二面角的平面角求法綜合

1、二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.O復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：(1)(1)定義法定義法直接在二面角的棱上取一直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)）分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的點(diǎn)（特殊點(diǎn)）分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得到平面角垂線，得到平面角. .二面角的求法二面角的求法(2)(2)三垂線法三垂線法利用三垂線定理或利用三垂線定理或逆定理作出平面角，通過(guò)解直角三角逆定理作出平面角，通過(guò)解直角三

2、角形求角的大小形求角的大小. .(3)(3)垂面法垂面法通過(guò)做二面角的棱的通過(guò)做二面角的棱的垂面，兩條交線所成的角即為平面角垂面，兩條交線所成的角即為平面角. .ABDO( (4)4)射影面積法射影面積法若多邊形的面積是若多邊形的面積是S，它在，它在一個(gè)平面上的射影圖形面積是一個(gè)平面上的射影圖形面積是S，則二面角，則二面角 的的大小為大小為COS S SCE2、兩個(gè)平面的法向量的夾角與這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角有怎樣的關(guān)系？探究準(zhǔn)備：探究準(zhǔn)備：答：相等或互補(bǔ)m互補(bǔ)互補(bǔ)相等相等m1、如圖，、如圖，AB是圓的直徑，是圓的直徑，PA垂垂直圓所在的平面，直圓所在的平面，C是圓上任一是圓上任一點(diǎn)，則

3、二面角點(diǎn)，則二面角P-BC-A的平面角為的平面角為:A.ABP B.ACP C.都不是都不是2、已知、已知P為二面角為二面角 內(nèi)一內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)，且P到兩個(gè)半平面的距離都等到兩個(gè)半平面的距離都等于于P到棱的距離的一半，則這個(gè)二到棱的距離的一半，則這個(gè)二面角的度數(shù)是多少？面角的度數(shù)是多少？pABOABCP60二面角例例1.1.如圖，已知如圖，已知P P是是二面角二面角-ABAB-棱上一點(diǎn)，過(guò)棱上一點(diǎn)，過(guò)P P分分別 在別 在 、 內(nèi) 引內(nèi) 引 射 線射 線P MP M 、 P NP N， 且， 且 M P N = 6 0 M P N = 6 0 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面

4、角的度數(shù)。求此二面角的度數(shù)。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一點(diǎn)O，在內(nèi)過(guò)O作OCAB交PM于C，在內(nèi)作ODAB交PN于D，連CD，可得COD是二面角-AB-的平面角設(shè)PO = a ，BPM =BPN = 45CO=a， DO=a， PC a ， PD a22又MPN=60 CD=PC a2COD=90因此，二面角的度數(shù)為因此，二面角的度數(shù)為90aOPC二面角例例2 2如圖如圖P P為二面角為二面角 內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，PA,PBPA,PB,且且PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求這二面角的度數(shù)。求這二面角的度數(shù)。 過(guò)過(guò)PA、PB的平面的平面PAB與與 棱棱 交于交

5、于O點(diǎn)點(diǎn)PA PA PB PB 平面PABAOB為二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得由余弦定理得P= 60 AOB=120 這二面角的度數(shù)為這二面角的度數(shù)為120解：解：ABPO二面角OABPC取取AB 的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為E，連連PE，OEO為為 AC 中點(diǎn)中點(diǎn)， ABC=90OEBC且且 OE BC212221在RtPOE中， OE ，PO 22tanPEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值為的正切值為例例3 3如圖，三棱錐如圖，三棱錐P-ABCP-ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC上的射影上的射影是底面是底面RtRtABCABC

