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1、Unit 9 數(shù)字信號(hào)和信號(hào)處理Unit 9-1第一部分:數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理(DSP)是研究數(shù)字表示的信號(hào)以及這些信號(hào)的處理方法。數(shù)字信號(hào)處理和模擬信號(hào)處理是信號(hào)處理的子領(lǐng)域。數(shù)字信號(hào)處理包括音頻及語(yǔ)音信號(hào)處理、聲納和雷達(dá)信號(hào)處理、傳感器陣列處理、譜估計(jì)、統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理、圖像處理、通信信號(hào)處理、生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理等子領(lǐng)域。數(shù)字信號(hào)處理的目標(biāo)通常是測(cè)量連續(xù)的真實(shí)世界的模擬信號(hào)或?qū)ζ錇V波,因此,第一步常常是使用模數(shù)轉(zhuǎn)換器將信號(hào)從模擬形式轉(zhuǎn)換成數(shù)字形式。通常,要求的輸出信號(hào)為另一個(gè)模擬輸出信號(hào),這就需要數(shù)模轉(zhuǎn)換器。數(shù)字信號(hào)處理的算法有時(shí)通過(guò)使用專用計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn),它們(專用計(jì)算機(jī))利用被稱為數(shù)字信號(hào)

2、處理器的專用微處理器(簡(jiǎn)稱DSP)。這些數(shù)字信號(hào)處理器實(shí)時(shí)處理信號(hào),通常是針對(duì)具體目的而設(shè)計(jì)的專用集成電路(ASIC)。當(dāng)靈活性和快速開(kāi)發(fā)比大批量生產(chǎn)的成本更重要時(shí),DSP算法也可以用現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列來(lái)實(shí)現(xiàn)。數(shù)字信號(hào)處理域在數(shù)字信號(hào)處理中,工程師通常在下面幾個(gè)域的一個(gè)域中來(lái)研究數(shù)字信號(hào):時(shí)域(一維信號(hào)),空域(多維信號(hào)),頻域,自相關(guān)域以及小波域。他們按照某些依據(jù)來(lái)猜測(cè)(或試驗(yàn)不同的可能性)那一個(gè)域能夠最好地表示信號(hào)的本質(zhì)特性來(lái)選擇在其中進(jìn)行信號(hào)處理的域。從測(cè)量設(shè)備得到的樣本序列產(chǎn)生(信號(hào)的)時(shí)域或空域表示,而離散Fourier變換則產(chǎn)生頻域表示即頻譜。自相關(guān)定義為信號(hào)與其自身經(jīng)過(guò)時(shí)間或空間間

3、隔變化后的互相關(guān)。信號(hào)采樣隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用的增長(zhǎng),數(shù)字信號(hào)處理的使用和需求日益增多。為了能夠在計(jì)算機(jī)上使用模擬信號(hào),必須使用模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)對(duì)其進(jìn)行數(shù)字化。采樣通常分兩步實(shí)現(xiàn):離散化和量化。在離散化階段,信號(hào)空間被分割為相等的區(qū)間,用相應(yīng)區(qū)間的代表性信號(hào)值代替信號(hào)本身。在量化階段,用有限集中的值來(lái)近似代表性的信號(hào)值。為了能夠正確地重建被采樣的模擬信號(hào),必須滿足奈奎斯特-香農(nóng)采樣定理。定理規(guī)定:采樣頻率必須大于兩倍的信號(hào)帶寬。實(shí)際應(yīng)用中,采樣頻率通常遠(yuǎn)大于信號(hào)帶寬的兩倍。最常用的帶寬是:DCBW(基帶);以及fc±BW,即以載波頻率為中心的頻帶(直接調(diào)制)。數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)用來(lái)將

4、數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換回模擬信號(hào)。數(shù)字計(jì)算機(jī)的使用是數(shù)字控制系統(tǒng)的關(guān)鍵因素。時(shí)域和空域時(shí)域和空域中最普通的處理方法是用一種叫做濾波的方法增強(qiáng)輸入信號(hào)。濾波通常由在輸入或輸出信號(hào)當(dāng)前樣本周圍的許多樣本的某種變換組成。有很多表示濾波器特性的方法,例如:l “線性”濾波器是對(duì)輸入樣本的線性變換;其他的濾波器為非線性的。線性濾波器滿足疊加條件,就是說(shuō),如果輸入是不同信號(hào)的加權(quán)線性組合,輸出就是(各信號(hào))相應(yīng)輸出的同樣加權(quán)線性組合。l “因果”濾波器僅使用以前的輸入或輸出樣本,而“非因果”濾波使用將來(lái)的輸入樣本。通?!胺且蚬睘V波器可以加延遲使其成為“因果”濾波器。l “時(shí)不變”濾波器對(duì)時(shí)間具有不變的性質(zhì),諸如自

