第十六章分式

1、/AW- 八一第十八早 分式【知識(shí)點(diǎn)1】分式1分式的概念：形如 A （A、B是整式，且B中含有字母，B豐0）的式子叫做分式其中，A叫分式的B分子，B叫分式的分母.2分式有意義的條件：因?yàn)閮墒较喑某讲荒転榱?，即分式的分母不能為零，所以，分式有意義的條件是：分式的分母必須不等于零，即B工0，分式二有意義.B3 分式的值為零的條件：分子等于0，分母不等于0,二者缺一不可.【知識(shí)點(diǎn)2】有理式整式有理式的分類：有理式 八卡分式【知識(shí)點(diǎn)3】分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變用式子表示為：A=A M ,A=A 訕m 豐 0)B B M B B“M【知識(shí)點(diǎn)4】

2、約分和通分1 分式的約分：把一個(gè)分式的分子與分母中的公因式約去叫約分2分式的通分：把幾個(gè)異分母的分式化成與原來的分式相等的同分母的分式叫通分【知識(shí)點(diǎn)5】最簡分式與最簡公分母：約分后，分式的分子與分母不再有公因式，我們稱這樣的分式 為最簡分式.取各分母所有因式的最高次幕的積作為公分母，這樣的公分母稱為最簡公分母.知識(shí)鏈接：1分?jǐn)?shù)的意義2. 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)3. 分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的作用中考考點(diǎn)本節(jié)的?？贾R(shí)點(diǎn)有：1. 分式的有關(guān)概念，分式的意義，分式的值等于零2. 分式的約分，分式的分子、分母的系數(shù)化整化正3. 求分式的值以及分式與其它題的綜合分式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解分式方程的定義，會(huì)解可化為一元一次

3、方程的分式方程，了解產(chǎn)生增根的原因，并會(huì)驗(yàn)根2. 列出分式方程，解簡單的應(yīng)用題 .重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解的化歸思想及具體的解題方法難點(diǎn)：（1） 了解產(chǎn)生增根的原因，并有針對(duì)性地驗(yàn)根；（2）應(yīng)用題分析題意列方程.知識(shí)概要1. 分式方程的概念2. 解可化為一元一次方程的分式方程的一般方法和步驟： 去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡公分母，把原方程化為整式方程； 解這個(gè)整式方程； 驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增 根，必須舍去.3. 列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審：審清題意；（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)；（3）找：找出等量關(guān)系；（4

4、）列：列出分式方程；（5）解：解這個(gè)分式方程；（6）驗(yàn)：既要驗(yàn)證根是否為原分式方程的根，又要檢驗(yàn)根是否符合題意；（7）答：寫出答案.知識(shí)鏈接解分式方程主要是將其轉(zhuǎn)化成整式方程來解解完方程要注意驗(yàn)根即是否使最簡公分母為零中考視點(diǎn)：本節(jié)內(nèi)容在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，通常是以計(jì)算題或應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，并且多與其它章節(jié)如函數(shù)、方程等知識(shí)結(jié)合，因此，一定要注意含有字母系數(shù)的方程的解法以及可化為一元一次方程的分式 方程的解法和應(yīng)用，切記一定要驗(yàn)根第二節(jié)、教材解讀一、約分的根據(jù)、實(shí)質(zhì)與關(guān)鍵約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)；約分的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)分式化成最簡分式一一分子與分母沒有公因式的分式；約分的關(guān)鍵是確定一個(gè)分式的分子與分

5、母的公因式二、確定分子、分母公因式的方法分子與分母的公因式是：分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式的最低次幕的積三、約分時(shí)應(yīng)防止的三類錯(cuò)誤1 有關(guān)分式的概念辨析，字母或分式的取值等問題，一般不用約分，否則會(huì)造成錯(cuò)誤2約分時(shí)，分子的整體與分母的整體都要除以同一個(gè)（公）因式，當(dāng)分子或分母是多項(xiàng)式時(shí)，要用分子、分母的公因式去除整個(gè)多項(xiàng)式，不能只除某一項(xiàng)，更不能減去某一項(xiàng)例如：（1）口巴；（2） 平牛二丄 等都是錯(cuò)誤的其中（1）中的分式已是最簡分式，不需n +x nm2 _n2 m -n再約分；（2）的正確答案是為此，必須牢記，只有當(dāng)分子、分母都是乘積形式時(shí)才能約分m +n3分式的分子與分母是同底數(shù)

