2015-2016學(xué)年人教A版選修2-1____雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程__課件_（60張）

1、2.3雙曲線2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程問題問題引航引航1.1.雙曲線的定義是什么雙曲線的定義是什么? ?2.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么? ?如何推導(dǎo)雙如何推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程? ?1.1.雙曲線的定義雙曲線的定義(1)(1)定義定義: :平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1,F,F2 2的距離的差的的距離的差的_等于等于非零常數(shù)非零常數(shù)(_|F(_|F1 1F F2 2|)|)的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡. .(2)(2)符號(hào)表示符號(hào)表示:|MF:|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a(|=2a(常數(shù)常數(shù))(02a|F)(02a|F1 1F F2

2、2|).|).(3)(3)焦點(diǎn)焦點(diǎn): :兩個(gè)兩個(gè)_._.(4)(4)焦距焦距:_:_的距離的距離, ,表示為表示為|F|F1 1F F2 2|.|.絕對(duì)值絕對(duì)值小于小于定點(diǎn)定點(diǎn)F F1 1,F,F2 2兩焦點(diǎn)間兩焦點(diǎn)間2.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上軸上焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y y軸上軸上標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程_焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)_a,b,ca,b,c關(guān)系關(guān)系c c2 2=_=_2222xy1 a0,b0ab2222yx1 a0,b0ab(-c,0),(c,0)(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)(0,-c),(0,c)a a2 2+b+b2 21 1判一判判一判 (

3、(正確的打正確的打“”“”，錯(cuò)誤的打，錯(cuò)誤的打“”)”)(1)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于非零常數(shù)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于非零常數(shù)( (小于兩定點(diǎn)間小于兩定點(diǎn)間距離距離) )的點(diǎn)的軌跡是雙曲線的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.( ).( )(2)(2)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 中，中，a a0 0，b b0 0且且ab.( )ab.( )(3)(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b,a,b的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是a ab.( )b.( )2222xy1ab【解析解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支, ,故錯(cuò)誤故錯(cuò)誤. .(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤.

4、 .當(dāng)當(dāng)a=ba=b時(shí)時(shí), ,方程也表示雙曲線方程也表示雙曲線, ,故該說法錯(cuò)誤故該說法錯(cuò)誤. .(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .在雙曲線中規(guī)定在雙曲線中規(guī)定b b2 2=c=c2 2-a-a2 2, ,而而a a與與b b的大小關(guān)系不確定的大小關(guān)系不確定, ,故該說法錯(cuò)誤故該說法錯(cuò)誤. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)2 2做一做做一做( (請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) )(1)(1)在雙曲線在雙曲線 中中,a=_,b=_.,a=_,b=_.(2)(2)方程方程mxmx2 2+ny+ny2 2=1=1表示雙曲線表示雙曲線, ,則則m,nm,n滿足條件滿足條

5、件_._.(3)(3)若雙曲線若雙曲線 上一點(diǎn)上一點(diǎn)M M到左焦點(diǎn)的距離為到左焦點(diǎn)的距離為8,8,則點(diǎn)則點(diǎn)M M到到右焦點(diǎn)的距離為右焦點(diǎn)的距離為_._.22yx14522xy1416【解析解析】(1)(1)由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 知知a a2 2=4,b=4,b2 2=5,=5,所以所以a=2, a=2, 答案：答案：2 2(2)(2)方程方程mxmx2 2+ny+ny2 2=1=1要表示雙曲線要表示雙曲線,m,n,m,n的符號(hào)應(yīng)相反，故的符號(hào)應(yīng)相反，故m mn n0.0.答案：答案：m mn n0 022yx145 ，b5.5(3)(3)設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為設(shè)雙曲線的左、

6、右焦點(diǎn)分別為F F1 1,F,F2 2, ,則則|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a=4,|=2a=4,所以所以|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=|=4,4,又又|MF|MF1 1|=8,|=8,所以所以|MF|MF2 2|=4|=4或或12.12.答案：答案：4 4或或1212 【要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究】知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.1.對(duì)雙曲線定義的兩點(diǎn)說明對(duì)雙曲線定義的兩點(diǎn)說明(1)(1)定義中距離的差要加絕對(duì)值定義中距離的差要加絕對(duì)值, ,否則只為雙曲線的一支否則只為雙曲線的一支. .設(shè)設(shè)F F1 1,F,F2 2表示雙曲線的左、

