多自由度體系地微振動(dòng)

1、第六章多自由度體系的微振動(dòng)教學(xué)目的和基本要求：正確理解線性振動(dòng)的概念和力學(xué)體系平衡的分類(lèi)；能運(yùn)用拉格朗日方程初步分析兩個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng)問(wèn)題；理解簡(jiǎn)正坐標(biāo)的概念并了解利用簡(jiǎn)正坐標(biāo)將復(fù)雜振動(dòng)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)正振動(dòng)的方法和意義。教學(xué)重點(diǎn)：掌握運(yùn)用拉格朗日方程分析兩個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng)問(wèn)題的方法和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的物理意義。教學(xué)難點(diǎn)：簡(jiǎn)正坐標(biāo)的物理意義。§ 6.1 動(dòng)的分類(lèi)和線形振動(dòng)的概念振動(dòng)不僅在宏觀領(lǐng)域大量存在（如單擺、彈性振子和地震等），在微觀領(lǐng)域也是一種普遍現(xiàn)象（如晶體中晶格的振動(dòng)、光學(xué)中分子的振動(dòng)等）。振動(dòng)的種類(lèi)根據(jù)所依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)不同可有幾種分類(lèi)方法，下面將簡(jiǎn)單介紹。一：振動(dòng)的分類(lèi)1

2、 .按能量的轉(zhuǎn)換來(lái)劃分.自由振動(dòng)一一系統(tǒng)的能量E為常數(shù)，即能量守恒。阻尼振動(dòng)一一系統(tǒng)的能量E逐漸轉(zhuǎn)化為熱能Q。強(qiáng)迫振動(dòng)一一系統(tǒng)不斷從外界吸收能量并將其轉(zhuǎn)化為熱能Qo2 .按體系的自由度劃分.單自由度振動(dòng)一一體系的自由度S=1。有限多自由度振動(dòng)和無(wú)限多自由度振動(dòng)一一體系的自由度為大于1的有限值或無(wú)限大值。3 .按體系的動(dòng)力學(xué)微分方程的種類(lèi)劃分.線性振動(dòng)一一體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程。有線性振動(dòng)一一體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為非線性方程。4 .本章研究的主要問(wèn)題.以上我們按不同的標(biāo)準(zhǔn)將振動(dòng)進(jìn)行了歸類(lèi)，實(shí)際上這幾種標(biāo)準(zhǔn)是相互交叉的，也就是說(shuō)振動(dòng)還可以按照以上兩個(gè)或三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行進(jìn)一步的歸類(lèi)。如線性振動(dòng)還可以

3、進(jìn)一步分為單自由度線性振動(dòng)、有限多自由度線性振動(dòng)和無(wú)限多自由度線性振動(dòng)。表6.1給出了同時(shí)按自由度和微分方程的種類(lèi)對(duì)振動(dòng)進(jìn)行的分類(lèi)。我們?cè)诒菊卵芯康闹饕獑?wèn)題是有限多自由度的線性振動(dòng)，所以有必要對(duì)線性和非線性振動(dòng)做進(jìn)一步討論表6,1線性振動(dòng)非線性振動(dòng)單自由度IIV有限多自由度RV無(wú)限自由度mVI二：有限多自由度線性振動(dòng)1,定義：體系的自由度為有限多個(gè)且體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程。例如：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)微分方程為eT+9sine=o,方程為非線性的。但當(dāng)e很小時(shí)有sine兔e,i方程變?yōu)榫€性方程或+9日=0。如果同時(shí)還存在有阻尼-Pe及強(qiáng)迫力f(t),則方程可寫(xiě)成i立+Pe,+ge=f(t),仍為線性