5、適應(yīng)濾波器等其它濾波器隨時(shí)間而改變。l 有些濾波器是“穩(wěn)定的”,其它的是“不穩(wěn)定的”。穩(wěn)定的濾波器產(chǎn)生的輸出信號(hào)隨時(shí)間收斂于一個(gè)不變的值,或在有限的時(shí)間間隔內(nèi)保持有界。不穩(wěn)定濾波器的輸出是發(fā)散的。l “有限脈沖響應(yīng)”(FIR)濾波器僅使用輸入信號(hào),而“無(wú)限脈沖響應(yīng)”(IIR)濾波器同時(shí)使用輸入信號(hào)和以前的輸出信號(hào)樣本。FIR濾波器總是穩(wěn)定的,而IIR濾波器可能是不穩(wěn)定的。l 多數(shù)的濾波器可以通過(guò)傳輸函數(shù)在Z域(頻域的擴(kuò)展集)中描述。濾波器也可以用差分方程或一組零極點(diǎn)表示,對(duì)于FIR濾波器還可以用沖擊響應(yīng)或階躍響應(yīng)表示。對(duì)于任何給定輸入,F(xiàn)IR濾波器的輸出可以通過(guò)輸入信號(hào)和沖擊響應(yīng)的卷積來(lái)計(jì)算。

6、濾波器還可以用結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示,它能用來(lái)推導(dǎo)樣本處理算法,以便使用硬件指令實(shí)現(xiàn)濾波器。頻域信號(hào)常常通過(guò)Fourier變換從時(shí)域或空域變換到頻域。Fourier變換將信號(hào)信息變換成每個(gè)頻率的幅度和相位成分。Fourier變換常常被變換成功率譜,它是每個(gè)頻率分量平方的幅度。用頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分析的最一般的目的是分析信號(hào)的特性。工程師可以研究頻譜來(lái)得到輸入信號(hào)中有哪些頻率信息,而哪些頻率是沒(méi)有的。有一些常用的頻域變換。例如倒譜用Fourier變換將信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域,取對(duì)數(shù),然后再作第二次Fourier變換。這就強(qiáng)調(diào)了幅度較小的頻率成分同時(shí)保持了頻率分量的數(shù)量級(jí)。應(yīng)用數(shù)字信號(hào)處理的主要應(yīng)用是音頻信號(hào)處理,音頻

7、壓縮,數(shù)字圖像處理,視頻壓縮,語(yǔ)音處理,語(yǔ)音識(shí)別,數(shù)字通信,雷達(dá),聲納,地震學(xué)和生物醫(yī)學(xué)。具體的例子有數(shù)字移動(dòng)電話的語(yǔ)音壓縮和傳輸,高保真音樂(lè)的空間匹配均衡和語(yǔ)音加強(qiáng)應(yīng)用,天氣預(yù)報(bào),經(jīng)濟(jì)測(cè)報(bào),地震數(shù)據(jù)處理,工業(yè)過(guò)程的分析控制,電影中的計(jì)算機(jī)動(dòng)畫制作,醫(yī)學(xué)成像如計(jì)算機(jī)斷層掃描和磁共振成像,圖像處理,高保真揚(yáng)聲器分頻和均衡,以及電吉他擴(kuò)音器所使用的音效。實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理通常使用專用的微處理器來(lái)實(shí)現(xiàn),如MC56000和TMS320。它們通常使用定點(diǎn)算法處理數(shù)據(jù),盡管也有一些使用浮點(diǎn)算法,運(yùn)算能力更強(qiáng)大。比較高速的應(yīng)用可選用FPGA來(lái)實(shí)現(xiàn)。從2007年開(kāi)始,已經(jīng)開(kāi)始出現(xiàn)DSP的多核實(shí)現(xiàn)。對(duì)于使用量大的