7、右焦點(diǎn)表示雙曲線的左、右焦點(diǎn), ,若若|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a,|=2a,則點(diǎn)則點(diǎn)M M在右支上在右支上; ;若若|MF|MF2 2|-|MF|-|MF1 1|=2a,|=2a,則點(diǎn)則點(diǎn)M M在左支上在左支上. .(2)(2)雙曲線定義的雙向運(yùn)用雙曲線定義的雙向運(yùn)用: :若若|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a(02a|F|=2a(02a|F1 1F F2 2|),|),則動(dòng)點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)M M的軌跡為雙曲線的軌跡為雙曲線. .若動(dòng)點(diǎn)若動(dòng)點(diǎn)M M在雙曲線上在雙曲線上, ,則則|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a.|=2a.2.2.對(duì)雙曲線標(biāo)

8、準(zhǔn)方程的三點(diǎn)說明對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的三點(diǎn)說明(1)(1)標(biāo)準(zhǔn)方程中兩個(gè)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程中兩個(gè)參數(shù)a a和和b,b,是雙曲線的定形條件是雙曲線的定形條件, ,確定了其確定了其值值, ,方程也即確定方程也即確定. .并且有并且有b b2 2=c=c2 2-a-a2 2, ,與橢圓中與橢圓中b b2 2=a=a2 2-c-c2 2相區(qū)別相區(qū)別. .(2)(2)焦點(diǎn)焦點(diǎn)F F1 1,F,F2 2的位置是雙曲線定位的條件的位置是雙曲線定位的條件, ,它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型方程的類型, ,若若x x2 2的系數(shù)為正的系數(shù)為正, ,則焦點(diǎn)在則焦點(diǎn)在x x軸上軸上, ,若若y y2 2的系數(shù)

9、為正的系數(shù)為正, ,則焦點(diǎn)在則焦點(diǎn)在y y軸上軸上. .(3)(3)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一表示為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一表示為:mx:mx2 2+ny+ny2 2=1(m=1(mn0).nb0) (ab0) 22222222xy1abyx1ab(a0,b0,a(a0,b0,a不一定大于不一定大于b)b)【微思考微思考】(1)(1)雙曲線的定義中雙曲線的定義中, ,若若2a=|F2a=|F1 1F F2 2|,|,則點(diǎn)則點(diǎn)P P的軌跡是什么的軌跡是什么? ?提示提示: :點(diǎn)點(diǎn)P P的軌跡為以的軌跡為以F F1 1,F,F2 2為端點(diǎn)的兩條射線為端點(diǎn)的兩條射線. .(2)(2)若若2a|F2a|F1

10、 1F F2 2|,|,則點(diǎn)則點(diǎn)P P的軌跡是什么的軌跡是什么? ?提示提示: :點(diǎn)點(diǎn)P P的軌跡不存在的軌跡不存在. .(3)(3)定義中若常數(shù)為定義中若常數(shù)為0,0,則點(diǎn)則點(diǎn)P P的軌跡是什么的軌跡是什么? ?提示提示: :若定義中常數(shù)為若定義中常數(shù)為0,0,此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)P P的軌跡為線段的軌跡為線段F F1 1F F2 2的垂直平分的垂直平分線線. .【即時(shí)練即時(shí)練】1.1.雙曲線雙曲線 的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為_._.2.2.點(diǎn)點(diǎn)P P到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)F F1 1(-2,0),F(-2,0),F2 2(2,0)(2,0)的距離之差的絕對(duì)值為的距離之差的絕對(duì)值為2 2，則，則點(diǎn)點(diǎn)P