4、方程。i2,應(yīng)用：一般情況下當(dāng)力學(xué)體系在其平衡位置做微振動(dòng)時(shí)，只要考慮它的最低級(jí)近似即可。這樣的振動(dòng)無(wú)論是自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)還是強(qiáng)迫振動(dòng)，也無(wú)論自由度的個(gè)數(shù)是多少，其振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程均可看成是線性的，也就是屬于線性振動(dòng)。三：平衡位置及其分類(lèi).1 .平衡位置的定義及判定方法。(1)定義：如果力學(xué)體系在t=0時(shí)靜止地處于某一確定位置，當(dāng)t-時(shí)該體系仍能保持在此位置，那么該位置即為體系的平衡位置，我們說(shuō)體系處于平衡態(tài)。(2)判定方法：在§2.4節(jié)中我們已指出保守力學(xué)體系處于平衡位置時(shí)，其勢(shì)能應(yīng)取極值(見(jiàn)第二章4.2式)，即以=o,i=1,2.s,這可以做為保守體系平衡位置的判據(jù)。2 .平

5、衡位置的分類(lèi)及其判定方法.(1)平衡位置的分類(lèi)：平衡位置按其性質(zhì)不同可分為三類(lèi)：O穩(wěn)定平衡：力學(xué)體系受到擾動(dòng)偏離平衡位置后將回到平衡位置或者在平衡位置的附近做微振動(dòng)。精彩文檔（2不穩(wěn)定平衡：力學(xué)體系受到擾動(dòng)后將逐漸遠(yuǎn)離平衡位置。隨遇平衡：力學(xué)體系受到擾動(dòng)后將在新的平衡位置下保持平衡。這三種平衡位置可用圖6.1形象地表示出來(lái)，只不過(guò)圖6.1是針對(duì)單自由度而言，針對(duì)多自由度也有類(lèi)似的例子。（2）平衡位置種類(lèi)的判據(jù).上述三種平衡位置均能滿足式=0,但只有穩(wěn)定平衡才能引起體系的振動(dòng)，因而我們?yōu)橛斜匾业礁鞣N平衡位置的區(qū)別或判據(jù)。參考圖6.1可知，勢(shì)能取極小值時(shí)才是穩(wěn)定平衡。拉格朗日將托里拆利的這一思想

6、推廣到任意保守體系，得到了關(guān)于體系平衡位置穩(wěn)定性的拉格朗日定理如下：如果在某一位置保守體系的勢(shì)能有嚴(yán)格的極小值，那么該位置為體系的穩(wěn)定平衡位置。2，當(dāng)s=i時(shí)，判據(jù)為：絲=o且粵0；dqdq當(dāng)S=2時(shí)，判據(jù)為：2=空=0且（上一）2-0,烏：0,再下0。y二q2二qi二q2二qP2另外已證明的定理還有：如果力學(xué)體系的V取極大值，則體系處于不穩(wěn)定平衡（逆定理還未證實(shí)）；如果V=C,則體系處于隨遇平衡。四本節(jié)重點(diǎn)：掌握振動(dòng)的分類(lèi)特別是線性振動(dòng)的概念，熟練掌握平衡位置的分類(lèi)和平衡位置種類(lèi)的判據(jù)。§ 6.2 個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng)對(duì)于微振動(dòng)的力學(xué)問(wèn)題，用分析力學(xué)來(lái)討論比較方便。設(shè)體系的自

7、由度S=2,體系做自飛,打、打+改一（二）T-十二-二0由微振動(dòng)，廣義坐標(biāo)為Xi,X2。由拉格朗日方程可得：W2?；，接下來(lái)關(guān)史（）-T=0出：x2;x2二x2鍵就是設(shè)法將動(dòng)能T、勢(shì)能V表示成關(guān)于Xi,X2的函數(shù)，再將其代入上述方程中即可得到體系的線形運(yùn)動(dòng)微分方程。一：動(dòng)能T、勢(shì)能V的表達(dá)式.1 .動(dòng)能T、勢(shì)能V的一般表達(dá)式.2由§2.7的結(jié)論可知當(dāng)體系受穩(wěn)定約束時(shí)，T=T2=-XAjjXit,其中Ai,j=m。由2i,j二'FXifXj于體系在平衡位置附近的微振動(dòng)均可看成是受穩(wěn)定約束，所以有：1,-，2_2、T=2(A11Xi+2Ai2X1X2+A22發(fā))(2.2)因勢(shì)能V

