高考數(shù)列易錯點(diǎn)歸納

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列1.數(shù)列的第n項與前n項的和的關(guān)系 ( 數(shù)列的前n項的和為).2.等差數(shù)列的通項公式；其前n項和公式為.3.等比數(shù)列的通項公式；其前n項的和公式為或.4.等比差數(shù)列:的通項公式為；其前n項和公式為.【易混易錯】易錯點(diǎn)1已知求時, 易忽略致錯【例1】已知數(shù)列的前項和為n2n1，求的通項公式【錯解】anSnSn1n2n1(n1)2(n1)1n，所以【錯因】成立的條件是，當(dāng)要單獨(dú)驗(yàn)證【正解】當(dāng)n1時，a1S112；當(dāng)n2時，anSnSn1n2n1(n1)2(n1)1n.當(dāng)n1時不符合上式，所以易錯點(diǎn)2利用等比數(shù)列前n項和公式時，忽略公比致錯【例2】求數(shù)列的前n項和【錯解

2、】由于， 兩式相減得=.【錯因】上述解法只適合的情形事實(shí)上，當(dāng)時，【正解】易錯點(diǎn)3忽略數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別致錯【例3】已知函數(shù)，數(shù)列滿足（），且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則a的取值范圍是_【錯解】由題有，得【錯因】忽略數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別致錯，實(shí)際上，數(shù)列是一串離散的點(diǎn)，不能直接將代入到分段函數(shù)的兩個部分進(jìn)行比較【正解】由題有，得【例4】 已知數(shù)列在上是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【錯解】依題意，解得，所以的取值范圍是【錯因】數(shù)列的定義域是全體的正整數(shù)，不是實(shí)數(shù)，所以不能按照函數(shù)的處理辦法【正解】依題意，即，故易錯點(diǎn)4數(shù)列的定義域是全體的正整數(shù)【例5】已知數(shù)列，其前項和為，則的最大值是_【錯解】由題意，當(dāng)

3、時，的最大，最大值為【錯因】數(shù)列的自變量是正整數(shù)，不能取非正數(shù)【正解】方法1：由題意，當(dāng)時，離二次函數(shù)對稱軸最近，所以的最大值為方法2：令，解得，即前4項為正數(shù)，后面項均為負(fù)數(shù)，所以的最大值為易錯點(diǎn)5亂用結(jié)論致錯【例6】已知等差數(shù)列的前m項，前2m項，前3m項的和分別為，求【錯解】因?yàn)?，所以【錯因】以為為等差數(shù)列，則也是為等差數(shù)列致錯【正解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，所以是公差為的等差數(shù)列，所以即，易錯點(diǎn)6亂設(shè)常量致錯【例7】數(shù)列與的前項和分別為，且，則_.【錯解】，則，所以【錯因】從可知，比值=:隨著項數(shù)的變化而變化，不能設(shè)為常數(shù)，這里忽略了項數(shù)的可變性而致錯【正解】設(shè)，則，其中，所以4:3易錯點(diǎn)

4、7用歸納代替證明致錯【例8】【四川高考理數(shù)改編】已知數(shù)列的首項為1，為數(shù)列的前n項和， ，其中q0， ，若 成等差數(shù)列，求的通項公式；【錯解】依題意，解得，因?yàn)?，所以是一個等比數(shù)列，所以【錯因】由前3項成等比數(shù)列，就認(rèn)為數(shù)列為等比數(shù)列【正解】由已知， 兩式相減得到.又由得到，故對所有都成立.所以，數(shù)列是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.從而.由成等比數(shù)列，可得，即，則，由已知,，故 .所以.易錯點(diǎn)8數(shù)列加絕對值后，認(rèn)為其還是等差數(shù)列【例9】在等差數(shù)列中，記，求數(shù)列的前30項和.【錯解】依題意，也是等差數(shù)列，所以【錯因】這里易錯點(diǎn)是也為等差數(shù)列，而解題的關(guān)鍵是絕對值號內(nèi)的的正負(fù)號進(jìn)行討論，當(dāng)時，時，