11、P的軌跡方程為的軌跡方程為_._.22xy132【解析解析】1.1.由由 得得a a2 2=3,b=3,b2 2=2,=2,所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=5,=5,即即 所以左焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以左焦點(diǎn)坐標(biāo)為答案：答案：2.2.因?yàn)橐驗(yàn)閨F|F1 1F F2 2|=4=2c,|=4=2c,所以所以c=2,c=2,又又2a=2,a=1,2a=2,a=1,故故b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=3,=3,所以點(diǎn)所以點(diǎn)P P的軌跡方程為的軌跡方程為答案：答案：22xy132 ，c5,5,0 .(5,0)22yx1.322yx13 【題型示范題型示范】類型一類型一 雙曲線定義的應(yīng)用

12、雙曲線定義的應(yīng)用【典例典例1 1】(1)(1)若雙曲線若雙曲線 上一點(diǎn)上一點(diǎn)P P到點(diǎn)到點(diǎn)(5,0)(5,0)的距離為的距離為15,15,則點(diǎn)則點(diǎn)P P到到點(diǎn)點(diǎn)(-5,0)(-5,0)的距離為的距離為( )( )A.7 B.23 A.7 B.23 C.5 C.5或或25 25 D.7 D.7或或232322xy1169(2)(2014(2)(2014安慶高二檢測(cè)安慶高二檢測(cè)) )已知點(diǎn)已知點(diǎn)F F1 1,F,F2 2是雙曲線是雙曲線 (a(a0,b0,b0)0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P P是雙曲線上的一點(diǎn)，且是雙曲線上的一點(diǎn)，且 則則PFPF1 1F F2 2的面積為的面積為( )(

13、 )2222xy1ab12PF PF0,uur uuu rg221A.ab B.ab C.b D.a2【解題探究解題探究】1.1.題題(1)(1)中中(5,0)(5,0)與雙曲線有什么關(guān)系與雙曲線有什么關(guān)系? ?2.2.題題(2)(2)由條件由條件 能得出什么結(jié)論？能得出什么結(jié)論？【探究提示探究提示】1.1.由雙曲線方程可知，由雙曲線方程可知，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=25,=25,故故(5,0)(5,0)是雙是雙曲線的焦點(diǎn)曲線的焦點(diǎn). .2.2.由條件由條件 能得出能得出12PF PF0uur uuu rg，12PF PF0uur uuu rg12PFPF .uuruuu r

14、【自主解答自主解答】(1)(1)選選D.D.因?yàn)殡p曲線因?yàn)殡p曲線所以所以2a=82a=8，(5,0),(-5,0)(5,0),(-5,0)是兩個(gè)焦點(diǎn)是兩個(gè)焦點(diǎn), ,因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P P在雙曲線上在雙曲線上, ,所以所以|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=8,|=8,因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P P到點(diǎn)到點(diǎn)(5,0)(5,0)的距離為的距離為15,15,則點(diǎn)則點(diǎn)P P到點(diǎn)到點(diǎn)(-5,0)(-5,0)的距離是的距離是15+8=2315+8=23或或15-8=7,15-8=7,故選故選D.D.22xy1,169(2)(2)選選C.C.因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 不妨設(shè)點(diǎn)不妨設(shè)點(diǎn)P P在右支上，在右支上，所以會(huì)得

15、到所以會(huì)得到所以所以 所以所以12PF PF0uur uuu rg，12PFPF ,uuruuu r2221212PFPF4c ,PFPF2a,uuruuu ruuruuu r212PF PF2buur uuu r，1 22PFF121SPF PFb .2Vuur uuu r【方法技巧方法技巧】雙曲線中的焦點(diǎn)三角形雙曲線中的焦點(diǎn)三角形 雙曲線上的點(diǎn)雙曲線上的點(diǎn)P P與其兩個(gè)焦點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)F F1 1,F,F2 2連接而成的三角形連接而成的三角形PFPF1 1F F2 2稱為焦點(diǎn)三角形稱為焦點(diǎn)三角形. .令令|PF|PF1 1|=r|=r1 1,|PF,|PF2 2|=r|=r2 2，F(xiàn) F1