8、僅與X1,X2有關(guān)，與X1,X2無(wú)關(guān)，因而可得V=V(X1,X2)。下面就是設(shè)法將動(dòng)能T、勢(shì)能V的一般表達(dá)式化簡(jiǎn)為所需的形式即可。2 .動(dòng)能T、勢(shì)能V表達(dá)式的化簡(jiǎn).取平衡位置為廣義坐標(biāo)為出的零點(diǎn)，將V、T在平衡位置展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)可得：(2.3).2N.i,j121；：2VV(X1，X2)=V(°,0)JXi:(否"5()2:AAi,j(X1,X2)=Ai,j(0,0)“(_jbx.i4%(1)勢(shì)能V:對(duì)于(2.3)式，令V(0,0)=0且因體系在平衡位置時(shí)有(°V1=0,略去(*)；X等X的高次項(xiàng)后可得：V(x,X2)=Z1(；V)0XiXj=；(44)0為2+(

9、:2V)X1X2+3(d)0X25苴2cXicXj2出1出1cx22cx2(2.5)1 22、二V(X1,X2)二一(屈x12b12X1X2b22X2)2二2/其中Dj=(£V)0=bjj=C,(2.5)式即為所求的勢(shì)能V化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。(2)動(dòng)能T:對(duì)于(2.4)式，考慮到x,x應(yīng)為同階小量，而(2.2)式中T已為二次式,所以打.。*2)只要取零次式即可，即有A,j(x1x2)=AiJ(0,0)=aij,這樣動(dòng)能可表示為:(2.6)1,''1,，2_uc2、T(X1,X2)=1ZajXXj="(anX1+22X1X2+222X2)其中即向2啟22均為常數(shù)，

10、(2.6)式即為所求的動(dòng)能T化簡(jiǎn)后的表達(dá)式二：體系的運(yùn)動(dòng)微分方程及其解1 .運(yùn)動(dòng)微分方程：將(2.5)、(2.6)式代入(2.1)式化簡(jiǎn)后可得(2.(7)(2.(8)anXi812X2bnXi%乂2=0a21X1a22X2b21X1b22X2=02或者化簡(jiǎn)為'(ajXj-bjXj)=0i=1,2j=1該方程為二階常系數(shù)常微分方程組，可用高等數(shù)學(xué)中關(guān)于微分方程組的相應(yīng)理論求解。2 .方程的解.(1)試探解及久期方程：對(duì)于(的試探解為=人阿斯+口)x2=A2sin('t+工)2.7)式在物理學(xué)中常用取試探解的方式求解，即令方程2,2.,、,Xi=-A切sin(6t+a)(2.9),

11、兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)后可得A2(,、x2=-A20sin(«t十口)2、，八，2、/將以上兩式代回(2.7)式得：(2.(10)(2.(11)A(bi1-沏。)+A2(b12ai2)=0，,2、.，,2、一<4(b218220)+A2(b22a2癖)=02或?qū)懗蓈(Aj(bj-8廣ccc另外可將V表達(dá)式改與為V(X1,X2)=(b12X1+b22X2)+(b11b22b12)X1,2b12)-0i=1,2j1要使(2.10)有解，首先應(yīng)使A1、A2有實(shí)數(shù)解，這要求的系數(shù)所構(gòu)成的行列式必須為零，m2即1a1b12a12、=0=(屈一4樹(shù)2)“22-822吟-(匕2-七吟2=0(2.b2

12、1a22b22a22°：(2.(12) 稱(chēng)為久期方程或頻率方程，它是關(guān)于切2的一元二次方程。(2)久期方程的兩個(gè)正根：可以證明久期方程必有兩個(gè)正根，只有這樣求出的仍為實(shí)數(shù)才有實(shí)際的物理意義。證明：因V(0,0)=0,當(dāng)x,X2不同時(shí)為零時(shí)，應(yīng)有V(X1,X2)>V(0,0)=0。122由V(X1,X2)=2(bnX1+2匕2*2+b22X2)>0,令X1=0nb22A0,R理可得b11A0,要使上式恒大于零，必須有匕也2-鼠>0(2.13)同理因T(x；,X2)>0可以證明a1>0,a22>0且a1a22a；2>0(2.14)2.222222