8、高速應(yīng)用,可以專門設(shè)計(jì)ASIC。對(duì)于低速應(yīng)用,速度較慢的傳統(tǒng)處理器如微控制器就能處理。Unit 9-2第二部分:數(shù)字信號(hào)處理的基本概念數(shù)字計(jì)算機(jī)和用來(lái)實(shí)現(xiàn)各種信號(hào)處理功能的專用數(shù)字電路的應(yīng)用需求非常大,這些功能過(guò)去都是使用模擬設(shè)備來(lái)實(shí)現(xiàn)。便宜的集成電路的不斷發(fā)展產(chǎn)生了許多微計(jì)算機(jī)和小型計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)各種信號(hào)處理功能?,F(xiàn)在有可能在比以往全模擬系統(tǒng)小得多,而且成本也低得多的限制下構(gòu)成專用數(shù)字處理器。我們將討論數(shù)字信號(hào)處理的基本概念,為此,適當(dāng)?shù)赜懻撘恍┏S眯g(shù)語(yǔ)和假設(shè)??赡苤?,定義和術(shù)語(yǔ)將依照IEEE音頻和電聲小組的推薦。模擬信號(hào)是定義在連續(xù)時(shí)間上的函數(shù),其幅度取值是連續(xù)的。一些通常的例子有正弦函數(shù)

9、,階躍函數(shù),麥克風(fēng)輸出信號(hào)等等?!澳M”這一術(shù)語(yǔ)顯然是來(lái)自于模擬計(jì)算領(lǐng)域,其中電壓和電流用來(lái)作為物理變量,但它的用處已經(jīng)擴(kuò)展了。連續(xù)時(shí)間信號(hào)是定義在連續(xù)時(shí)間上的函數(shù),但是它的幅度可能是連續(xù)值也可以是有限的可能值。本文中,我們將模擬信號(hào)看成是連續(xù)時(shí)間信號(hào)的一個(gè)特例。然而實(shí)際應(yīng)用中,“模擬”和“連續(xù)時(shí)間”這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)可以隨意互換使用,通常表示同一個(gè)意思。由于“模擬”一詞與物理類比的關(guān)聯(lián),已經(jīng)確立了優(yōu)先使用“連續(xù)時(shí)間”這一術(shù)語(yǔ)。不過(guò)有時(shí)為了清楚起見(jiàn)也用“模擬”一詞,特別是與“數(shù)字”相聯(lián)系時(shí)。術(shù)語(yǔ)“量化”描述了用一組離散值來(lái)表示變量的過(guò)程。經(jīng)量化的變量只能取離散值。離散時(shí)間信號(hào)是定義在某些特定時(shí)間值上的

10、函數(shù)。這意味著獨(dú)立變量時(shí)間被量化了。如果離散時(shí)間信號(hào)的幅度可以取連續(xù)值,那么函數(shù)稱作采樣數(shù)據(jù)信號(hào)。采樣數(shù)據(jù)信號(hào)可以在離散時(shí)間值上對(duì)模擬信號(hào)采樣得到。數(shù)字信號(hào)是時(shí)間和幅度都被量化的函數(shù)。數(shù)字信號(hào)總是使用一系列數(shù)來(lái)表示,其中每個(gè)數(shù)用有限個(gè)數(shù)字表示。“離散時(shí)間”和“數(shù)字”這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)在實(shí)際中經(jīng)?;Q,表示同一個(gè)意思。許多基于離散時(shí)間信號(hào)的定理適用于純數(shù)字信號(hào),因此沒(méi)有必要總是對(duì)兩者作嚴(yán)格的區(qū)分。理論發(fā)明更多地用到“離散時(shí)間”這一術(shù)語(yǔ)。而“數(shù)字”這一術(shù)語(yǔ)則更多地用來(lái)描述軟硬件的實(shí)現(xiàn)。根據(jù)使用的硬件或軟件的類型和當(dāng)前信號(hào)的類型,一個(gè)系統(tǒng)可以用任意的前述術(shù)語(yǔ)來(lái)描述??蓞⒖寄M系統(tǒng),連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),離散系統(tǒng),數(shù)

