利用軸對稱求最短距離問題

1、利用軸對稱求最短距離問題基本題引入：如圖（1）,要在公路道a上修建一個加油站，有A,B兩人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使兩人到加油站的總路程最短？你可以在a上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？思路分析：如圖2,我們可以把公路a近似看成一條直線，問題就是要在a上找一點M使AM與BM的和最小。設(shè)A'是A的對稱點，本問題也就是要使AM與BM的和最小。在連接AB的線中，線段AB最短。因此，線段AB與直線a的交點C的位置即為所求。如圖3,為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線a上另外任取一點N,連接ANBNANo因為直線a是A，A'的對稱軸，點M,N在a上，所以AM=

2、AM,AN=AN。AM+BM=AM+BM=AB在厶ABN中，ABvAN+BNAM+BMAN+BN即AM+B最小。點評：經(jīng)過復(fù)習(xí)學(xué)生恍然大悟、面露微笑，不一會不少學(xué)生就利用軸對稱知識將上一道中考題解決了。思路如下：BO9（定值），PBC的周長最小，就是PB+PC最小.由題意可知，點C關(guān)于直線DE的對稱點是點A,顯然當(dāng)P、A、B三點共線時PB+PA最小.此時D吐DEPB+PA=AB.由/ADFZFAE/DFA=ZACB=90°，得DAfABC.EF/BQ得AE=BE=1AB=15，EF=9./AF：BC=AD：AB即6:9=AD：15./AD=10.Rt222ADF中,AD=10,AF=

3、6,二DF=8./DE=DF+FE=8+-=5.當(dāng)x=空時，PBC的222周長最小，y值略。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：教師要充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理組織教學(xué)內(nèi)容，建立科學(xué)的訓(xùn)練系統(tǒng)。使學(xué)生不僅獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能，更要獲得數(shù)學(xué)思想和觀念，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。同時每年的中考題也千變?nèi)f化，為了提高學(xué)生的應(yīng)對能力，除了進(jìn)行專題訓(xùn)練外，還要多歸納多總結(jié)，將一類問題集中呈現(xiàn)給學(xué)生。兩條直線間的對稱題目1如圖，在曠野上，一個人騎馬從A出發(fā)，他欲將馬引到河a1飲水后再到a2飲水，然后返回A地，問他應(yīng)該怎樣走才能使總路程最短。點評：這道題學(xué)生拿到時往往無從下手。但只要把握軸對稱的

4、性質(zhì)就能迎刃而解了。作法：過點A作a1的對稱點A',作a2的對稱點A,連接AA交a1、a2于BC,連接BC.所經(jīng)過路線如圖5：A-B-C-A,所走的總路程為AA。二、三角形中的對稱題目2如圖,在厶ABC中,AC=BC=2,/ACB=90,D是BC邊上的中點,E是AB邊上的一動點，則EC+ED勺最小值是點評：本題只要把點C、D看成基本題中的A、E兩鎮(zhèn)，把線段AB看成燃?xì)夤艿繿,問題就可以迎刃而解了，本題只是改變了題目背景，所考察的知識點并沒有改變。三、四邊形中的對稱題目3如圖，正方形ABCD勺邊長為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的動點，則DN+MI的最小值為多少？點評：此題也是運

5、用到正方形是軸對稱圖形這一特殊性質(zhì)，點D關(guān)于直線AC的對稱點正好是點B,最小值為M410。C四、圓中的對稱題目4已知：如圖，已知點A是。0上的一個六等分點，點B是弧AN的中點，點P是半徑ON上的動點，若。0的半徑長為1，求AP+BP勺最小值點評：這道題也運用了圓的對稱性這一特殊性質(zhì)。點B的對稱點B'在圓上，AB交ON于點p',由/AON=60°,/B'0N=30°,/AOB=90°,半徑長為1可得AB=2。當(dāng)點P運動到點p'時，此時AP+BP有最小值為2B'五、立體圖形中的對稱題目5如圖1是一個沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞

6、蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對側(cè)中點B處的食物，已知盒高h(yuǎn)=10cm底面圓的周長為32cm,A距離下底面3cm請你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為_cm點評：如圖2，此題是一道立體圖形問題需要轉(zhuǎn)化成平面問題來解決，將圓柱的側(cè)面展開得矩形EFGH乍出點B關(guān)于EH的對稱點B'，作AdGH于點C,連接AB'。在RtAB'C中，AC=16,B'C=12,求得AB'=20，則螞蟻爬行的最短路程為20cm。通過變式訓(xùn)練既解決了一類問題，又歸納出了最本質(zhì)的東西，以后學(xué)生再碰到類似問題時學(xué)生就不會不知所措。同時變式訓(xùn)練培養(yǎng)了學(xué)生思維的積極性和深刻

7、性，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)變能力。綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握書本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練，對鞏固基礎(chǔ)、提高能力有著至關(guān)重要的作用。更重要的是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維、逆向思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全方位、多角度思考問題的能力，有助于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。題目6長方體問題如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少?析：展開圖如圖所示，.25.29,37AiADiCi路線1即為所求。AiBiCiA4B2CAq=4+3=v25;AC=6+1=v37;ac="+2=v29長、

8、寬、咼中，較短的兩條邊的和作為一條直角邊，最長的邊作為另一條直角邊，斜邊長即為最短路線長由學(xué)生引申總結(jié)以下14:1、已知：如圖，A、B兩點在直線I的同側(cè)，點A與A關(guān)于直線I對稱，連結(jié)AB交I于P點，若AB=a，(1)求AP+PB(2)若點M是直線I上異于P點的任意一點，求證：AMMBAPPB.A2、已知：AB兩點在直線I的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點M(1)在I上求作一點M，使得AMBM最小；A*(2)在I上求作一點M,使得AMBM最大;(3)在I上求作一點M,使得AM+BMI小ALAC請說3、如圖，AD為/BAC的平分線，DELAB于E,DF于F,那么點E、F是否關(guān)于AD對稱？若對稱，明理由4、已知：如圖，點P1,P2分別是P點關(guān)于/ABC的兩邊BABC的對稱點，連接pg，分別交BABC邊于E、D點，若p1p2=m(1)求厶PDE的周長;(2)若M是BA邊上異于E的一點，N是BC邊上異于D的一點，求證：PMN勺周長CPlPDE的周長。軸對稱在本題中的主要作用是將線段在保證長度不變的情況下改變位置，要注意體會軸對稱在這方面的應(yīng)用。以此作為模型我們可以解決下列求最小值的問題。D5. 如圖，菱形ABCD中AB=2/BAD=60，E是AB的中點，P是對角線AC上的C一個動點，貝UPE+PB勺最小值是o分析：首先分解此圖形，構(gòu)建如圖5模型，因