13、接著可做出f(co)切的函數(shù)圖象，其中fg)=(bii-&府)(b22-a22Go)-(bi2-ai2«),當(dāng)切2=0時(shí)，f(0)=biib22b；>0;02T+時(shí)，f(y)=缶4(aiia22a22)>0;42blibli%2八,2b22b22b22、2口9H邛,f()(bi2a2)<0,=8=H寸,f()(bi2ai2)<0°aiiaiiaiia22a22a22由以上討論可知，函數(shù)f(co2)在CO2=0及+8之間有兩次穿過(guò)橫軸，也就是方程(2.i2)必然有兩個(gè)正根。其實(shí)，從(2.i3)、(2.i4)出發(fā)，利用xi+x2=-b.0,xi用

14、=£>0就可aa直接判定該方程有兩個(gè)正根。(3)運(yùn)動(dòng)微分方程的特解和通解設(shè)方程的兩個(gè)根分別為m國(guó),分別將他2戶；代入(2.i0)式中的任一個(gè)可得:a(2)C2(2.i5)aii2-Di11(2)R；252b22一a22'2即有A2D二可入，A2)=嗎2)A。令為A(i),A分別為試探解(2.9)式中xi的振幅,rJi)./,、(芥(2).，,、則運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為：卜A即叫)及,xi=AS臂21a)qx2=EA(sin®it+a)x2=曙A(sin®2t+a)根據(jù)線性微分方程的理論，方程的通解應(yīng)是兩組特解的線性組合，即有x=gx，c2xi(2)=g

15、Asin(，1t二.工1),c2Ai(2)sin(2t:二2)=x=凡(1)5所('4二3)A|(2)sin(2t二,2)同理可得x=-拶人(1)sin。,1tQq)+._22)入(2)sin(.2t人工2)式中A(1),A(2)PiP2為常數(shù)，由初始條件為(0)?2(0)及%(0)?2(0)決定(4)久期方程有兩個(gè)相等正根時(shí)運(yùn)動(dòng)方程的解.久期方程(2.12)還可能有兩相等的正根，例如當(dāng)且=22=%時(shí)，函數(shù)aiia22ai2f(6)=f(91)="12-a12包)2=0,f(s2)e2的函數(shù)曲線與橫軸只有一個(gè)交點(diǎn)。方程aiiaiif(6)=0的解為6=電=皿=皿，也就是方程(

16、2.10)中A,A2的系數(shù)均為零，AA取aiia22ai2任何值都可以。此時(shí)久期方程的兩組特解為斕)=Asin31t十%),x2i)=0;£2)=0,x22)=A2sin(o2t+a2)0方程的通解仍是兩組特解的線性組合，即有產(chǎn)=Asin(6t)(2.i8)x2=Aisin(ot+ct2)四個(gè)常數(shù)AAzQi,%由初始條件決定。3 .例題(從略)4 .本節(jié)重點(diǎn)：2個(gè)自由度力學(xué)體系做微振動(dòng)時(shí)的通解和特解。§6.4簡(jiǎn)正坐標(biāo)和簡(jiǎn)正振動(dòng)我們知道一個(gè)力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)的選取是任意的，如果廣義坐標(biāo)選取的合適，可以使微分方程的求解非常容易，具體可見(jiàn)下例。：雙單擺的振動(dòng)研究，一、，一,一一.