11、字系統(tǒng)等。線性系統(tǒng)可使用疊加原理。線性系統(tǒng)可以用線性的微分或差分方程來(lái)描述。線性時(shí)不變系統(tǒng)就是參數(shù)是不變的,不會(huì)隨時(shí)間變化而變化的系統(tǒng)。集總系統(tǒng)是由有限非零元素構(gòu)成,滿足常微分(或差分)方程的系統(tǒng),與滿足偏微分方程的分布式系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)。數(shù)字信號(hào)的數(shù)字處理的標(biāo)準(zhǔn)形式是二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)。二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)僅使用0和1來(lái)表示所有的可能值。m值可用n位二進(jìn)制數(shù)字來(lái)表示,m= 2n。反過(guò)來(lái),如果m是要求的等級(jí)數(shù),所需的比特?cái)?shù)是大于等于log2 m的最小整數(shù)。實(shí)現(xiàn)數(shù)字處理的過(guò)程將用一個(gè)簡(jiǎn)化系統(tǒng)來(lái)說(shuō)明,假定信號(hào)在0V到7V之間變化,以1V為增量,用8種可能的值表示成二進(jìn)制數(shù)。圖9-1顯示了方框圖,圖9-2畫出了我們

12、所感興趣的一些波形。首先,信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間的預(yù)采樣濾波器,稍后我們將討論它的函數(shù)。然后信號(hào)以T秒為間隔由采樣器讀入。接著這些樣本必須量化為一種標(biāo)準(zhǔn)電平。盡管量化過(guò)程有不同的策略,我們?cè)谶@里所用的是一種常用的方法,采樣值取最接近的電平。于是,采樣值為4.2v被量化成4v,而采樣值為4.6v則被量化成5v。圖9.2說(shuō)明了對(duì)于給定信號(hào)的處理過(guò)程。令表示信號(hào)的脈沖變得很窄來(lái)說(shuō)明在空的間隔可以插入或復(fù)合其它信號(hào)。這些脈沖被表示成二進(jìn)制數(shù)字。為了使這些數(shù)字可以從圖中看到,將每組都顯示在給定間隔的空檔處。實(shí)際應(yīng)用中,如果要插入其它信號(hào),用來(lái)表示二進(jìn)制數(shù)的比特?cái)?shù)的脈沖可以很短。一個(gè)給定的二進(jìn)制數(shù)就可以在采樣周

13、期開(kāi)始的很短間隔內(nèi)讀到,這樣就給其它信號(hào)留出了大部分的可用時(shí)間。模擬樣本被量化并轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的這一過(guò)程稱作模數(shù)轉(zhuǎn)換。通常,信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍要和所用的A/D轉(zhuǎn)換器相一致,為了達(dá)到所要求的精確度,要使用足夠的比特?cái)?shù)。現(xiàn)在信號(hào)可以根據(jù)適合所要應(yīng)用的單元類型來(lái)處理。這個(gè)單元可以是通用計(jì)算機(jī)或小型計(jì)算機(jī),也可以是為專門用途而設(shè)計(jì)的專用單元。無(wú)論如何,它們都是由可以完成加減乘等各種算術(shù)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字電路組成的。此外,還有邏輯和存儲(chǔ)能力。在處理器的輸出端,數(shù)字信號(hào)可以再轉(zhuǎn)換回模擬形式。這通過(guò)數(shù)模轉(zhuǎn)換過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)。在這個(gè)步驟中,首先要將二進(jìn)制數(shù)字接連地轉(zhuǎn)換回連續(xù)時(shí)間脈沖。脈沖間的空隙由重建濾波器填充。此濾波器由

14、保持電路組成,它是專門設(shè)計(jì)用來(lái)保持連續(xù)采樣值之間的脈沖值的電路。在某些情況下,可設(shè)計(jì)保持電路,將輸出信號(hào)在連續(xù)樣點(diǎn)之間按照設(shè)定的曲線擬合方法進(jìn)行內(nèi)插。除了保持電路,使用基本的連續(xù)時(shí)間濾波器在采樣點(diǎn)之間進(jìn)行額外的平滑處理。一個(gè)可能出現(xiàn)的基本問(wèn)題是,在這個(gè)過(guò)程中會(huì)不會(huì)造成一些信息的丟失。畢竟,信號(hào)僅僅在離散的時(shí)間間隔處被采樣。在介于時(shí)間間隔內(nèi)是否有一些信息丟失了呢?而且,在量化的過(guò)程中,真實(shí)的幅度值被最接近的標(biāo)準(zhǔn)電平所代替,這就意味著幅度中可能存在著誤差。關(guān)于采樣的問(wèn)題,我們將表明,如果信號(hào)帶寬有限,并且采樣率大于等于最高頻率的兩倍,理論上信號(hào)就能從離散的樣本恢復(fù)。這相當(dāng)于在最高頻率上,每周期有兩