5、【正解】 =755易錯點(diǎn)9使用構(gòu)造法求數(shù)列通項公式時，弄錯首項致錯【例10】已知數(shù)列an滿足a11，求的通項公式【錯解】，是以2為公比的等比數(shù)列 【錯因】新數(shù)列的首項是，不是【正解】，是以為首項，2為公比的等比數(shù)列 即【即時檢測】1.已知數(shù)列an是1為首項，2為公差的等差數(shù)列，bn是1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，則當(dāng)時，n的最大值是( )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【分析】由題設(shè)知，由和，得，由此能求出當(dāng)時n的最大值【詳解】是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列， ，解得：則當(dāng)時，n的最大值是10故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的

6、通項公式，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，易出錯，屬于中檔題.2.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，當(dāng)時，則的值為（）A. 1008B. 1009C. 1010D. 1011【答案】C【分析】利用，結(jié)合數(shù)列的遞推公式可解決此問題【詳解】解：當(dāng)時，故由得，即所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，含有時常用進(jìn)行轉(zhuǎn)化3.算法統(tǒng)宗是明朝程大位所著數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一段表述：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈，則該塔中間一層燈的盞數(shù)是（ ）A. 24B. 48C. 12D. 60【答案】A【解析】由題

7、意可知寶塔從上至下每層的燈盞數(shù)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的首項為，則有，解得該塔中間一層（即第4層）的燈盞數(shù)為選A4.已知等差數(shù)列an的公差，前n項和為Sn，若對所有的，都有，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由，都有，故選：D.點(diǎn)睛：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求Sn，突出了整體思想，減少了運(yùn)算量.5.已知數(shù)列an的前n項和滿足，則（ ）A. 196B. 200C. D. 【答案】B【解析】（1）當(dāng)時，（2），（1）-（2）得; ,當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)時，當(dāng)為奇數(shù)時，時， 。【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式,重點(diǎn)考查了分類討論思想。 6.已知函數(shù)，數(shù)列an是公比大于0的等比數(shù)列，且，

8、則_.【答案】【分析】由于是等比數(shù)列，所以也是等比數(shù)列.根據(jù)題目所給條件列方程，解方程求得的值.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，由得，即，由，得，聯(lián)立解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的前項和公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.7.已知函數(shù)，記（），若an是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_【答案】【分析】要使函數(shù)時單調(diào)遞減，則，解得t，要使函數(shù)單調(diào)遞減，則必須滿足，解得t，又函數(shù)在時單調(diào)遞減，則，解得t，聯(lián)立解得即可。【詳解】由題得在單調(diào)遞減，則有，解得，同理在單調(diào)遞減，則有，又函數(shù)在時單調(diào)遞減，則有，解得，故.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求分段函

9、數(shù)中的參數(shù)范圍，需要注意分段點(diǎn)也要滿足題意。8.已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，若，則的取值范圍是_.【答案】3,60【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式列不等式組，將表示為的線性和的形式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，設(shè)，由解得 ，兩式相加得，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列前項和公式，考查取值范圍的求法，屬于中檔題.9.定義為n個正數(shù)的“均倒數(shù)”已知正項數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為（1）求數(shù)列an的通項公式（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（3）令，問：是否存在正整數(shù)k使得對一切恒成立，如存在,求出k值

10、；如不存在，說明理由【分析】(1)由題意首先確定數(shù)列的前n項和，然后利用前n項和與通項公式的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式即可；(2)首先裂項求和求得，然后結(jié)合前n項和的范圍得到關(guān)于m的不等式，求解不等式即可確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)解法一：計算的值，確定取得最大值時的n的取值即可求得實(shí)數(shù)k的值；解法二：由題意可知，滿足題意時有，據(jù)此求解實(shí)數(shù)k的范圍，結(jié)合k為正整數(shù)即可求得實(shí)數(shù)k的值.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的前n項和為，由于數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為，所以，=，當(dāng)，當(dāng)，（對當(dāng)成立），(2)=，=，對一切恒成立，解之得，即m的取值范圍是(3)解法一：=，由于=，時，時，時取得最大值，即存在正整數(shù)k=

11、10使得對一切恒成立解法二：=，假設(shè)存在正整數(shù)k使得則為數(shù)列中的最大項，由得，又，k=10，即存在正整數(shù)k=10使得對一切恒成立【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.10.數(shù)列an滿足. （1）設(shè)，求證：bn為等差數(shù)列； （2）求數(shù)列an的前n項和Sn.【分析】：（1），所以是首項為，公差為的等差數(shù)列；（2）由（1）知,從而，利用分組求和及錯位相減求和法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.詳解：（1）由題意，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知,從而令,