17、i.在雙單擺中如果取qi=%,q2i.=斗力生為廠義坐標(biāo)，可得a=(qi+q2)/2,Qi=(qi-q2)/0將其代入T、V的表達(dá)式(見(jiàn)i78頁(yè))化簡(jiǎn)后可得:ioioioiT=-ml(i+-=)qi+(i-)q2,V=mgl(q1+q2),將兩式代入拉格朗日萬(wàn)程可得:2222g.2q1"l21g、2q2l2-1qi=0q2=0,求解兩方程可得:q1=Asin(叫t+%)02=A2sin(82t+a2)(4.5)%2=9(2-J2)其中l(wèi)一，將(4.6)代回(4.2)式可得戴=：(2+&)4=sin(叫t+%)+&sin(co2t+u2)22u2=9sin(t11)-2

18、sin(2t二2)這與上節(jié)直接選優(yōu),為廣義坐標(biāo)的所求結(jié)果完全一致，但求解的過(guò)程要簡(jiǎn)便的多。二：簡(jiǎn)正坐標(biāo)1.定義：在處理線性振動(dòng)時(shí)如果選取的廣義坐標(biāo)能使動(dòng)能T、勢(shì)能V同時(shí)表示成廣義速度q丁1/,2,-2,.2、和廣義坐標(biāo)q的平方和形式，即T=(anq+a22q2+.+annqn)2,則該坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)。1222V=3(415+b22q2+.+bnnqn)將T、V的以上表達(dá)式代入拉格朗日方程可以很方便的得至上aiiqi。何=0a22q2,b22q2-0其解為q1=A1sin(4r：")q2=A2sin(2t，22),1=bn.a11,2=b22,a22annq'n-4例=0qn=

19、AnSin(nt二n)n=bin-ann2.物理意義.,、.，E人自(0)=日0在上例雙單擺中如果令11()0及J4(0)=0&(0)=行仇.e2(0)=0，代回(4.7)式可得A=29。，4=0,%=n/2,«2任意，方程的通解為q1=260coso1t.q2=0其中；=g/I=1g(2-2)同理，如果令初始條件為&(0)%(0)=0%任意，%=n/2,方程的通解為q1=0=2%cos2t其等效于l2=0.3l2、2”0)=0、ll=尸=1.71、日'(0)=0、e(0)=2日0的單擺的運(yùn)動(dòng)2-，2場(chǎng)(0)=，代回(4.7)式可得A=0,A2=多0,Z(0)

20、-0叭0)=2%的單擺的運(yùn)動(dòng)。從上例可以看出，簡(jiǎn)正坐標(biāo)的物理意義可總結(jié)如下：(1)當(dāng)選擇某個(gè)坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)使力學(xué)體系在振動(dòng)過(guò)程中該坐標(biāo)只以一個(gè)頻率振動(dòng)，其余頻率為零或者說(shuō)沒(méi)有被激發(fā)出來(lái)，那么用來(lái)反映這種振動(dòng)模式的坐標(biāo)即為簡(jiǎn)正坐標(biāo)，相應(yīng)的振動(dòng)模式為簡(jiǎn)正振動(dòng)或本征振動(dòng)。或者說(shuō)如果選取的廣義坐標(biāo)可以使體系的振動(dòng)只以某種與此坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的頻率振動(dòng)，該坐標(biāo)為簡(jiǎn)正坐標(biāo)。(2)對(duì)于體系的任意振動(dòng)狀態(tài)，都可以看成是各種簡(jiǎn)正振動(dòng)的線性疊加。(3)簡(jiǎn)正坐標(biāo)的合適選取不僅有利于方程的求解，而且還可以反映體系振動(dòng)的物理本性，因此在處理微振動(dòng)時(shí)應(yīng)盡量選取簡(jiǎn)正坐標(biāo)。三簡(jiǎn)正坐標(biāo)的簡(jiǎn)單求法.理論上可通過(guò)坐標(biāo)的變換消去T、V的二次項(xiàng)，從而得到簡(jiǎn)正坐標(biāo)；還有一種方法就是通過(guò)物理直覺(jué)直接判定出簡(jiǎn)正坐標(biāo)，但是這兩種方法都不好掌握。下面我們來(lái)介紹當(dāng)體系的自由度S=2、3時(shí)，可以采用的一種簡(jiǎn)單容易掌握的方法。1.自由度S=2.設(shè)X,x