(完整版)余弦定理的證明方法大全(共十法)

1、第1頁(yè)共 4 頁(yè)余弦定理的證明方法大全（共十法）余弦定理的證明方法大全（共十法）一、余弦定理一、余弦定理余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的積的兩倍，即在AABC中，已知AB=c,BC=a,CA=b，則有a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.二、定理證明二、定理證明為了敘述的方便與統(tǒng)一,我們證明以下問(wèn)題即可:在AABC中，已知AB=c,AC=b，及角A,求證：a2二b2+c2-2bccosA.證法一：證法一：如圖 1,在AABC中，由CB二AB-AC可得:CB-CB=(AB-AC)-(AB

2、-AC)=AB2+AC2-2AB-AC=b2+c2-2bccosA即，a2二b2+c2-2bccosA.證法二證法二: :本方法要注意對(duì) ZA進(jìn)行討論.(1)當(dāng) ZA是直角時(shí)，由b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos900=b2+c2=a2知結(jié)論成立.當(dāng) ZA是銳角時(shí)，如圖 2-1,過(guò)點(diǎn)C作CD丄AB，交 AB 于點(diǎn) D,則在RtAACD中，AD=bcosA,CD=bsinA.從而，BD=AB-AD=c-bcosA.在RtABCD中，由勾股定理可得：BC2=BD2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=c2-2cbcosA+b2即，a2=b2+c2-2bccosA.說(shuō)明

3、：圖 2-1 中只對(duì) ZB 是銳角時(shí)符合，而 ZB 還可以是直角或鈍角若 ZB 是直角，圖中的C圖1C第2頁(yè)共 4 頁(yè)點(diǎn) D就與點(diǎn) B 重合；若 ZB 是鈍角，圖中的點(diǎn) D就在 AB 的延長(zhǎng)線上.當(dāng) ZA是鈍角時(shí)，如圖 2-2,過(guò)點(diǎn)C作CD丄AB，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則在RtAACD中，AD=bcos（兀-A）=_bcosA,CD=bsin（兀-A）=bsinA.從而，BD二AB+AD二c-bcosA.在RtABCD中,由勾股定理可得：BC2=BD2+CD2=(c一bcosA)2+(bsinA)2=c2-2cbcosA+b2即，a2=b2+c2-2bccosA.綜上，（2）,（3）可知，均有a

4、2=b2+c2-2bccosA成立.證法三證法三: :過(guò)點(diǎn)A作AD丄BC,交BC于點(diǎn) D,則BDAD在RtAABD中，sina=,cosa=ccCDAD在RtAACD中，sinP=,cosp=bb由cosA=cos(a+P)=cosacosP-sinasinP可得:人ADADBDCDAD2-BD-CDcosA=-=cbcb2AD2-2BD-CD=c2-BD2+b2-CD2-2BD-CD2bc2bcb2+c2-(BD+CD)2b2+c2-a22bc2bc整理可得a2=b2+c2-2bccosA.將帶入，整理可得acosB=c-bcosA將，平方相加可得a2=(c一bcosA)2+(bsinA)2

5、=b2+c2一2bccosA.bc證法四證法四: :在AABC中,由正弦定理可得asinAbsinBccsinCsin(A+B)從而有bsinA=asinB,csinA=asin(A+B)=asinAcosB+acosAsinB.C圖 2-2圖 3第3頁(yè)共 4 頁(yè)即，a2=b2+c2一2bccosA.證法五證法五: :建立平面直角坐標(biāo)系（如圖 4）,則由題意可得點(diǎn)A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由兩點(diǎn)間距離公式可得a2=(c一bcosA)2+(bsinA)2=c2一 2cbcosA+b2.即，a2=b2+c2一2bccosA.證法六證法六: :在AABC中，由正弦定

6、理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.于是，a2=4R2sin2A=4R2sin2(B+C)=4R2(sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC)=4R2(sin2B+sin2C一2sin2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC)=4R2(sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)=4R2(sin2B+sin2C一2sinBsinCcosA)=(2RsinB)2+(2RsinC)2一2(2RsinB)(2RsinB)cosA=b2+c2一2bccosA即,結(jié)論成立.證法七證法七: :在AABC中，由正弦定理可得

7、a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.于是，a2=b2+c2-2bccosAo4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C一8R2sinBsinCcosAo2sin2A=2sin2B+2sin2C一4sinBsinCcosAo2sin2A=2一cos2B+cos2C一4sinBsinCcosAo2一2cos2A=2一2cos(B+C)cos(B一C)一4sinBsinCcosA由于cos(B+C)=cos(x-A)=-cosA,因此ocos2A=cos(B+C)cos(B一C)+2sinBsinCcosAocosA=-cos(B一C)+2sinBsinCocosA=-c

8、osBcosC+sinBsinC=-cos(B+C).這，顯然成立.第4頁(yè)共 4 頁(yè)即,結(jié)論成立.證法八證法八: :如圖 5,以點(diǎn)C為圓心，以CA=b為半徑作OC,直線BC與OC交于點(diǎn)D,E，延長(zhǎng)AB 交OC于 F，延長(zhǎng)AC交OC于G則由作圖過(guò)程知AF=2bcosA,故BF=2bcosA-c.由相交弦定理可得：BA-BF=BD-BE,即，c-(2bcosA-c)=(b+a)-(b-a),整理可得：a2=b2+c2-2bccosA證法九證法九: :如圖 6,過(guò)C作CDAB，交AABC的外接圓于 D,則AD=BC=a,BD=AC=b.分別過(guò)C,D作AB的垂線，垂足分別為E,F，則AE=BF=bcosA，故CD=c-2bcosA由托勒密定理可得AD-BC=AB-CD+AC-BD,即，a-a=c-(c-2bcosA)+b-b.整理可得：a2=b2+c2-2bccosA證法十：證法十：由圖 7-1 和圖 7-2