2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.2 二倍角的三角函數(shù)教案2 蘇教版必修4

1、2019-20202019-2020 年高中數(shù)學(xué) 3.23.2 二倍角的三角函數(shù)教案 2 2 蘇教版必修 4 4三維目標(biāo)1知識與技能(1) 能用倍角公式推導(dǎo)出半角公式(2) 能運(yùn)用三角函數(shù)的公式進(jìn)行簡單的恒等變換(3) 會用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題2過程與方法讓學(xué)生由倍角公式導(dǎo)出半角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；通過例題講解，總結(jié)方法，通過做練習(xí)，鞏固所學(xué)知識3情感、態(tài)度與價值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對三角函數(shù)各個公式之間有一個全新的認(rèn)識；理解掌握三角函數(shù)各個公式的各種變形，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力、邏輯推理能力和綜合分析能力，

2、提高逆用思維的能力重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：角的和、差、倍公式的綜合應(yīng)用難點(diǎn)：運(yùn)用所學(xué)公式解決簡單的實(shí)際問題(教師用書獨(dú)具)教學(xué)建議關(guān)于半角公式的教學(xué)教學(xué)時，建議教師從讓學(xué)生回憶二倍角的三個余弦公式出發(fā)，提出問題“如何用角QQ的三角函數(shù)值，表示角的三角函數(shù)值”.在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主歸納探究，并總結(jié)出半角公式，然后結(jié)合半角公式的特點(diǎn)，師生共同總結(jié)出公式記憶方法，最后通過典型例題及題組訓(xùn)練熟悉并掌握半角公式整個教學(xué)立足于體現(xiàn)一種“以思導(dǎo)學(xué)”的知識生成過程教學(xué)流程I 創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出降幕公式與半角公式，并總結(jié)公式的特點(diǎn)及作用 In通過例 1 及其互動探究，使學(xué)生掌握利用降幕公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡

3、與證明的方法通過例 2 及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握利用和、差、倍角公式研究函數(shù)的性質(zhì)的解題方法n通過例 3 及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握解決三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的思路及方法 n歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識本節(jié)課所學(xué)知識.完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識并進(jìn)行反饋矯正.授方略流程細(xì)解用“敎案”教案設(shè)計(jì)區(qū)4靜諭自主導(dǎo)學(xué)自主學(xué)習(xí)區(qū)I課標(biāo)解讀1. 能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式.2.能運(yùn)用所學(xué)三角函數(shù)的公式進(jìn)行簡單的恒等變換.（重點(diǎn)）3.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題.（難點(diǎn)）理敎材自查自測固基礎(chǔ)降幕公式與半角公式問題導(dǎo)思】已知 cos提示】.asin2(1)降幕公式a1cosasin29=2a的值，如何

4、求 siny 的值？aa1cosa由 cosa=12sin22 得 sin=2，1cosacos21+cosa2.asin2a21cosatan2c=2a1+cosacos2(2)半角公式sincostan即=1cosasina1cosa1+cosa1+cosasina總互動探究破疑難師生互動提“知能”合作探究區(qū)I三角函數(shù)式的化簡與證明化簡 cos2（Q+15）+cos2（Q15）專 cos2Q.此式中出現(xiàn)了Q+15，Q15與 2Q，要達(dá)到角的統(tǒng)一向角2Q進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此，可考慮降幕公式.3cos2（Q+15）+cos2（Q15）cos2Qcos2Q【思路探究】Q+15,Q15自主解答】1+co

5、s2e2+1+ccs2Q1 行。十 213=1+2cos(2Q+30)+cos(2Q30)_cos2Q需將角=l+(cos20cos30sin20sin30+cos20cos30+sin20sin30)乎 cos2013=1+X2cos20cos302COS20=l+cos20斗cos20=1.1應(yīng)用降冪公式可將“二次式”轉(zhuǎn)化為“一次式”2三角函數(shù)式的化簡，一般從減少角的種類、減少函數(shù)的種類、改變函數(shù)運(yùn)算的結(jié)構(gòu)入手，常采用化弦法、化切法、異角化同角、異次化同次、異名化同名等方法，達(dá)到化簡的目的3如將本例改為“sin2(0+15)+sie(015)+專 cos20”，如何化簡?10+13=12C

6、OS(20+30)+cos(2030)+cos20=12(2cos20cos30)+于 cos2033 門=1 一丁 cos20+亍 cos20=1.利用和、差、倍角公式研究函數(shù)的性質(zhì)=3 為;3+4sin(號2x)=34sin(2x3)【解】原式=1_cos20+30。求函數(shù) f(x)=i3cos2x+3sin2X4sinxcosx,n7n24的最小值，并求其單調(diào)減區(qū)間【思路探究】化簡 fx的解析式fx=A.wx+BfSTT1Wx+0的范圍f 求最小值，單調(diào)減區(qū)間【自主解答】f(x)=5 込吐尸+麗=3；3+2；3cos2x2sin2x=3；3+4(乎 cos2x-*sin2x)1cos2x