6、斜邊斜邊ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O O，若，若PB=AB=1PB=AB=1，BC= BC= ，求二面角求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。2PEO為二面角為二面角P-AB-C 的平面角的平面角23在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE21OEAB ，因此因此 PEABE解：解：EOP二面角練習(xí)練習(xí)1 1：已知已知RtRtABCABC在平面在平面 內(nèi)，斜邊內(nèi)，斜邊ABAB在在3030的二的二面角面角-AB-AB-的棱的棱上，若上，若AC=5AC=5，BC=12BC=12，求點(diǎn)求點(diǎn)C C到平到平面面的距離的距離CO。ACBOD練習(xí)練習(xí)2 2：在平面四邊形：在平面四邊形ABCDABCD

7、中，中，AB=BC=2AB=BC=2，AD=CD= , B=120AD=CD= , B=120；將三角形將三角形ABCABC沿四邊形沿四邊形ABCDABCD的對(duì)角線的對(duì)角線ACAC折起來(lái)，使折起來(lái)，使DB= DB= ，求求AB CAB C所所在平面與在平面與ADCADC所在平面所成二面角的平面角的度數(shù)。所在平面所成二面角的平面角的度數(shù)。157ABCBDO二面角2探究一：試一試：例1、如圖：在三棱錐S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分別交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC= a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD分析分析：1、根據(jù)已知條件提

8、供的數(shù)量關(guān)系通過(guò)計(jì)算證明有關(guān)線線垂直；2、利用已得的垂直關(guān)系找出二面角的平面角。解：如圖： SA 平面ABC, SAAB，SAAC，SA BD;于是SB= = a又BC= a ， SB=BC; E為SC的中點(diǎn)，BESC 又DESC 故SC平面BDE可得BDSC 又BDSA BD平面SAC CDE為平面BDE和平面BDC所成 二面角的平面角。 ABBC，AC= = = a 在直角三角形SAC中，tanSCA= = SCA=300 ， CDE=900-SCA=600 解畢。22ABSA2222BCAB 222aa 3ACSA33議一議：剛才的證明過(guò)程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？ 請(qǐng)各小組

9、討論交流一下。SECABD探究二：試一試?yán)喝鐖D：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F為棱AA1的中點(diǎn)。 求：平面BFD1與平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF要求要求：1、各人思考；2、小組討論； 3、小組交流展示；4、總結(jié)。A1D1C1CB1BDAPF如圖：延長(zhǎng)D1F交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PB，則直線PB就是平面BFD1與平面ABCD的交線。 F是AA1的中點(diǎn)，可得A也是PD的中點(diǎn)，AP=AB, 又 DAB=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD, 故DBA=600, P=ABP=300, DBP=

10、900,即PBDB； 又因?yàn)槭侵崩庵珼D1 PB, PB面DD1B, 故 DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。 顯然BD=AD=DD1, DBD1=450。即為所求. 解畢。解法一：解法一：A1D1C1B1FADCBPE解法二：解法二：如圖：延長(zhǎng)D1F交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PB，則直線PB就是平面BFD1與平面ABCD的交線； 因?yàn)槭侵崩庵?，所以AA1 底面ABCD,過(guò)A做AEPB,垂足為E,連接EF,由三垂線定理可知，EFPB, AEF即為二面角D1-PB-D的平面角； 同解法一可知，等腰APB, P=300， RtAPB中，可求得AE= 1 ，（設(shè)四棱柱的棱長(zhǎng)為2）又AF= 1

11、, AEF=450，即為所求。思考思考：這種解法同解法一有什么異同？解法三：解法三：法向量法：建系如圖：設(shè)這個(gè)四棱柱各棱長(zhǎng)均為2.則D(0，0，0） D1（0，0，2） B（1， ，0） F（-1， ，1） =（-2，0 ，1） =（1， ，-2）顯然， 就是平面ABCD的法向量，再設(shè)平面BDD1的一個(gè)法向量為向量 =(x0,y0,z0)。則 且 2x0+ 0y0-z0=0且x0+ y0-2z0=0令x0=1可得z0= 2 , y0= ,即 =（ 1， ，2）設(shè)所求二面角的平面角為，則COS = ,所以所求二面角大小為450解畢A1D1C1B1ABCDxyz3333F11DDuDDu221DD