15、個(gè)樣本的最少值。實(shí)際應(yīng)用中,為了能夠保證可實(shí)現(xiàn)性,采樣率往往選擇比最低頻率更高一點(diǎn)(比如說(shuō),三倍或四倍的最高頻率)。例如,模擬信號(hào)的最高頻率是5kHz,理論上最小采樣率為每秒10000個(gè)采樣值,而實(shí)際系統(tǒng)中會(huì)采用更高一些的頻率。常將輸入的連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過(guò)一個(gè)低通模擬預(yù)采樣濾波器,以確保最高頻率落在信號(hào)能夠完全恢復(fù)的界限之內(nèi)。如果信號(hào)沒(méi)有以足夠快的速率采樣,就會(huì)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象?;殳B會(huì)導(dǎo)致在恢復(fù)時(shí)一個(gè)頻率被誤作為完全不同的頻率。例如,假設(shè)頻率為直流到5kHz的信號(hào),以6kHz進(jìn)行采樣,顯然這太低了不能確保信號(hào)的恢復(fù)。如果進(jìn)行恢復(fù),原始信號(hào)中5kHz的分量將出現(xiàn)在1kHz,產(chǎn)生錯(cuò)誤的信號(hào)。一個(gè)普通例子

16、就是我們稱之為“車輪效應(yīng)”的現(xiàn)象,就是讀者在西部電影中也許注意到的車輪看起來(lái)向后轉(zhuǎn)動(dòng)的情況。因?yàn)橛捌拿恳粠喈?dāng)于一次離散的采樣,如果相對(duì)于電影幀頻而言輪輻越過(guò)的給定角度過(guò)大,輪子看起來(lái)就會(huì)向后轉(zhuǎn)動(dòng)或以很慢的速度轉(zhuǎn)動(dòng)。采樣前預(yù)濾波消除了這種對(duì)系統(tǒng)而言頻率過(guò)高的偽信號(hào)被錯(cuò)誤地當(dāng)作適當(dāng)頻率范圍內(nèi)的另一信號(hào)的可能性。關(guān)于量化誤差,可以看到如果使用任意多的比特?cái)?shù),可使誤差任意小。當(dāng)然,由于實(shí)際的最大限制,有必要允許這一現(xiàn)象所產(chǎn)生的某些誤差。即使是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),也可能會(huì)有噪聲出現(xiàn),在實(shí)際幅度值上引入不確定。實(shí)際上,數(shù)字采樣過(guò)程中產(chǎn)生的不確定稱為量化噪聲。令Emax 和 Emin,分別表示信號(hào)的最大和最小

17、值,q表示連續(xù)量化電平的垂直距離。n,m如上文中定義,于是得到:(9-2)假設(shè)兩個(gè)連續(xù)量化電平之間的樣本賦以最近的量化電平。峰值量化噪聲以及峰值百分比量化噪聲的值為:(9-3)(9-4)在許多情況下,量化噪聲的方差比最大值更為重要。方差和與噪聲有關(guān)的平均功率成正比。如果信號(hào)假定為在量化電平間均勻分布,統(tǒng)計(jì)分析顯示噪聲方差s2為(9-5)噪聲分量的均方根(或標(biāo)準(zhǔn)偏差)為:(9-6)比較式(9-6)和 (9-3),可以看到RMS噪聲分量是峰值噪聲分量的。鑒于前面的討論,如果采樣速率足夠高的話,采樣操作就不會(huì)造成信息丟失,并且通過(guò)選擇足夠的比特?cái)?shù)來(lái)表示每個(gè)二進(jìn)制數(shù)可以將量化誤差降低到小到可以忽略不計(jì)