6、的幕做因式時(shí)，應(yīng)約去最低次幕，切不可對(duì)指數(shù)進(jìn)行約分例如：8 X 1 ：就犯了用指數(shù)6與2約分的錯(cuò)誤，正確的結(jié)果是 .出丄：。12（x+1f3四、掌握解分式方程的步驟解分式方程的一般步驟是：一是方程兩邊同乘最簡公分母，化分式方程為整式方程；二是解這個(gè)整式 方程；三是檢驗(yàn)女口：解方程：90二-60 x x +6第一步：方程兩邊都乘以 x （ x+ 6）,得90x + 540 = 60x；第二步：解這個(gè)整式方程，得 x =- 18；第三步：檢驗(yàn)：把 x =- 18代入原方程的左、右兩邊有左邊=右邊，即18是原分式方程的解五、列分式方程解簡單的實(shí)際應(yīng)用問題列分式方程解簡單的實(shí)際應(yīng)用題的步驟簡單地可分為

7、：審、設(shè)、找、列、解、檢、答七個(gè)步驟其中關(guān)鍵是“列”，難點(diǎn)是“找”女口：如圖，小明家到王老師家的路程為3km，王老師家到學(xué)校的路程為 0.5km，為了使他能按時(shí)到校，王老師每天騎自行車接小明上學(xué) 已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天比平時(shí)步行上班多用了 20min，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？ 解：第一步：審清題意；第二步：設(shè)王老師的步行速度為xkm/h，則騎自行車的速度為 3xkm/h ;第三步：王老師現(xiàn)在騎車所用的時(shí)間一原來步行所用時(shí)間=20min ;小明家第四步：根據(jù)題意，得;3 3 0.5 0.5203x x 60第五步：解這個(gè)方程：去分母，得3+3+0.5

8、1.5 = x，即x = 5;第六步：經(jīng)檢驗(yàn)x = 5是原方程的解，所以 3x = 15;第七步：答：王老師的步行速度及騎自行車的速度分別為5km/h和15km/h.列分式方程解應(yīng)用題一定要驗(yàn)根，還要保證其結(jié)果符合實(shí)際意義第三節(jié)、錯(cuò)題剖析分式概念是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，由于學(xué)生的認(rèn)知水平和經(jīng)驗(yàn)的不足，特別容易出現(xiàn)一些常見的通病 下面將通過舉例講解，讓同學(xué)們少走彎路,更快地學(xué)好分式的基礎(chǔ)知識(shí)同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中可能會(huì)犯以下錯(cuò)誤、分式概念理解偏差【例1】下列各式是分式的是（）A、4x2 -1x2二2C、3a2a錯(cuò)解1:顯然B式分母中含有字母，又是B的形式，所以選B.錯(cuò)解2:顯然A、D都是整式，逼經(jīng)過同底數(shù)

9、的幕相除化為3a也是整式，故選 B.a錯(cuò)解分析：前者誤認(rèn)為n是字母其實(shí)n是常數(shù)；后者先約分再判斷是不行的正解：選C.反思：（1）把握判斷分式的唯一標(biāo)準(zhǔn)是看分母中是否含有字母分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式（ 2）分式的判斷是看形式，數(shù)的判斷是看結(jié)果.如數(shù).9的結(jié)果是3,所以.9是有理數(shù)不是無理數(shù)二、分式的值為零的條件混亂X2 4【例2】當(dāng)x取何值時(shí)，的值為0?x +2錯(cuò)解1:因?yàn)閤無論等于2還是-2，分式的值為0，均無意義，故 x沒有值可??；錯(cuò)解2： x= ±2錯(cuò)解分析：前者誤認(rèn)為分式的值為0屬于無意義，后者卻忽視分式的值為0的前提條件是分式有意義正解：x=2.反思：弄

