六年級數(shù)學(xué)圓與扇形綜合

1、與扇形綜合son圓與球：跨時代、跨文化的數(shù)學(xué)故事這座完美的古代建筑，最基本的設(shè)計元素竟然是最簡單的幾何圖形一圓佇立在北京天壇祈年殿前，贊美之情油然而生。這座完美的古代建筑，最基本的設(shè)計元素竟然是最簡 單的幾何圖形一圓。三層漢白玉圓形臺基、三層藍(lán)琉璃圓頂大殿，與附近的圓形皇穹宇和圜丘交相輝映, 好一片圓美世界！圓和球還是最實用的圖形。宏大如宇宙天體，微小至原子電子，飛轉(zhuǎn)的車輪，滴嗒的鐘表人們的 日常生活離不開圓和球，科技的進步也離不開圓和球。簡單中寓深奧。在圓與球簡約的外形下，潛藏著無窮的數(shù)學(xué)奧秘，。圓周長和圓而積的計算，蘊涵著極限思想。中國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”，就是用圓內(nèi)接正多 邊形

2、去逐步逼近圓。劉徽從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并計算逐次得到的正多邊形的周長和 面積（以及相應(yīng)的圓周率近似值）。古希臘數(shù)學(xué)家稱用多邊形逼近曲線圖形的方法為“窮竭法”，早在公元前3世紀(jì)，阿基米德也是用這種 方法去計算圓的周長、而積及圓周率的。不過阿基米德最引以自豪的，是他對球體積的計算。阿基米德考 慮一個球和它的外切圓柱，以及一個輔助的圓錐，其基本做法是將這些立體分割成無數(shù)的薄片，并用力學(xué) 平衡的方法比較它們的體積，最后求得球體積的正確公式：（R是球半徑）。阿基米德的方法可以看成是積 分學(xué)的先聲。無獨有偶，在東方，中國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之和他的兒子祖，也是利用球和它的外切 圓柱計算

3、出正確的球體積公式。不過與阿基米德不同，祖氏父子考慮的是同一個球的兩個互相垂直的外切 圓柱的公共部分（劉徽最先發(fā)現(xiàn)該種立體并命名為“牟合方蓋”），并運用歐洲學(xué)者遲至17世紀(jì)才重新發(fā)現(xiàn)的 不可分量原理推算出這部分立體與其所含內(nèi)切球的體積之比。祖氏父子的方法與阿基米德的可以說是異曲 同工，殊途同歸。至于近代微積分的發(fā)明，圓和球也扮演了重要的角色。我們知道，在17世紀(jì)上半紀(jì)微枳分醞釀時期， 圓面積與圓周率兀的計算，曾是那些尋找打開無窮小算法大門鑰匙的數(shù)學(xué)大師們關(guān)注的熱點。牛頓之前的 先行者、英國數(shù)學(xué)家沃利斯在其代表作無窮算術(shù)中，用插值法計算1/4圓的面積，并進而導(dǎo)出了無窮 乘積表達(dá)式牛頓推廣沃利斯的

4、方法而得到了指數(shù)可以是分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的二項定理，二項定理在建立微積分算法中的 作用是眾所周知的。在解析幾何的發(fā)明人笛卡兒手中，圓是他作圖求解方程的基本工具。笛卡兒在幾何 學(xué)一書中提出的求曲線切線的方法甚至以“圓法”著稱，而牛頓正是從研究、改善笛卡兒“圓法”開始踏上 制定微積分的漫漫征途。微積分的另一位發(fā)明人萊伯尼茨也計算過圓面積及圓周率，他給出了冗的無窮級 數(shù)表達(dá)式饒有意味的是，與牛頓、萊布尼茨差不多同時代的日本“算圣”關(guān)孝和，開創(chuàng)了獨具一格的“圓理他 所謂的“圓理”，即指與圓有關(guān)的研究，以無窮級數(shù)為基礎(chǔ)，計算各種曲線與曲而圍成的圖形之面積與體積， 說明當(dāng)時東方的數(shù)學(xué)家們也在竭力用圓這把鑰匙叩擊著

5、微積分的大門。古希臘“數(shù)學(xué)之神”阿基米德把球體積推算視為他一生最得意的成果，曾留下遺囑把球及其外切圓柱的 圖形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿戰(zhàn)爭期間被羅馬士兵殺害，據(jù)傳當(dāng)羅馬軍士沖到阿基米德身 邊時，這位正在思考數(shù)學(xué)問題的老人喊出的最后一句話是：“別動我的圓！“阿基米德死后，羅馬軍隊的主 帥馬塞呂斯下令為阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遺愿，在他墓前豎了一塊石碑，墓碑上刻著的正 是那不朽的圖形一球及其外切圓柱。記載著阿基米德球體積計算的羊皮書手稿，歷經(jīng)千年塵封后終于重見 天日，被譽為20世紀(jì)最重大的考古發(fā)現(xiàn)而轟動一時。至于圓周率兀的計算，這方面的成就往往被用作衡量某一時代、某一地區(qū)文化

