線性代數(shù)--ch-2-2逆矩陣ppt課件

1、 上節(jié)討論了矩陣的加、減、乘運算現(xiàn)在要問，矩陣有上節(jié)討論了矩陣的加、減、乘運算現(xiàn)在要問，矩陣有無無“除除”的運算的運算？ 對對于于數(shù)數(shù)a，只只要要0a，則則必必存存在在它它的的倒倒數(shù)數(shù)a1，且且111aaaa此此時時任任一一數(shù)數(shù)b除除以以a可可以以表表示示為為ab1 相相仿仿地地，要要談?wù)劶凹胺椒疥囮嚨牡摹俺保途捅乇仨氻毥饨鉀Q決“對對于于方方陣陣A，是是否否存存在在方方陣陣B，使使ABBAI成成立立？” 如設(shè)如設(shè)0001A，則對任意二階方陣，則對任意二階方陣B，都不能，都不能使使ABBAI 分析分析 設(shè)設(shè)22211211bbbbB， 222122211211001000bbbbbbAB

2、1000 221222211211001000bbbbbbBA 1000 而而對對于于矩矩陣陣12diag(,)na aaA，當(dāng)當(dāng)0ia（ni, 2 , 1）時時，取取11112diag(,)naaaB， 就就可可滿滿足足ABBAI 定義定義 1 對于方陣對于方陣A，若存在同階方陣，若存在同階方陣B，使，使 ABBAI， (2.7) 注注意意 首首先先，由由矩矩陣陣的的乘乘法法規(guī)規(guī)則則，只只有有方方陣陣才才滿滿足足 (2.7) 事事實實上上，假假設(shè)設(shè)12,B B是是兩兩個個適適合合等等式式(2.7)的的矩矩陣陣，則則 其次，對于可逆矩陣其次，對于可逆矩陣A，適合等式，適合等式(2.7)的矩陣的

3、矩陣B是惟一是惟一的的 則則稱稱A為為可可逆逆矩矩陣陣（也也稱稱非非奇奇異異矩矩陣陣）， 否則稱否則稱A為為 不可逆矩陣（也稱奇異矩陣）不可逆矩陣（也稱奇異矩陣） 11121222()()BB IB ABB A BIBB 定定義義 2 如如果果矩矩陣陣B適適合合等等式式(2.7)，則則稱稱B為為A的的逆逆矩矩陣陣，記記為為1A 則則 111121naaaA 例例 設(shè)設(shè) 0ia（ni, 2 , 1）， 12Anaaa， 定義定義 3 設(shè)設(shè) 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA，ijA是是A中元中元素素ija的代數(shù)余子式，的代數(shù)余子式， 矩矩陣陣 1121112222*12nn

4、nnnnAAAAAAAAAA 稱稱為為A的的伴伴隨隨矩矩陣陣 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA *A nAAA11211 nAAA22221 nnnnAAA21 命命題題 設(shè)設(shè)A為為n階階方方陣陣，則則 *AAA AA I (2.8) 證明證明定定理理 n階階方方陣陣A為為可可逆逆矩矩陣陣的的充充分分必必要要條條件件是是0A，且且當(dāng)當(dāng)A可可逆逆時時， 1*1AAA (2.9) 證明證明注意注意 若若A為可逆矩陣，則為可逆矩陣，則11AA 例例 1 判判斷斷下下列列方方陣陣是是否否可可逆逆，若若可可逆逆，求求其其逆

5、逆矩矩陣陣 123221343A， 015422113 B 解解 因因20A，0B，故故A可可逆逆，B不不可可逆逆 *264365222 A， *113235322111 AAA 例例 2 設(shè)設(shè)A為為3階方陣，且階方陣，且12A，求，求1*3AA 解解 由由12A，得得*11111,22.AA AAAA 故故1*111332 AAAA 112 A 3112 A 41281. *AAA AA I (2.8) *A AAn 證證 當(dāng)當(dāng)0A 時時，由由(2.8)及及方方陣陣行行列列式式的的性性質(zhì)質(zhì)，結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立 例例 3 設(shè)設(shè)A為為n階階方方陣陣，證證明明1*AAn 當(dāng)當(dāng)0A 時時， 1

6、212222000nnnnnaaaaaaA， 1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA 如如果果12111,naaa不不全全為為零零，不不妨妨設(shè)設(shè)011a， 則則由行列式性質(zhì)由行列式性質(zhì) 7 與性質(zhì)與性質(zhì) 8，有，有01221111niniiAaAaAa，ni, 2, 1 從而從而 1121111 112111222211 12222*111211 121A nnnnnnnnnnnnAAAa AAAAAAa AAAaAAAa AAA 如如果果12111,naaa都都為為零零，則則*A至至少少有有一一行行元元素素全全為為零零，結(jié)結(jié)論論也也顯顯然然成成立立 nnnnnnnnnnn