10、清分式的值為零的條件有兩個(gè)：（1 ）分子的值為零；（2 ）分母的值不為零.這兩個(gè)條件必須同時(shí)具備才可.三、分式無意義的條件不清【例3】當(dāng)x時(shí)，分式x-1無意義錯(cuò)解：因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，分母的值為 0,故x=1.錯(cuò)解分析：這個(gè)答案只考慮了分母為零時(shí)x=1，忽視了 x-1 = 0時(shí)x= ±都使分母為零屬于思維習(xí)慣 上的問題.正解：x=±1.四、分式基本性質(zhì)理解錯(cuò)誤1 1 a+ b【例4】 不改變分式的值，把分式一d的分子、分母中的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)1 1.a - b23la -b ；a 12 錯(cuò)解：=9b。1a-1b 1a-1b 63b2323錯(cuò)解分析：錯(cuò)解的分子、分母所乘的不是同

11、一個(gè)數(shù)，而是兩個(gè)不同的數(shù)，雖然把各項(xiàng)系數(shù)化成了整數(shù)，但分式的值改變了，違背了分式的基本性質(zhì)4a 3b6a 4b1 1 a b正解：3一一1 V111 Ia b i a b 122 32 3五、去分母時(shí)常數(shù)漏乘公分母：【例5】解方程 -2x 33-X錯(cuò)解：方程兩邊都乘以（x-3）,得 2-x=-1-2 ,解這個(gè)方程，得x=5.錯(cuò)解分析：解分式方程需要去分母，根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同乘以（x-3 ）時(shí)，應(yīng)注意乘以方程的每一項(xiàng)錯(cuò)解在去分母時(shí)，-2這一項(xiàng)沒有乘以（x-3），另外，求到x=5沒有代入原方程中檢驗(yàn)正解：方程兩邊都乘以（x-3）,得2 x = 1 2檢驗(yàn)：將x=3代入原方程，可知原方程的

12、分母等于六、去分母時(shí)，分子是多項(xiàng)式不加括號(hào)丄一丄=0x2 -1 x 13（x 3）,解得 x = 30,所以x=3是原方程的增根，所以原方程無解【例6】解方程錯(cuò)解：方程化為1 =0 ,x 1 x -1x 1(x + 1) (x 1),得方程兩邊同乘以3 x仁0，解得 x=2. 所以方程的解為x=2.錯(cuò)解分析：當(dāng)分式的分子是一個(gè)多項(xiàng)式，去掉分母時(shí)， （x- 1）括起來，出現(xiàn)符號(hào)上的錯(cuò)誤，而且最后沒有檢驗(yàn)正解：方程兩邊都乘以（x+ 1） （ x 1 ）, 得 3（ x1） =0, 解這個(gè)方程，得x=4 .檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.七、方程兩邊同除可能為零的整式

13、應(yīng)將多項(xiàng)式用括號(hào)括起來錯(cuò)解在沒有用括號(hào)將【例7】解方程丄2 3x 一2x 4錯(cuò)解：方程兩邊都除以 3x 2,得二 ,x -4 x 3所以x+3=x-4，所以3= 4,即方程無解.錯(cuò)解分析：錯(cuò)解的原因是在沒有強(qiáng)調(diào)(3x-2 )是否等于0的條件下，方程兩邊同除以(3x-2)，結(jié)果導(dǎo)致方程無解.正解：方程兩邊都乘以(x-4) (x+3),得(3x-2) (x+3) = (3x-2) (x-4),所以(3x-2) (x+3) ( 3x-2) ( x-4) =0.即(3x-2) (x+3 x + 4) =0.所以 7 ( 3x-2) =0.解得x=-。32檢驗(yàn)：當(dāng)x=時(shí)，原方程的左邊=右邊=0,3第四節(jié)

14、、思維點(diǎn)撥所以x=-是原方程的解.3求4的值a b【思考與分析】從題目的條件可以得出a、b的值代入要求的分式使得分式有意義即可求出分式值解：由 a2 _3ab 2b2 =0得(a-b) (a-2b) =0.所以 a-b= 0 或 a-2b= 0;當(dāng) a-b= 0 時(shí)，得 a=b MQa -b b-b所以0a +b b +b當(dāng)a-2b= 0時(shí)，得2b -b2b b【例1】 已知a2 _3ab 2b2 =0且a、b都不等于0,a=2b MQb 1。3b 3綜上可得,口的值為0或1。a b3本題是求含字母的分式，利用因式分解，兩個(gè)因式的積為零，則可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)因式中至少有【反思】一個(gè)為零，代入分式來求