6、水平的標(biāo)征。前而已提 到的祖沖之，亦以圓周率的計算而彪炳史冊。據(jù)隋書記載，祖沖之算出圓周率的精確值在3.1415926 與3.1415927之間，這在公元5世紀(jì)時創(chuàng)造了世界之最。為了紀(jì)念這位文化名人，人們把月球上的一座環(huán) 形山命名為“祖沖之山:1955年，中國還發(fā)行了祖沖之紀(jì)念郵票。祖沖之并不是僅有的出現(xiàn)在郵票上并與 圓周率有關(guān)的數(shù)學(xué)家。伊朗曾發(fā)行過紀(jì)念阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾卡西的郵票，阿爾卡西恰恰是祖沖之之后刷 新圓周率計算記錄的第一人，他在公元14世紀(jì)，給出了準(zhǔn)確到13位小數(shù)的圓周率近似值。今天，電子計 算機已經(jīng)將數(shù)值計算到小數(shù)點后數(shù)萬億位。然而，電子計算機的發(fā)明、使用本身離不開圓的數(shù)學(xué)。我們已

7、經(jīng)看到，圓與球，簡單，美麗，奧妙，述說著一個跨時代、跨文化的數(shù)學(xué)故事。最后，讓我們 回到本文開始之處一北京天壇，去側(cè)耳傾聽沿著那圓形的回音壁回蕩的永恒的“圓舞曲”吧。圓的知識：1 .當(dāng)一條線段繞著它的一個端點O在平而上旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一端點所畫成的封閉曲線叫做圓，點0叫 做這個圓的圓心.2 .連結(jié)一個圓的圓心和圓周上任一點的線段叫做圓的半徑.3 .連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做圓的弦.過圓心的弦叫做圓的直徑.4 .圓的周長與直徑的比叫做圓周率.圓周上任意兩點間的部分叫做弧.5 .圓周長=直徑防尸半徑x2冗圓而積半徑2.扇形的知識：1 .扇形是圓的一部分，它是由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧組成

8、的圖形.頂點在圓心的角叫做圓心角.2 .我們經(jīng)常說的圓、I圓、圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個扇形的圓心角占這 246個圓周角的幾分之幾.那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是1.36。213.扇形中的弧長二竺二扇形的周長=2叱+2r.扇形的而積二2三一=lr .1801803602弓形的知識：弦與它所對的弧所組成的圖形叫做弓形?！疽话銇碚f，弓形面積=扇形而積-三角形面積.（除了半圓）】常用方法：1 .常用的思想方法：轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的）等積變形（割補、平移、旋轉(zhuǎn)等）借來還去（加減法）外圍入手（從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的'

9、'關(guān)系”）2 .割補法：將不規(guī)則的組合圖形經(jīng)過分割（用連線分割）、切拼、拼合后，轉(zhuǎn)化成一個規(guī)則的幾何圖形，從 而交易求得面積的方法，就是割補法求面積。3 .包含與排除法：重會想減就是應(yīng)用了包含與排除的思想，用包含與排除求面積時，關(guān)鍵是考慮重疊部分的 面積如何正確處理，應(yīng)該加上還是減去，要仔細(xì)思考，正確選擇。4 .旋轉(zhuǎn)對稱：將不規(guī)則圖形或幾個圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、對稱之后成為一個或幾個規(guī)則圖形進行面積計算的方法。5 .差不變原理：也稱為放大法求而積，通常是求兩個不規(guī)則圖形的面枳差，或是已知兩個不規(guī)則圖形的面積 差，從而求面積大小或線段長短，一般我們把這兩個圖形經(jīng)過放大（即加上同一圖形），使它們變

10、成兩個 規(guī)則圖形，再出算解答。3重點：1、圓與扇形的面積和周長計算公式。弓形的面積公式。2、割補法求面積。能運用割補法求組合圖形的面積。3、利用容斥原理就是重疊相減法求面積。4、旋轉(zhuǎn)圖形問題的重點研究是當(dāng)一個圖形繞一點進行旋轉(zhuǎn)軌跡掃過的而積。難點：1、在解決復(fù)雜圓與扇形的周長時，首先要分清圍成這一圖形的邊有哪些，再正確計算。2、在解決復(fù)雜圓與扇形的而積時，首先要根據(jù)圖形組合的形式，用會求的圖形的而積去求的題目 所要求的圖形而積?！纠?】正方形的邊長為10,求陰影部分得面積。（用H的式子表示）3、多種方法在同一個題目中的分析及運用?！眷柟獭咳鐖D是一個邊長為30的正方形，以各頂點為圓心，邊長為半徑