7、nnnAAAaAaAaAAAaAaAaAAAaAaAaa2122111122221222112111211121211111111 00001222212111nnnnnAAAAAAa 證畢證畢 考考慮慮n元元線線性性方方程程組組 .,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 若記若記 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA，12nxxxX，12nbbbB， 則則該該方方程程組組可可寫寫為為矩矩陣陣形形式式 AXB AXB， 當(dāng)當(dāng)A可逆，即可逆，即0A時，時， 說說明明： 將將上上式式展展開開即即是是克克拉拉默默法

8、法則則 兩兩端端同同時時左左乘乘1A，得得 其中其中A為為n階方陣階方陣 1*1XA BA BA 例例 4 解線性方程組解線性方程組 . 2343, 122, 232321321321xxxxxxxxx 解解 此此方方程程組組可可寫寫成成矩矩陣陣形形式式 212343122321321xxx 由例由例 1 知，知，123221343A可逆，且可逆，且113235322111A 故故方方程程組組的的解解為為 112313221353112221111XAB xxx， 即即1, 1, 1321xxx 性 質(zhì)性 質(zhì) 1 設(shè)設(shè)A、B為為n階 方 陣 ， 若階 方 陣 ， 若ABI或或BAI，則，則A可

9、逆，且可逆，且1BA 證證 由由232AAIO，得，得(3 )2A AII， 即即 1(3 )2AAII 由性質(zhì)由性質(zhì) 1 知，知，A可逆，且可逆，且11(3 )2AAI 證明證明例例 5 設(shè)設(shè)n階階方方陣陣A滿滿足足232AAIO，求求證證A可可逆逆，并并求求其其逆逆矩矩陣陣 性性質(zhì)質(zhì) 2 若若A為為可可逆逆矩矩陣陣，則則1A，Ak（k為為任任意意非非零零常常數(shù)數(shù)）以以及及AT也也都都可可逆逆，且且 11()AA； 111()AAkk； 11()()AATT 證明證明性性質(zhì)質(zhì) 3 若若A、B是是同同階階可可逆逆矩矩陣陣，則則AB也也可可逆逆，且且111()ABBA 證明證明 定定義義 4 設(shè)

10、設(shè)有有n階階實實方方陣陣A，若若AAA AITT，則則稱稱A為為n階階正正交交矩矩陣陣 例例 1001A， 122333212333221333B 都是正交矩陣都是正交矩陣 (1) 若若A為正交矩陣，則為正交矩陣，則1A ； (2) 若若A為為正正交交矩矩陣陣，則則AT也也是是正正交交矩矩陣陣； (3) 若若A、B為同階正交矩陣，則為同階正交矩陣，則AB也是正交矩陣；也是正交矩陣； (4) 設(shè)設(shè)A為為n階階實實方方陣陣，若若AAIT或或A AIT，則則A為為正正交交矩矩陣陣，且且1AAT 證證(1)(1)： 因因A為正交矩陣，故為正交矩陣，故AAIT， 由方陣行列式性質(zhì)有由方陣行列式性質(zhì)有A

11、AIT， 即即21A，所以，所以1A 證證(3)(3)： 因因A、B為為同同階階正正交交矩矩陣陣，即即 AAA AITT， BBB BITT， 故故 ()()ABABABB AAIAAAITTTTT， () ()ABABB A ABB IBB BITTTTT 由由定定義義AB為為正正交交矩矩陣陣 本節(jié)完本節(jié)完 證證 由由行行列列式式性性質(zhì)質(zhì) 8， 000000AAA IA 命命題題 設(shè)設(shè)A為為n階階方方陣陣，則則 *AAA AA I (2.8) 證證畢畢 11121112112122212222*1212AAnnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAaaaAAA同理，同理，*A AA I

12、 證證 必必要要性性 設(shè)設(shè)A為為可可逆逆矩矩陣陣， 則存在則存在1A，使，使1AAI 由由方方陣陣行行列列式式的的性性質(zhì)質(zhì)有有11A AI，故故0A 充充分分性性因因0A ，由由(2.8)可可知知 *AAAAIAA *AAA AA I (2.8) 所以所以A為可逆矩陣，且為可逆矩陣，且1*1AAA 證畢證畢 定定理理 n階階方方陣陣A為為可可逆逆矩矩陣陣的的充充分分必必要要條條件件是是0A，且且當(dāng)當(dāng)A可可逆逆時時， 1*1AAA (2.9) 性質(zhì)性質(zhì) 1 設(shè)設(shè)A、B為為n階方陣，若階方陣，若ABI或或 BAI，則，則A可逆，且可逆，且1BA 同同理理可可證證，若若BAI，則則A可可逆逆，且且1BA 證證畢畢 若若ABI，則則1A BI， 0A ， 故故1A存存在在 在在ABI兩兩端端左左乘乘1A，得得1BA 證證 因因A可可逆逆，故故1A存存在在 由由性性質(zhì)質(zhì) 1 只只需需分分別別驗驗證證 以以上上三三式式是是顯顯然然成成立立的的 證證 1AAI； 11()()kAAIk； 1()()AAITT 證畢證畢 性性質(zhì)質(zhì) 2 若若A為為可可逆逆矩矩陣陣，則則1A，Ak（k為為任任意意非