12、BFBD1uuFBuBD1u33解法四：解法四：A1D1C1B1FCBDA如圖：由題意可知，這是一個(gè)直四棱柱 ， BFD1在底面上的射影三角形就是ABD,故由射影面積關(guān)系可得COS= ABDB1 （是所求二面角的平面角）以下求面積略。點(diǎn)評(píng)：這種解法叫做“射影面積法” 在選擇和填空題中有時(shí)候用起來(lái)會(huì)很好1111111,.ABCDABC DBACB例1、如圖 在正方體中 求二面角 的平面角的正切值1D1C1B1ADCBAE111:,ACEB E BE解 取的中點(diǎn) ，連接1111111111111,ABBCB EACBEACB EBBACB同理為二面角的平面角11111111111tan2arcta

13、n2BBBBACBBB EB EBB EBACB面二面角的平面角為第一步:作第二步:證(指出)第三步:求注:定義法求二面角.00260 ,30 ,10?(0.1)CDABm例 、河堤斜面與水平面所成的二面角為堤面上有一條直道它與堤腳的水平線的夾角為沿這條直道從堤腳向上行走時(shí)人升高了多少精確到米CFDGEB0300000:,10 ,.,.,.,60 .13sin60sin30 sin60102.5 34.3( ).22:CDECEmEABEGGEGEFABFFGFGABEFGABGEFGEGEFCEm解 取上一點(diǎn)設(shè)過(guò)點(diǎn) 作直線所在的水平面的垂線垂足為則線段的長(zhǎng)就是所求的高度在河堤斜面內(nèi) 作垂足為

14、并連結(jié)由三垂線定理的逆定理 可知因此就是河堤斜面與水平面所成的二面角的平面角由此得答 沿直道行走104.3 .mm到時(shí)人升高約 三垂線法三垂線法003,45 ,30 ,.AMNMNAPAPMNPAMMN例 、如圖 點(diǎn) 在銳二面角的棱上 在面 內(nèi)引射線使與所成的角與面 所成的角大小為求二面角的大小:,;,;.,.PCMNCPBBCACPCBMN解 作垂足為過(guò)點(diǎn) 作 的垂線交 于連結(jié)、由三垂線定理可知即為二面角的平面角NMAPCB2232,2221,222.4PAaABa ACaaPBPCa BCABACaPCB設(shè)則 三垂線法三垂線法:9.6.2.:ACCD類型題 學(xué)案閱讀要求與檢測(cè)提示 證明BA

15、CDP4,例 、自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向這個(gè)二面角的兩個(gè)面引垂線求證它們所成的角與這個(gè)二面角的平面角互補(bǔ).aONMP:,OMNOM ONOMNPPM PN證明 過(guò)點(diǎn) 作面 和面 的垂線垂足分別為、設(shè)所確定的平面交棱于點(diǎn)連結(jié)00.90 ,180 .OMOMaaONaMONOMONaMPNOMPONPMPNMON 同理面即為二面角的平面角又則點(diǎn)點(diǎn)O在二面角內(nèi)在二面角內(nèi)垂面法垂面法0120,10,.PaPPa變式： 為的二面角內(nèi)一點(diǎn)到 和 的距離均為 求 到棱 的距離aPNMO():20 3:2sin3OPPMNMNPMNROPMPN另解 正弦定理法為四邊形外接圓直徑也即外接圓直徑在中由正弦定理得ABE

16、SCD5,.SAABC ABBC SAAB SBBC ESCDESCACDEBDC例 、已知平面是的中點(diǎn)交于求二面角的大小SCDB: ESCBESCSCBDEDESCDBBDE解為中點(diǎn)面面00,2 ,2 ,3060 . EDCEBDCSAABaSBBCa BCAB ABSBABCBCSCaSCADESCEDC由二面角的定義知即為二面角的大小設(shè)則為在面內(nèi)的射影,則SC又 SAABCDBSADBABC又面面,DBSACDBAC DBDE面SCSAS111111(1):1,256,3,2463cos,sin33ABDMDBABDMDBSMDBMDDBDBSSSSS射原法 解 設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 則在中由