16、 1PFPF2 2=,=,因因|F|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,所以有所以有(1)(1)定義：定義：|r|r1 1-r-r2 2|=2a.|=2a.(2)(2)余弦公式：余弦公式：4c4c2 2=r=r1 12 2+r+r2 22 2-2r-2r1 1r r2 2cos .cos .(3)(3)面積公式：面積公式：一般地，在一般地，在PFPF1 1F F2 2中，通過以上三個(gè)等式，所求問題就會(huì)順利中，通過以上三個(gè)等式，所求問題就會(huì)順利解決解決. .1 2PFF1 21Srr sin .2V【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2014(2014赤峰高二檢測(cè)赤峰高二檢測(cè)) )設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 的兩的

17、兩個(gè)焦點(diǎn)為個(gè)焦點(diǎn)為F F1 1,F,F2 2,P,P是雙曲線上的一點(diǎn)，且是雙曲線上的一點(diǎn)，且|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=34|=34，則則PFPF1 1F F2 2的面積等于的面積等于( )( )【解析解析】選選C.C.依題意依題意|F|F1 1F F2 2|=6,|PF|=6,|PF2 2|-|PF|-|PF1 1|=2|=2，又，又|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |=34=34，所以，所以|PF|PF1 1|=6,|PF|=6,|PF2 2|=8|=8，所以等腰，所以等腰PFPF1 1F F2 2的面積為的面積為22yx18A.10 3 B.8 3 C.8 5 D.16

18、 52218S86( )8 5.22 【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線方程為已知雙曲線方程為 (a0,b0),(a0,b0),點(diǎn)點(diǎn)A,BA,B在在雙曲線右支上雙曲線右支上, ,線段線段ABAB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F F2 2,|AB|=m,F,|AB|=m,F1 1為另為另一個(gè)焦點(diǎn)一個(gè)焦點(diǎn), ,則則ABFABF1 1的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為( () )A.2a+2m B.4a+2mA.2a+2m B.4a+2mC.a+m D.2a+4mC.a+m D.2a+4m2222xy1ab【解析解析】選選B.B.設(shè)設(shè)ABFABF1 1的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為Z,Z,則則Z=|AFZ=|AF1 1|+|BF

19、|+|BF1 1|+|AB|+|AB|=(|AF=(|AF1 1|-|AF|-|AF2 2|)+(|BF|)+(|BF1 1|-|BF|-|BF2 2|)+|AF|)+|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|+|AB|+|AB|=(|AF=(|AF1 1|-|AF|-|AF2 2|)+(|BF|)+(|BF1 1|-|BF|-|BF2 2|)+2|AB|)+2|AB|=2a+2a+2m=4a+2m.=2a+2a+2m=4a+2m.類型二類型二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014成都高二檢測(cè)成都高二檢測(cè)) )與橢圓與橢圓 有共同焦點(diǎn)且過有共同焦

20、點(diǎn)且過點(diǎn)點(diǎn) 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_._.(2)(2)求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. .a=4,c=5a=4,c=5，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上軸上; ;a=4a=4，經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)22xy1255(3 2, 2)4 10A(1,).3【解題探究解題探究】1.1.題題(1)(1)由橢圓的方程由橢圓的方程 可得橢圓的焦可得橢圓的焦點(diǎn)位置及焦點(diǎn)坐標(biāo)是什么點(diǎn)位置及焦點(diǎn)坐標(biāo)是什么? ?2.2.題題(2)(2)焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上的雙曲線方程可如何表示？軸上的雙曲線方程可如何表示？當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)如何考慮當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位置不

21、確定時(shí)，求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)如何考慮? ?【探究提示探究提示】1.1.由橢圓的方程可知焦點(diǎn)在由橢圓的方程可知焦點(diǎn)在x x軸上，且焦點(diǎn)的坐軸上，且焦點(diǎn)的坐標(biāo)為標(biāo)為2.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為可分焦點(diǎn)在可分焦點(diǎn)在x x軸上和軸上和y y軸上兩種情況討論軸上兩種情況討論. . 22xy1,2552 5,0 .2222xy1.ab【自主解答自主解答】(1)(1)橢圓橢圓 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 設(shè)雙曲線的方程為設(shè)雙曲線的方程為 則則a a2 2+b+b2 2=20.=20.又雙曲線過點(diǎn)又雙曲線過點(diǎn) 所以所以綜上可得綜上可得故所求雙曲線的方程為故所求雙曲線的方程為答案：答案：22xy1255 2 5