7、22sin2x=3/3+4(sinn3cos2xcos詈 sin2x).:當(dāng) 2x3=4，即 x=24 時，f(x)取最小值為 32：2.Vy=sin(2x3)在吟，詈上單調(diào)遞增,1研究函數(shù)性質(zhì)的一般步驟：(1)對函數(shù)式化簡；(2)借用函數(shù)圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的性質(zhì)2對三角函數(shù)式化簡的常用方法：(1)降冪化倍角；(2)升冪角減半；b利用 f(x)=asinx+bcosxnja2+b2sin(x+g)(其中 tan0=_)，化同名函數(shù).(xx濟(jì)寧高一檢測)已知函數(shù) f(x)=2cos2x+2J3sinxcosx+3，xeR.(1)求函數(shù) f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù) f(x)在(0

8、,號上的最小值與最大值.【解】(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx+3=cos2x+；3sin2x+4=2sin(2x+*)+4.所以函數(shù) f(x)的最小正周期丁=譽(yù)=n./、_nn,n_5n(2)T0VXW77，V2X+7TW 丁，3666nn5n當(dāng) x=3 時，2X+6=，函數(shù) f(x)取得最小值為 5.當(dāng) x=6 時，2x+6=-，函數(shù) f(x)取得最大值為 6.三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用點(diǎn) P 在直徑 AB=1 的半圓上移動，過 P 作圓的切線 PT,且 PT=1,ZPAB=a，問a為何值時，四邊形 ABTP 的面積最大？【思路探究】 首先根據(jù)題意畫出圖形， 然后根據(jù)圓的幾何性質(zhì)

9、和四邊形面積的求法將四邊形的面積表示為三角函數(shù)的形式，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決.【自主解答】如圖，TAB 為直徑，ZAPB=90,PA=cosa，PB=sina.又 PT 切圓于 P 點(diǎn)，7n24上單調(diào)遞減./n、1.ZTPB=ZPAB=a,1cos2a2a+解決實(shí)際問題時，應(yīng)首先設(shè)定主變量角a以及相關(guān)的常量與變量，建立含有角a的三角函數(shù)的關(guān)系式，再利用三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行求解一般地，求最值的問題需利用三角函數(shù)的有界性來解決某工人要從一塊圓心角為 45的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為 1m求割出的長方形桌面的最大面積為.【解析】如圖，連結(jié) 0C,設(shè)

10、 ZC0B=6，則0645,0C=1,TAB=OBOA=cos6AD=cos6BC=cos6sin6，S=ABBC=(cos6sin6)sin6矩形ABCD=sin26+sin6cos6=2(1cos26)+jsin26=2(sin26+cos26)2/cn、1=cos(26),當(dāng)26-號=0,即6=n 時，字血）,三角函數(shù)式化簡時忽視角的范圍致誤.S=SS四邊形ABTPPABPB+fpTPBsina=|sinacosa+*sin2a=*sin=4(sin2a-cosTOVa-y,1 寸 2/n.,12a)+=sin(2a才)+4.n3n7Tn丁2a當(dāng)2a-號 2n，即當(dāng)a晉時，四邊形 ABT

11、P 的面積最大，最大為1土嚴(yán)m(xù)，Smax.割出的長方形桌面的最大面積為2m2.【答案】迸1m2易找易誤辨析巧分辨解疑辨誤避“陷P井”技能提升區(qū)I已知3na2n,=TPB化簡 2+22+2cos-i,i.1,12+22+2cosQ【錯因分析】上述錯解在于運(yùn)用倍角公式從里到外去根號時，沒有顧及角的范圍而選擇正、負(fù)號，只是機(jī)械地套用公式防范措施】應(yīng)根據(jù)三角函數(shù)式的值的符號去掉絕對值，因此在去掉三角函數(shù)式的絕【錯對值符號時，要注意角的范圍問題所以3na3n3nan因?yàn)?a2n，所以育才 Vq,所以 sin 牛0,所以原式=sin 乍51cos2a(1)二倍角余弦公式變形用來升幕降幕，應(yīng)靈活掌握：sin

12、123a2，cos2a=1+cos2a22解決有關(guān)的化簡、求值、證明時注意二倍角公式的綜合運(yùn)用3對于三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，其求解策略為引入恰當(dāng)?shù)妮o助角，建立有關(guān)輔助角的三角函數(shù)表達(dá)式，并利用和、差、倍角公式進(jìn)行化簡整理由于引入輔助角的恰當(dāng)與否直接影響該題的計(jì)算量，故求解時多注意分析題設(shè)，恰當(dāng)引入呼雙基達(dá)標(biāo)隨堂練笠.主互動達(dá)“雙標(biāo)”交流學(xué)習(xí)區(qū)451.若 cosa=3，且aw（o，n），則 siny 的值為【解析】Vaw(0，n)，育丘(0，步，32 已知 cosa=匚，且 nVa53【解析】VnVa0n,.cos.sin=【答案】弓1cosa答案】553已知anltan=3，則 cosa3