18、的程度。這些概念讓我們可以用一系列的離散二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào),可以直接用數(shù)字電路來(lái)處理。包括A/D轉(zhuǎn)換,處理和最后的D/A轉(zhuǎn)換在內(nèi)的這些過(guò)程,看似花了很多努力為了處理一個(gè)信道。確實(shí),在許多情況下,如此復(fù)雜的過(guò)程對(duì)單一信道從經(jīng)濟(jì)角度來(lái)說(shuō)是不可行的。數(shù)字概念的一個(gè)很大優(yōu)勢(shì)就是可以用同一個(gè)算術(shù)單元處理許多信道。這可以通過(guò)一種被稱為時(shí)分復(fù)用(TDM)的過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)。在圖9.2中顯示的采樣信號(hào)中可以看到,在信號(hào)連續(xù)的樣本之間有一段比較長(zhǎng)的周期。在這段周期內(nèi),另外信號(hào)的樣本被送入處理器。圖9.3解釋了這個(gè)概念。以一種連續(xù)的順序讀每個(gè)信道,相應(yīng)的值以同樣的順序被轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。這些數(shù)輸入處理單元,經(jīng)過(guò)適

19、當(dāng)?shù)奶幚碇笠赃m當(dāng)?shù)捻樞蛟谳敵龆溯敵?。這種復(fù)合的數(shù)字信號(hào)必須先用與輸入采樣信號(hào)同步的多路信號(hào)分離器將其分離成原始的不同信道。為了輸出要求,信道隨后進(jìn)行D/A變換。在前面的討論中,我們假定系統(tǒng)的起始和結(jié)束信號(hào)都是連續(xù)時(shí)間形式的。實(shí)際上,在許多系統(tǒng)中,其中之一或兩者都已經(jīng)是數(shù)字形式的了。在這些情況下,可以不用到A/D轉(zhuǎn)換器和/或D/A轉(zhuǎn)換器,這樣就簡(jiǎn)化了系統(tǒng)。例如,假設(shè)許多連續(xù)時(shí)間遙測(cè)信號(hào)需要由數(shù)字單元處理,但是輸出數(shù)據(jù)需要以數(shù)字形式保存,用以進(jìn)行科學(xué)數(shù)據(jù)壓縮和計(jì)算。在這種情況下,輸入端需要A/D單元,但在輸出端不需要轉(zhuǎn)換器。Unit 11 數(shù)字圖像處理Unit 11-1第一部分:二維數(shù)字圖像圖像

20、是表示一些物理參數(shù)空間分布的二維信號(hào),典型的物理參數(shù)是光強(qiáng),而更普通的是能量的任一種形式。例如,運(yùn)動(dòng)圖像以及多光譜的遙感圖像是三維或者是更高維的信號(hào)。現(xiàn)代數(shù)字技術(shù)使得處理多維信號(hào)成為可能,所使用的系統(tǒng)可從簡(jiǎn)單的數(shù)字電路到先進(jìn)的并行計(jì)算機(jī)。這種處理的目的可以分為3類:- 圖像處理:輸入圖像®輸出圖像- 圖像分析:輸入圖像®輸出測(cè)量數(shù)據(jù)- 圖像理解:輸入圖像®輸出高層次的圖像描述我們將介紹的重點(diǎn)集中在圖像處理的基本概念上。篇幅所限,我們只能對(duì)圖像分析以及圖像理解進(jìn)行一些介紹性的說(shuō)明。另外我們將限于討論二維圖像處理,盡管將要描述的大部分概念和方法很容易擴(kuò)展到三維或更高的

21、維數(shù)。我們從一些基本定義開(kāi)始。在“真實(shí)世界”中定義的一幅圖像可以看成是兩個(gè)實(shí)變量的函數(shù),例如:以a作為在實(shí)坐標(biāo)位置(x, y)處幅度(亮度)的圖像a(x, y)。一幅圖像可以看成是包含許多子圖像,這些子圖有時(shí)稱之為感興趣區(qū)域,ROI,或者僅僅是圖像中的區(qū)域。這一概念表明圖像通常包含許多對(duì)象,每一個(gè)對(duì)象可以是一個(gè)區(qū)域的主要部分。在一個(gè)復(fù)雜的圖像處理系統(tǒng)中,應(yīng)該能對(duì)于選擇的區(qū)域進(jìn)行特定的圖像處理運(yùn)算。于是圖像的一部分可以進(jìn)行抑制運(yùn)動(dòng)模糊的處理,而另一部分可以作改進(jìn)色彩渲染的處理。一幅給定圖像的幅度幾乎總是要么是實(shí)數(shù),要么是整數(shù)。后者通常是量化的結(jié)果,將一個(gè)連續(xù)的范圍如0到100%轉(zhuǎn)換為離散的(灰度

