn1bn2)（2）"'令貝bn（b2b1）b12（2an3n2

39、n【反思歸納】遞推關(guān)系形如“panqn”通過適當變形可轉(zhuǎn)化為:“an1panq”或“an1anf(n)n求解.卜一、不動點法例已知數(shù)列an滿足an17an2anai2，求數(shù)列an的通項公式。解：令x君，得2x24x23x10,則x1是函數(shù)f(x)廠的不動點。因為an15a5，所以2an32/1nK2(4)(1)n1(2)3。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將J24an的換元為bn，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化bn11bn3形式，從而可知數(shù)列bn3為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列bn3的通項公式,最后再求出數(shù)列an的通項公式。四、數(shù)列求和的基本方法和技巧1、等差數(shù)列求和公式：Snn(d2an)na1n(n1)d2n

40、a1(q1)2、等比數(shù)列求和公式：內(nèi)(1nq)aanq(q1)1q1q、利用常用求和公式求和23n前n個正整數(shù)的和1前n個正整數(shù)的平方和前n個正整數(shù)的立方和公式法求和注意事項1213(1)22233233n(n1)22nn(n1)(2n1)2弄準求和項數(shù)n的值；6n(n1)2(2)等比數(shù)列公比q未知時，運用前n項和公式要分類例已知log3x，求xx2x3log23xn的前n項和.*例設(shè)Sn=1+2+3+n,nN,求f(n)Sn(n32)Sn1的最大值.二f(n)Sn(n32)Sn1n3464Cn8)n丄250508，即n=8時,.8f(n)max150二、錯位相減法求和n項和，其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前數(shù)列.求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比q；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。1n1例：(2009全國卷I理)在數(shù)列an中，q1,an1(12)an吟n2a(I)設(shè)bnn，求數(shù)列bn的通項公式(II)求數(shù)列an的前n項和Snn分析：(I5已知有陽:Ibn1bn1*利用累差迭加即可求出數(shù)列bn的通項公式：bn2F（nN）三、倒序相加法求和