22、,0 ,2 5,0，2222xy1,ab3 2, 2 ,221821,ab22a202 10,b2 10,22xy1.202 102 1022xy1202 102 10(2)(2)設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為 (a(a0,b0,b0).0).因?yàn)橐驗(yàn)閍=4,c=5,a=4,c=5,所以所以b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=25-16=9.=25-16=9.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為若所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為若所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a(a0,b0,b0),0),則將則將a=4a=4代入得代入得2222xy1ab22xy1.1692222xy1ab222xy1.16b因

23、為點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn) 在雙曲線上在雙曲線上, ,所以所以由此得由此得b b2 20,0,不合題意舍去不合題意舍去. .若所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為若所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a(a0,b0,b0),0),同理解得同理解得b b2 2=9.=9.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為4 10A(1,)3211601,169b2222yx1ab22yx1.169【方法技巧方法技巧】求雙曲線方程的兩個(gè)步驟求雙曲線方程的兩個(gè)步驟(1)(1)定位定位: :確定雙曲線焦點(diǎn)的位置確定雙曲線焦點(diǎn)的位置, ,以判斷方程的形式以判斷方程的形式. .(2)(2)定量定量: :確定方程中參數(shù)確定方程中參數(shù)a,ba,b的具體的

24、值的具體的值, ,常根據(jù)條件列方程常根據(jù)條件列方程( (組組) )求解求解. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2014(2014北京高考北京高考) )設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線C C的兩個(gè)焦點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)為(- ,0),( ,0),(- ,0),( ,0),一個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)頂點(diǎn)是(1,0),(1,0),則則C C的方程為的方程為 . .【解題指南解題指南】利用雙曲線的幾何性質(zhì)求出利用雙曲線的幾何性質(zhì)求出a,b,c,a,b,c,進(jìn)而求出進(jìn)而求出C C的方程的方程. .【解析解析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c= c= 且焦點(diǎn)在且焦點(diǎn)在x x軸上軸上, ,由頂點(diǎn)坐標(biāo)由頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,0)(1,0)知知a=1,a=1,所

25、以所以b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=2-1=1,=2-1=1,所以所以C C的方程為的方程為x x2 2-y-y2 2=1.=1.答案答案: :x x2 2-y-y2 2=1=1222【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】雙曲線的焦點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)為(-4,0)(-4,0)和和(4,0),(4,0),且且b=2,b=2,則雙曲線則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是的標(biāo)準(zhǔn)方程是_._.【解析解析】由條件知雙曲線焦點(diǎn)在由條件知雙曲線焦點(diǎn)在x x軸上軸上, ,且且c=4,b=2,c=4,b=2,所以所以a a2 2=c=c2 2-b-b2 2=4=42 2-2-22 2=12,=12,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以雙曲線的標(biāo)

26、準(zhǔn)方程為答案：答案：22xy1.12422xy1124類型三類型三 由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)【典例典例3 3】(1)“3(1)“3m m5”5”是是“方程方程 表示雙曲線表示雙曲線”的的 ( )( )A.A.充分不必要條件充分不必要條件B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充要條件充要條件D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件(2)(2)已知雙曲線已知雙曲線8kx8kx2 2-ky-ky2 2=8=8的一個(gè)焦點(diǎn)為的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3),(0,3),求求k k的值的值. .222xy1m5mm6【解題探究解題探究】1.1.題題(1)(1)方程方程 表示雙曲線的

27、表示雙曲線的充要條件是什么充要條件是什么? ?2.2.題題(2)(2)雙曲線雙曲線8kx8kx2 2-ky-ky2 2=8=8化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式是什么化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式是什么? ?【探究提示探究提示】1.1.方程方程 表示雙曲線的充要條表示雙曲線的充要條件是件是(m-5)(m(m-5)(m2 2-m-6)-m-6)0.0.2.2.由由8kx8kx2 2-ky-ky2 2=8,=8,得標(biāo)準(zhǔn)形式為得標(biāo)準(zhǔn)形式為222xy1m5mm6222xy1m5mm622xy1.18kk【自主解答自主解答】(1)(1)選選A.A.方程方程 表示雙曲線的表示雙曲線的充要條件是充要條件是(m-5)(m(m-5)(m2