22、)級(jí)。然而,在某些圖像形成過(guò)程中,信號(hào)可能涉及到光子計(jì)數(shù),這意味著幅度本來(lái)是量化的。其它的圖像形成過(guò)程,如磁共振成像,直接的物理測(cè)量會(huì)產(chǎn)生一個(gè)復(fù)數(shù),具有實(shí)的幅度和實(shí)的相位。除非另有說(shuō)明,我們認(rèn)為幅度是實(shí)數(shù)或者是整數(shù)。一幅二維離散空間中的數(shù)字圖像am, n是由二維連續(xù)空間中的模擬圖像a(x, y)通過(guò)采樣得到的。采樣過(guò)程常稱為數(shù)字化。對(duì)采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)表示將在稍后介紹。現(xiàn)在,我們來(lái)看一些和數(shù)字圖像有關(guān)的基本定義。圖11.1顯示了數(shù)字化的效果。2維連續(xù)圖像a(x, y)被劃分成N行M列。一行一列的交叉點(diǎn)被叫做一個(gè)像素。整數(shù)坐標(biāo)m, n被賦予的值是am, n,其中:m = 0, 1, 2, . , M

23、-1 ,n = 0, 1, 2, . , N-1。實(shí)際上,大多數(shù)情況下,我們認(rèn)為是射到二維傳感器表面的物理信號(hào)a(x, y)實(shí)際上是許多變量的函數(shù),包括深度、顏色、時(shí)間。除非另作說(shuō)明,本文我們考慮的是2維的,單色的靜止的圖像情況。圖11.1的圖像被劃分成了N = 16 行以及M = 16列。賦予每個(gè)像素的值是像素的平均亮度,其四舍五入到最近的整數(shù)。將二維信號(hào)在給定坐標(biāo)位置的幅度表示成具有L個(gè)不同灰度級(jí)的整數(shù)值的過(guò)程通常稱為幅度量化,或簡(jiǎn)稱量化。在數(shù)字圖像處理中,某些工具是非常重要的。這些包括數(shù)學(xué)工具,如:卷積、傅立葉分析以及統(tǒng)計(jì)描述,和處理工具,如:鏈?zhǔn)酱a與游程碼。在這里我們介紹這些工具沒(méi)有任

24、何特別的動(dòng)機(jī),在后面的章節(jié)中我們會(huì)對(duì)此予以介紹。許多圖像處理應(yīng)用是要產(chǎn)生被人觀察的圖像,而不是比方說(shuō)為了自動(dòng)的工業(yè)檢驗(yàn)。因此,了解人類視覺(jué)系統(tǒng)的特征和限制是很重要的,即要了解二維信號(hào)的“接收器”。一開(kāi)始就認(rèn)識(shí)到以下幾點(diǎn)是很重要的:1)人的視覺(jué)系統(tǒng)尚未被充分了解;2)不存在與人眼評(píng)價(jià)相當(dāng)?shù)呐袛鄨D像質(zhì)量的客觀度量;3)不存在所謂“典型”的觀察者。然而,感知心理學(xué)的研究已經(jīng)對(duì)視覺(jué)系統(tǒng)提供了一些重要的見(jiàn)解。Unit 11-2第二部分:數(shù)字圖像定義和應(yīng)用圖像無(wú)處不在,這毫不足怪,因?yàn)槲覀內(nèi)祟愐蕾囉趫D像,我們用眼睛的感知超過(guò)所有其它的感知刺激。我們吸收的幾乎所有的信息都是圖像的形式,不論是看一張照片,看電

25、視,欣賞一幅畫,或是讀書,這一切都利用了圖像。圖像對(duì)于我們是如此自然,因而總是盡力將幾乎任何信息都轉(zhuǎn)換為圖像。例如電視天氣預(yù)報(bào)用圖像表示某一地區(qū)的溫度分布,以不同顏色代表不同的溫度,醫(yī)學(xué)掃描裝置可將人的新陳代謝活動(dòng)顯示成圖像,用亮點(diǎn)表示強(qiáng)的活動(dòng)性,等等。此外,我們的視覺(jué)通常是我們感官中最有效的:舉例來(lái)說(shuō),考慮一個(gè)電腦鍵盤。每個(gè)鍵的功能都用了一個(gè)小圖像(一個(gè)字符)表示。我們也可以通過(guò)一個(gè)特定的凹凸紋理來(lái)識(shí)別每個(gè)按鍵,但它的效率遠(yuǎn)不及前者。我們甚至可以嘗試給每一個(gè)按鍵一個(gè)特定氣味,但很容易想象在打字時(shí)我們的麻煩。我們也擅長(zhǎng)于許多圖像處理任務(wù)。舉例來(lái)說(shuō),我們眼睛的聚焦:當(dāng)我們看東西時(shí),我們的眼睛傳遞