11、，畫圓弧，求陰影部分的面積?！纠?】 如圖，正方形邊長為1,正方形的4個頂點和4條邊分別為4個圓的圓心和半徑，求陰影部分而積.（兀取3.14)【鞏固】圖中的4個圓的圓心是正方形的4個頂點，它們的公共點是該正方形的中心.如果每個圓的半徑 都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？10【例3】 如圖所示，在半徑為4厘米的圖中有兩條互相垂直的線段，陰影部分而積A與其它部分面積4之差（大減 ?。┦嵌嗌?？【鞏固】一塊圓形稀有金屬板平分給甲、乙二人.但此金屬板事先已被兩條互相垂直的弦切割成如圖所示 尺寸的四塊.現(xiàn)甲取、兩塊，乙取、兩塊.如果這種金屬板每平方厘米價值1000元， 問：甲應(yīng)償付給乙多少元

12、？7.5cm【例4】 如圖，邊長為3的兩個正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC為邊向內(nèi)側(cè)作等邊三角形，分別以B、C為圓心，BK、CK為半徑畫弧.求陰影部分面積.（兀=3.14）【鞏固】已知半圓所在的圓的面積為62.8平方厘米，求陰影部分的面積.（兀= 3,14）【例5】 如圖，兩個半徑為1的半圓垂直相交，橫放的半圓直徑通過豎放半圓的圓心，求圖中兩塊陰影部分的面積 之差.（兀取3）【鞏固】在圖中，兩個四分之一圓弧的半徑分別是2和4,求兩個陰影部分的而積差.（圓周率取3）【例6】 如圖所示，陰影部分的面積為多少？（圓周率取3）【鞏固】圖中陰影部分的面積是.（兀取3）【例7】 下圖中，AB

13、=3,陰影部分的面枳是多少？【鞏固】如圖，相與是兩條垂直的直徑，圓0的半徑為15, AEB是以。為圓心，月。為半徑的圓弧.求陰影部分面枳.D【例8】（祖沖之杯競賽試題）如圖，A3CO是一個長為%寬為3,對角線長為5的正方形，它繞C點按順時針方 向旋轉(zhuǎn)90度，分別求出四邊掃過圖形的面積.【鞏固】如圖，將長方形ABCD繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90度，若AB=1, BC=3, AC=5,求AD邊掃過部分的面枳.（乃取3.14）【例9】（2004年第九屆華杯賽初賽）半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的內(nèi)側(cè)作無滑動的滾動, 當(dāng)小鐵環(huán)沿大鐵環(huán)滾動一周回到原位時，問小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？【鞏固】如圖所

14、示，大圓周長是小圓周長的（>1）倍，當(dāng)小圓在大圓內(nèi)側(cè)（外側(cè)）作無滑動的滾動一圈后 又回到原來的位置，小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動了幾周？【例10傳說古老的天竺國有一座鐘樓，鐘樓上有一座大鐘，這座大鐘的鐘而有10平方米.每當(dāng)太陽西下，鐘面 就會出現(xiàn)奇妙的陰影（如右圖）.那么，陰影部分的面積是平方米.12【鞏固】圖中是一個鐘表的圓而，圖中陰影部分甲與陰影部分乙的面積之比是多少?1、有7根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們捆成一捆（如下圖），此時橡皮筋的長度是多少?I2、如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為，空白部分面積為S）,那么這兩個部分的面積之比是多少?（圓周率取3. 14）3

15、、如果半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的外側(cè)作無滑動的滾動，當(dāng)小鐵環(huán)沿大鐵環(huán) 滾動一周回到原位時，向小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？4、（2008年“學(xué)而思杯”數(shù)學(xué)試題）如圖，直角三角形ABC中，為直角，且3C = 2厘米，AC = 4厘米，則在將繞C點順時針旋轉(zhuǎn)120。的過程中，邊掃過圖形的而積為.（71 = 3.14）4A解決圓與扇形較難的題目時，關(guān)鍵是能夠?qū)D形進行巧妙的分析，熟記每種方法的一些典型例題，或 明顯的圖形，利用所學(xué)的各種方法，在解題的過程中靈活運用。1、如圖，邊長為12厘米的正五邊形，分別以正五邊形的5個頂點為圓心，12厘米為半徑作圓弧，請問:中間陰影部分的周長是多少？（兀=3.14）2crn2、如圖邊長為13的正方形中，分別以正方形的每條邊為斜邊，向內(nèi)做直角邊為5和12的直角三角形, 求大圓和小圓的面積比。3、如圖所示，直角三角形A5C的斜邊AB長為10厘米，NABC = 60。，此時3C長5厘米.以點3為中心 將AA3C順時針旋轉(zhuǎn)120。，點A、。分別到達(dá)點七、。的位置.求AC邊掃過的圖形即圖中陰影部分 的面積.（兀取3）4、如圖所示