13、naV 丁，則 cos1+cosana3解析】由 tanlcosa廠3可得:lcosa1+cosa=9,則cosa=1+cos4_5*答案】4化簡：+sin0+cose2+2cos0eecos22/、(0en).解】原式eee2cosi+2cos2yee2cosIecos4cos2牛eee門2石cos2cos 石 COSe222cos2|sin乞lIcos2I八enV0eVn,02Vg. cose原式=cose.一、填空題n1.sing=8解析】.nsin8答案】22.|+|cos215=【解析】原式=3+*1+皿3003.2 丄 2 丄 2=_3+3+3COS33答案】3.5n0解析】30e

14、si叮=.5ne3neV5ne6n,匚丁，si 叮0.6n,entcos2=a,則4.函數(shù) f(X)=2cosx(sinx+cosx)的最小正周期為.【解析】f(x)=2cosx(sinx+cosx)=2cosxsinx+2cos4x=sin2x+cos2x+1=“2sin(2x+予)+1.故最小正周期為丁=晉【答案】n5.2+2cos8+2 寸 1 一 sin8 的化簡結(jié)果是【解析】原式=2|cos4|+2|sin4cos4|.5.4 盯 V4,.cos4V0,sin4cos4.原式=2cos4+2cos42sin4=2sin4.【答案】2sin4AC76.在ABC 中，角 A、B、C 滿足

15、 4sim廠一 cos2B=，則角 B 的度數(shù)為.A+C7【解析】在厶 ABC 中，A+B+C=180,由 4sin2cos2B=,得1A+C,722cos2B+1=2,cos22.4cos2B4cosB+1=0.cosB=|,B=60.4.a=n,esin7答案】答案】607.(xx四川高考)設(shè) sin2a=sina,ae(=,n)，則 tan2a的值是.解析】Tsin2a=sina,.2sinacosa=sina.,n),sinaMO,【答案】38.設(shè)f(x)=Tx+sinx+a2sin(x+)的最大值為：2+3，則常數(shù)a=2cosx=cosx+sinx+a2sin(x+號)=：2sin(

16、x+)+a2sin(x+).cos1a=2-又：atan42a=tann=tan(ntan3i32sin 等一X1+2COS2X1,/,n、【解析】f(x)=X+sinx+a2sin(x+4)=Cj2+a2)sin(x+予).依題意有勺 2+a2=72+3,Aa=j3.【答案】土霾二、解答題Q【解】(1)nQ2n，:q20)，且 y=f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為才.求w的值；求 f(x)在區(qū)間n,乎上的最大值和最小值.3L【解】(1)f(x)=-.3sin5wx-sinwxcoswx:原式=-+-2|cosy|-;2|siny|2|cosy|+2|siny|a_sin-co

17、ssin 牛+cos 牛2sin 牛+cosy2-辺 sin 牛+cos筈丄a_sin-cos2+aa2sin-cos9.設(shè) nQ2n,cosQ=a，求(l)sinQ的值；(2)cosQQ的值；(3)sin24 的值.Q(2) cosQ=2cos22-1=2a2-1.Q_丄l-cos71-a(3)sin2422“卄 3n10. 右 na,1+sina1+cosa-1-cosa3nna3n【解】Tna丁，._220.,g_sin+cossin+J31cos2wx1.-.3sin2wx22231丁 cos2wxqsin2wx=sin(2wx2nn又W0,所以藥=44,因此W=1.由(1)矢口 f(

18、x)=sin(2x-3).3n5nn8n當(dāng) nWxW 丁時，丁W2x所以一乎 Wsin(2x詈)W1.因此一lWf(x)W 寸.故 f(x)在區(qū)間n,乎上的最大值和最小值分別為賞一 1救師備課資源(教師用書獨(dú)具)已知 sinQ+cosQ=2sina,sin20=sinQcosQ，求證：2cos2a=cos20.【思路探究】觀察問題的條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)被證的等式中不含角Q，因此從已知條件中消去角Q，問題即得證.【自主解答】由題意，得，2sina=sinQ+cosQ，sin20=sinQcosQ.2X2,得 4sin2a2sin20=1.變形為 12sin20=24sin2a，則有 cos20=2cos2a.對于給定條件的三角恒等式的證明，常用的方法有直推法和代入法.將條件角轉(zhuǎn)化為結(jié)論角后，由條件等式直接推到結(jié)論等式，就是直推法；有時從條件等式中解出關(guān)于某個角的某個三角函數(shù)值， 代入結(jié)論等式便消去某個角， 從而將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明問題，這就是代入法的基本思想