15、解，注意前提仍然是分式必須有意義【例2】已知：仝=3，求巧如2y：y2226x 3xy 7 y的值?！舅伎寂c分析】可以靈活運(yùn)用-=3這個(gè)條件要求的分式也可以化成含y-的形式，整體代入即可;y由=3可得yx =3y解法一:.3x24xy 2y26x2 -3xy 7y23 32 -4 3 2176 32 -3 3 752解法二:2x3x3，x =3y，2y6x2-4xy 2y2-3xy 7y2222_3 9y -12y 2y 7 2 2 丄 26 9y 9y 7y_17y252 y21752x【反思】本題在求值過程中利用了分式的基本性質(zhì),并且采用多種方法來利用已知條件一=3使問題簡化y修車裝載著所

16、需材料出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)已知搶修車的速度是摩托車的速度的1.5倍，求這兩種車的速度解題思路一：尋求時(shí)間上的相等關(guān)系建立方程【解法1】：設(shè)摩托車的速度為 x千米/時(shí)，則搶修車的速度為1.5x千米/時(shí)根據(jù)題意得：30 _ 30 _ 151x 60解得x= 40,經(jīng)檢驗(yàn)，x= 40是原方程的根.所以 1.5x = 1.5 >40 = 60答：摩托車的速度為 40千米/時(shí)，搶修車的速度為 60千米/時(shí).解題思路二：尋求速度之間的相等關(guān)系建立方程【解法2】設(shè)摩托車行30千米所用的時(shí)間為x小時(shí)，則搶修車所用的時(shí)間為（x 1 ）小時(shí)，根據(jù) 搶4修車的速度是摩托車速度的1.5倍”得：1工解題思路三：尋求

17、路程之間的相等關(guān)系建立方程【解法3】設(shè)摩托車行30千米所用的時(shí)間為 x小時(shí)，則搶修車行駛 30千米所用的時(shí)間為（x 丄）4小時(shí)，摩托車的速度為 30千米/時(shí)，搶修車的速度為x3030 X1.5千米/時(shí)，根據(jù) 搶修車的速度 >搶修車所用的x時(shí)間=總路程30千米”得：（30 X1.5） （X 扌）=30解題思路四：列方程組解答【解法4】設(shè)摩托車與搶修車每小時(shí)分別行駛x千米、y千米，根據(jù)題意得方程組:30301y x 4y =1.5x（2、3、4解答過程略）【小結(jié)】題中含有多種關(guān)系時(shí)，列方程組可降低思維難度 新的未知數(shù)替換，則都能寫成方程的形式.前面的各種解法中，若把所推出的代數(shù)式用【例5】讀

18、下列一段文字，然后解答問題 已知:方程X 1X1=1的解是 X")= 2, x22方程X -丄x21=2 的解是 x1 =3,x2 ；331 P彳 i方程x-=1丄'的解是2方程X-1x1丄4w1 ' F1 i 、的解是2【探究一】觀察上述方程及其解，再猜想方程1的解，并寫出檢驗(yàn)過程1 m 1011<v解：猜想方程X -丄=1-的解是x 211!_=ioio-丄檢驗(yàn)：當(dāng)x= 11時(shí)，左邊=”11 - ，右邊=，所以左邊=右邊；當(dāng) X = N時(shí)，左-L ,-_L=iOio的解.【探究二】你能猜想方程1XXr -( n為正整數(shù))的解嗎？若能請你驗(yàn)證你的猜想是否合理?解：猜想方程x-丄=1X 2處】(nI為正整數(shù)）的解是 Xi = n + 1, X2= ?l -1檢驗(yàn)：當(dāng)x= n + 1時(shí)，左邊=n+ 1 二Tnnnn時(shí)I ，右邊=，所以左邊=右邊；當(dāng)X =十1時(shí)，左邊=右邊=Xi = n + 1, x2= 1是方程丄X -n斥F(n為正整數(shù))的解- X1= 11 , X2=是方程I %+1所以首先應(yīng)該去掉分母， 只是注意，原來整式方程中分母全是數(shù), X( X 1).【例6】解方程'-【思考與分析】 因?yàn)榉匠讨杏蟹帜?，而分式方程中則是代數(shù)式，因而去分母時(shí)應(yīng)該兩邊同乘一