17、可得利用射影面積公式ABCDA1B1C1D1M1111116,.ABCDABC D MAAMDBABCD例 、已知正方體是的中點(diǎn) 求平面與底面所成銳二面角平面角的正弦值A(chǔ)BCDA1B1C1D1MEN11111(2):,.,.,.1231,2223sin.3MBABEDEDMDB DABCDEMBMDBEABABCDMDBABCDDEAANDEDENMNMAABCDMNDEMNAMAANMNMAMNAMN法解 延長(zhǎng)、交于點(diǎn)連結(jié)面面且面面面面過(guò)點(diǎn) 作交于連結(jié)面根據(jù)三垂線定理即為兩平面夾角設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 則M例例1.（06年江西卷）如圖，在三棱錐年江西卷）如圖，在三棱錐ABCD中，中，側(cè)面?zhèn)让鍭BD

18、、ACD是全等的直角三角形，是全等的直角三角形，AD是公是公共的斜邊，且共的斜邊，且AD，BDCD1，另一個(gè)，另一個(gè)側(cè)面是正三角形，求二面角側(cè)面是正三角形，求二面角BACD的大小的大小.ABCD33N222MADNBMN2,MACMN/CD61113,.222226cos,236arccos.3BMACMNACBACDABACBCBMMNCDBNADBMMNBNBMNBM MNBMN作于，作交于 ，則就是二面角的平面角由是的中點(diǎn)，且得由余弦定理得：則解 PEDACBD1A1C1B1F例例2.正方體正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為1，P是是AD的中點(diǎn)的中點(diǎn),求二面角求二面角ABD1

19、P的大小的大小.例例3、(高考題高考題)ABC中，中，ABBC，SA 平面平面ABC，DE垂直平分垂直平分SC，又又SAAB，SBBC,（1）求證：）求證：SC 平面平面BDE, （2）求二面角求二面角EBDC的大小的大小?SABCED0001SBBCESCBESCDESCSCBDESCBDEBDSCSAABCBDSABDSACCDEEBDCABBCABaBC= 2aAC3aSAa3Rt SACtan SCA=AC33aSCA=30CDE=90SCA60（ ）因?yàn)椋?為的中點(diǎn)，所以，又因此平面（2）由平面，得又由平面，得則平面因此為二面角 的平面角由， ，得在中，則，則解：SABCEDABDC

20、A1B1D1C1在在正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，中，求二面角求二面角D1ACD的大?。康拇笮?？Oarctan 2答案：總一總總一總：求二面角的方法你都學(xué)會(huì)了哪些？每一種方法在使用上要注意什么問(wèn)題？請(qǐng)同學(xué)們先自己思考，然后小組內(nèi)交流學(xué)習(xí)一下。二面角的幾種主要常用的求法：1 1、垂面法、垂面法。見(jiàn)例一和例二的解法一；2 2、三垂線法。、三垂線法。見(jiàn)例二的解法二；見(jiàn)例二的解法二；3 3、射影面積法。、射影面積法。見(jiàn)例二的解法三；4 4、法向量夾角法。、法向量夾角法。見(jiàn)例二的解法四。 其中垂面法和三垂線法也是直接找平面角的方法 ，也稱為 直接法；射影面積法和法向量法是沒(méi)有找出平面角而求之的方法，也稱之為 間接法。 這幾種方法是現(xiàn)在求二面角的常用的方法，在高考中經(jīng)常被考查；尤其是向量法，更有著廣泛的被考查性，在應(yīng)用的時(shí)候主要注意以下兩點(diǎn)：1、合理建系合理建系。本著“左右對(duì)稱左右對(duì)稱 就地取就地取材材”的建系原則。2、視圖取角視圖取角。由于法向量的取定有人為的因素，