28、 2-m-6)-m-6)0,0,即即 或或可解得可解得m m-2-2或或3 3m m5 5，故，故“3 3m m5 5”是是“方程方程 表示雙曲線表示雙曲線”的充分不必要條件的充分不必要條件. .故選故選A.A.222xy1m5mm62m5 0,mm6 02m5 0,mm6 0,2xm522y1mm6(2)(2)由由8kx8kx2 2-ky-ky2 2=8,=8,得得由于一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為由于一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),(0,3),故方程可化為故方程可化為k k0,0,且且 得得k=-1.k=-1.22xy1,18kk22yx1,81kk819.kk【延伸探究延伸探究】題題(2)(2)若將條件若將條

29、件“一個(gè)焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3)”(0,3)”改為改為“焦距焦距為為6”6”，求，求k k的值的值. .【解析解析】由由8kx8kx2 2-ky-ky2 2=8,=8,得得當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x x軸上時(shí)軸上時(shí), ,得得 解得解得k=1.k=1.22xy1,18kkk0189,kk ，當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y y軸上時(shí)軸上時(shí), ,方程可化為方程可化為所以所以 解得解得k=-1,k=-1,所以所以k k的值為的值為1.1.22yx181kk，k0819,kk ，【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】本題易忽略焦點(diǎn)的位置，直接由本題易忽略焦點(diǎn)的位置，直接由 得得k=1,k=1,而遺漏另一情況致錯(cuò)而遺漏另一情況致錯(cuò). .18

30、9,kk【方法技巧方法技巧】方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法(1)(1)對(duì)于方程對(duì)于方程 當(dāng)當(dāng)mn0mn0,m0,n0n0時(shí)表示焦點(diǎn)在時(shí)表示焦點(diǎn)在x x軸上的雙曲線軸上的雙曲線; ;當(dāng)當(dāng)m0m0時(shí)表示焦點(diǎn)在時(shí)表示焦點(diǎn)在y y軸軸上的雙曲線上的雙曲線. .(2)(2)對(duì)于方程對(duì)于方程 則當(dāng)則當(dāng)mn0mn0時(shí)表示雙曲線時(shí)表示雙曲線. .且當(dāng)且當(dāng)m0,n0m0,n0時(shí)表示焦點(diǎn)在時(shí)表示焦點(diǎn)在x x軸上的雙曲線軸上的雙曲線; ;當(dāng)當(dāng)m0,n0m0,n0時(shí)表示焦點(diǎn)在時(shí)表示焦點(diǎn)在y y軸上的軸上的雙曲線雙曲線. .22xy1,mn22xy1,mn(3)(3)已知方程所代表

31、的曲線已知方程所代表的曲線, ,求參數(shù)的取值范圍時(shí)求參數(shù)的取值范圍時(shí), ,應(yīng)先將方程應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式, ,再根據(jù)方程中參數(shù)取值再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求的要求, ,建立不等式建立不等式( (組組) )求解參數(shù)的取值范圍求解參數(shù)的取值范圍. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知方程已知方程kxkx2 2+y+y2 2=4=4，其中，其中k k為實(shí)數(shù)，對(duì)于不同范圍為實(shí)數(shù)，對(duì)于不同范圍的的k k值分別指出方程所表示的曲線類型值分別指出方程所表示的曲線類型. .【解題指南解題指南】利用分類討論的思想解決利用分類討論的思想解決. .【解析解析】(1)(1)

