高考復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)精華總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上復(fù) 數(shù)1復(fù)數(shù)的概念：（1）虛數(shù)單位i；（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi，(a, bR)；（3）復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)。2復(fù)數(shù)集3復(fù)數(shù)a+bi(a, bR)由兩部分組成，實(shí)數(shù)a與b分別稱(chēng)為復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部與虛部，1與i分別是實(shí)數(shù)單位和虛數(shù)單位，當(dāng)b=0時(shí)，a+bi就是實(shí)數(shù)，當(dāng)b0時(shí)，a+bi是虛數(shù)，其中a=0且b0時(shí)稱(chēng)為純虛數(shù)。應(yīng)特別注意，a=0僅是復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)的必要條件，若a=b=0，則a+bi=0是實(shí)數(shù)。4復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 若兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）減法：z1z2

2、=(a1a2)+(b1b2)i；（3）乘法：z1·z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i；（4）除法：；（5）四則運(yùn)算的交換率、結(jié)合率；分配率都適合于復(fù)數(shù)的情況。（6）特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算： (n為整數(shù))的周期性運(yùn)算； (1±i)2 =±2i； 若=-+i，則3=1，1+2=0.5共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模（1）若z=a+bi，則，為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)(b0).（2）復(fù)數(shù)z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.6.根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，設(shè)a, b, c, dR，兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi和c+di相等規(guī)定為a+bi=c+di. 由這個(gè)定義得到a+bi=0.兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較

3、大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。4復(fù)數(shù)a+bi的共軛復(fù)數(shù)是abi，若兩復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，則它們所表示的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)。若b=0，則實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)a共軛，表示點(diǎn)落在實(shí)軸上。5復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算基本上沒(méi)有區(qū)別，最主要的是在運(yùn)算中將i2=1結(jié)合到實(shí)際運(yùn)算過(guò)程中去。如(a+bi)(abi)= a2+b26復(fù)數(shù)的除法是復(fù)數(shù)乘法的逆運(yùn)算將滿(mǎn)足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商。由于兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的積是實(shí)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的除法可以通過(guò)將分母實(shí)化得到，即.7復(fù)數(shù)a+bi的模的幾何意義是指表示復(fù)數(shù)a+bi的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。（二）典

4、型例題講解1復(fù)數(shù)的概念例1實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m1)i是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？（4）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第三象限？解：復(fù)數(shù)z=m+1+(m1)i中，因?yàn)閙R，所以m+1，m1都是實(shí)數(shù)，它們分別是z的實(shí)部和虛部， （1）m=1時(shí)，z是實(shí)數(shù)； （2）m1時(shí)，z是虛數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，即m=1時(shí)，z是純虛數(shù)；（4）當(dāng)時(shí)，即m<1時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第三象限。例2已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y.解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得方程組，得x=, y=4.例4當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z+(m2+3m10)i；（1）是實(shí)數(shù)；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù) 解：此題

5、主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及方程（組）的解法 （1）z為實(shí)數(shù)，則虛部m2+3m10=0，即，解得m=2， m=2時(shí)，z為實(shí)數(shù)。（2）z為虛數(shù)，則虛部m2+3m100，即，解得m2且m±5. 當(dāng)m2且m±5時(shí)，z為虛數(shù)，解得m=, 當(dāng)m=時(shí)，z為純虛數(shù) 詮釋?zhuān)罕绢}應(yīng)抓住復(fù)數(shù)分別為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時(shí)相應(yīng)必須具備的條件，還應(yīng)特別注意分母不為零這一要求例5計(jì)算：ii2i3+i2005. 解：此題主要考查in的周期性ii2i3+i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003i2004)i2005 =(i1i+1)+ (i1i+1)+(i1i+1)+i 00

6、0+ii.或者可利用等比數(shù)列的求和公式來(lái)求解（略） 詮釋?zhuān)罕绢}應(yīng)抓住in的周期及合理分組例8使不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立的實(shí)數(shù)m .解：此題主要考查復(fù)數(shù)能比較大小的條件及方程組和不等式的解法 m2(m23m)i(m24m3)i10, 且虛數(shù)不能比較大小，解得， m=3.當(dāng)m3時(shí)，原不等式成立詮釋?zhuān)罕绢}應(yīng)抓住復(fù)數(shù)能比較大小時(shí)必須都為實(shí)數(shù)這一條件。例9已知z=xyi(x，yR)，且 ，求z解：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件及指數(shù)方程，對(duì)數(shù)方程的解法 ，解得或, z2i或z12i詮釋?zhuān)罕绢}應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件這一關(guān)鍵，正確、熟練地解方程（指數(shù)，對(duì)數(shù)方程）例10已知x為純虛數(shù)

7、，y是實(shí)數(shù)，且2x1iy(3y)i，求x、y的值解：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，實(shí)數(shù)與i的運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，方程組的解法設(shè)xti (tR，且t0），則2x1iy(3y)i可化為2ti1iy(3y)i，即(2t1)i1=y(3y)i，, y=1, t=, x=i.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例1計(jì)算：（1），nN+； （2）若=+i，3=1，計(jì)算；（3）；（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99.解：（1）= =.（2）= =2.（3）由于, , = =8.（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+(97i96+98i

8、97+99i98+100i99)=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(97+98i99100i)=25(22i)=5050i.例2已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z2|=2，z+R，求z.解：設(shè)z=x+yi, x, yR，則z+=z+， z+R， =0， 又|z2|=2, (x2)2+y2=4,聯(lián)立解得，當(dāng)y=0時(shí), x=4或x=0 (舍去x=0, 因此時(shí)z=0)，當(dāng)y0時(shí), , z=1±, 綜上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1i.例3設(shè)z為虛數(shù)，求證：z+為實(shí)數(shù)的充要條件是|z|=1.證明：設(shè)z=a+bi (a, bR，b0)，于是z+=(a+bi)+,所以b0, (z+)Rb=0a2

9、+b2=1|z|=1.例4復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(z+1)(+1)=|2，且為純虛數(shù)，求z.解：設(shè)z=x+yi (x, yR)，則(z+1)(+1)=|2+z+1=|2， z+1=0，z+=1，x=.=為純虛數(shù)， x2+y21=0, y=±, z=+i或z=i.例5復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1+2i)z+(310i)=434i，求z.解：設(shè)z=x+yi (x, yR)，則(1+2i)(x+yi)+(310i)(xyi) =434i，整理得(4x12y)(8x+2y)i=434i. , 解得, z=4+i.例6設(shè)z是虛數(shù)，=z+是實(shí)數(shù)，且1<<2，（1）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；（2）設(shè)u=，求證u為 純虛數(shù)；（3）求u2的最小值。解：（1）設(shè)z=a+bi (a, bR, b0)，則=，由于是實(shí)數(shù)且b0， a2+b2=1，即|z|=1，由=2a, 1<<2, z的實(shí)部a的的取值范圍是(, 1).（2）u=，由于a(, 1), b0， u是