1.2多元函數(shù)連續(xù)性ppt課件

1、多多元元函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性定義定義若若),(),(00limyxyx),(yxf),(00yxf 則稱則稱),(000yxP在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxfz 連續(xù)連續(xù)或稱或稱),(000yxP點(diǎn)點(diǎn)),(yxfz 是是的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)否則，否則， 叫間斷點(diǎn)叫間斷點(diǎn)定義定義若若),(yxfz 在在其其定定義義域域上上D每點(diǎn)每點(diǎn)都連續(xù)，都連續(xù)， 則稱則稱),(yxfz 上上的的是是D連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 在 D 上連續(xù)的二元函數(shù)的圖象是一張不間斷、無洞、無裂縫的曲面。例例1 1 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200lim

2、yxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)1. 連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算或復(fù)合之后仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算或復(fù)合之后仍連續(xù)(P275定理定理1和定理和定理2)；多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)： 注： 二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念可以推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)；形式相同，所不同的是“鄰域與“間隔的具體含義有異。 2. 在閉區(qū)域 D 上連續(xù)的函數(shù)，在 D 上有界，在 D 上存在最值P277定理4和定理5） 3.在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上連續(xù)的函數(shù)，在上連續(xù)的函數(shù)，在 D 上有界，

3、在上有界，在 D 上上最大值和最小值不等，則在最大值和最小值不等，則在D上至少一次取得介于最大值上至少一次取得介于最大值和最小值之間的任意值。和最小值之間的任意值。 （P277定理定理6） 多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域00000lim( )( )(

4、 )( )lim( )().PPPPf Pf PPf Pf PPf Pf P 求求時(shí)時(shí)，如如果果是是初初等等函函數(shù)數(shù)，且且是是的的定定義義域域的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)( (非非邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)) )，則則在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)，于于是是求極限的一種方法求極限的一種方法例例2 2求求)5,2(),(limyxyx sin3解解yxzsin3 初等函數(shù)初等函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在在)5 , 2(連續(xù)連續(xù)32 5sin2323(1,0)lim(1)101010 xx yxy ，y)y)例例3 3例例6 6.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 例例5：求：求220220lim11xyxyxy 2222002200limlim1 1001 1 211xxyyxyxyxy 確定極限存在的方法：確定極限存在的方法：0, （1 1）定定義義