32、當(dāng)當(dāng)k=0k=0時(shí)，時(shí)，y=y=2 2，表示兩條與，表示兩條與x x軸平行的直線軸平行的直線. .(2)(2)當(dāng)當(dāng)k=1k=1時(shí)，方程為時(shí)，方程為x x2 2+y+y2 2=4=4，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2 2的圓的圓. .(3)(3)當(dāng)當(dāng)k0k0時(shí)，方程為時(shí)，方程為 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y y軸上的雙曲線軸上的雙曲線. .(4)(4)當(dāng)當(dāng)0k10k1k1時(shí)，方程為時(shí)，方程為 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y y軸上的橢圓軸上的橢圓. .22yx1,44k22xy1,44k22xy144k ，【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】已知橢圓已知橢圓 與雙曲線與雙曲線 有相同有相同的焦點(diǎn)的焦點(diǎn), ,則

33、則a a的值是的值是( )( )A. B.1A. B.1或或-2-2C.1C.1或或 D.1D.1【解析解析】選選D.D.依題意有依題意有: : 解得解得a=1.a=1.222xy14a22xy1a2121222a0,0a4,4aa2, 【拓展類型拓展類型】定義法求雙曲線的方程定義法求雙曲線的方程【備選例題備選例題】(1)(1)與圓與圓A A：(x+5)(x+5)2 2+y+y2 2=49=49和圓和圓B:(x-5)B:(x-5)2 2+y+y2 2=1=1都外都外切的圓的圓心切的圓的圓心P P的軌跡方程為的軌跡方程為_._.(2)(2)在周長(zhǎng)為在周長(zhǎng)為4848的的RtRtMPNMPN中，中，

34、MPN=90MPN=90,tan,tanPMN= PMN= 求以求以M M，N N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P P的雙曲線方程的雙曲線方程. . 3,4【解析解析】(1)(1)設(shè)動(dòng)圓設(shè)動(dòng)圓P P的半徑為的半徑為R R，且，且P(x,y)P(x,y)，則則|PA|=R+7|PA|=R+7，|PB|=R+1|PB|=R+1，所以所以|PA|-|PB|=6|PA|-|PB|=610=|AB|10=|AB|，所以點(diǎn)所以點(diǎn)P P的軌跡是以的軌跡是以A A，B B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支為焦點(diǎn)的雙曲線的右支, ,這里這里a=3,c=5,a=3,c=5,所以所以b b2 2=16.=16.故方程為故方程為 (

35、x3).(x3).答案：答案： (x3)(x3)22xy191622xy1916(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)镸PNMPN的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為4848，且，且tanPMN=tanPMN=所以設(shè)所以設(shè)|PN|=3k,|PM|=4k,|PN|=3k,|PM|=4k,則則|MN|=5k,|MN|=5k,由由3k+4k+5k=483k+4k+5k=48得得k=4.k=4.所以所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.3,4以以MNMN所在直線為所在直線為x x軸，以軸，以MNMN的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示圖所示. .設(shè)

36、所求雙曲線方程為設(shè)所求雙曲線方程為 (a(a0,b0,b0).0).由由|PM|-|PN|=4|PM|-|PN|=4得得2a=42a=4，a=2,aa=2,a2 2=4.=4.由由|MN|=20|MN|=20得得2c=20,c=10,2c=20,c=10,所以所以b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=96.=96.所以所求雙曲線方程為所以所求雙曲線方程為 (x(x2).2).2222xy1ab22xy1496【方法技巧方法技巧】定義法求雙曲線方程的注意點(diǎn)定義法求雙曲線方程的注意點(diǎn)(1)(1)注意條件中是到定點(diǎn)距離之差注意條件中是到定點(diǎn)距離之差, ,或是差的絕對(duì)值或是差的絕對(duì)值. .(2)(2)當(dāng)差為常數(shù)時(shí)要注意常數(shù)與兩定點(diǎn)間距離的大小問題當(dāng)差為常數(shù)時(shí)要注意常數(shù)與兩定點(diǎn)間距離的大小問題. .(3)(3)求出方程后要注意表示滿足方程的解的坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在求出方程后要注意表示滿足方程的解的坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在所給的曲線上所給的曲線上. .【巧思妙解巧思妙解】巧設(shè)方程妙解題巧設(shè)方程妙解題 【典例典例】設(shè)雙曲線與橢圓設(shè)雙曲線與橢圓 有相同的焦點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)相交，一個(gè)交點(diǎn)A A的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為4 4，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_._.22xy12