26、給大腦的第一個(gè)圖像可能是未聚焦的,然后大腦試圖通過(guò)調(diào)節(jié)眼睛晶狀體糾正這一點(diǎn),一個(gè)新的圖像就會(huì)從眼睛發(fā)送到大腦,等等。這種反饋過(guò)程是如此之快,甚至我們沒(méi)有意識(shí)到這一點(diǎn)。另一個(gè)例子是立體視覺(jué):我們的眼睛將兩幅二維圖像傳到大腦,而大腦能在瞬息之間將它們合成為一幅三維圖像。圖像處理技術(shù)將人類使用圖像的自然方式和數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)。這就提供了獨(dú)特的混合,因?yàn)榭捎脟?yán)格數(shù)學(xué)方法描述圖像和圖像處理又不失圖像的直觀性。圖像處理可以定義為:圖像中信息的處理和分析。當(dāng)然這個(gè)定義是非常寬泛的,包括自然的和人為的處理,從一副眼鏡的使用到哈勃望遠(yuǎn)鏡傳輸?shù)膱D像的自動(dòng)分析。我們可以發(fā)現(xiàn)身邊圖像處理的簡(jiǎn)單方式,包括:- 使用眼鏡或隱

27、形眼鏡- 亮度,對(duì)比度等,電視或監(jiān)視器的控制- 用相機(jī)拍攝和沖洗照片- 大自然的例子:水面上景色的反射,水霧中景色的失真,等等。高級(jí)圖像處理的應(yīng)用例子包括:- 司法科學(xué):視頻監(jiān)控?cái)z像機(jī)圖像的增強(qiáng),圖像中的臉,指紋,DNA碼等的自動(dòng)識(shí)別和分類。- 工業(yè):檢驗(yàn)生產(chǎn)部件,應(yīng)用于CAD /CAM。- 信息處理: 手寫和印刷文本(經(jīng)常被稱為OCR;光學(xué)字符識(shí)別)的識(shí)別,印刷圖像的掃描和分類。在醫(yī)學(xué)中,使用病人的一幅或多幅醫(yī)學(xué)圖像,可以發(fā)現(xiàn)圖像處理的許多應(yīng)用,例如:- 可視化。 例如:在我們制作一個(gè)三維物體的三維可視化之前,我們首先需要從二維圖像中提取物體的信息。- 計(jì)算機(jī)輔助診斷。 如:現(xiàn)在通常為超過(guò)一

28、定年齡的女性定期拍乳房X光片,以發(fā)現(xiàn)早期的乳房癌。實(shí)踐中圖像數(shù)量如此巨大,因而用自動(dòng)計(jì)算機(jī)圖像處理來(lái)完成部分篩選工作十分有益。- 圖像分割即將圖像分割為有意義的結(jié)構(gòu)。例如:將腦圖像分割為這些結(jié)構(gòu):腦白質(zhì)、腦灰質(zhì)、腦脊髓液、骨質(zhì)、脂肪、皮膚等。從改善可視化到腫瘤生長(zhǎng)的監(jiān)測(cè),在許多工作中分割是有用的。- 圖像配準(zhǔn),即同一病人兩幅或更多圖像的嚴(yán)格對(duì)準(zhǔn)。若要將這些圖像中包含的信息結(jié)合起來(lái)形成一幅有意義的新圖像,這種對(duì)準(zhǔn)是十分必要的。 圖像處理應(yīng)用可以有很多目的。大多數(shù)時(shí)候,目的是在一個(gè)或幾個(gè)這些類別中: - 圖像增強(qiáng),例如,減少噪聲或圖像銳化。- 模式識(shí)別,例如,圖像中某種形狀或紋理的自動(dòng)檢測(cè)。- 將

29、數(shù)據(jù)量減少為更容易處置或解釋的信息,例如將圖像減小為一幅較簡(jiǎn)單的圖像、一組對(duì)象或特征、或者一組測(cè)量結(jié)果。- 圖像合成,如由二維照片重建三維場(chǎng)景。- 圖像拼接。當(dāng)從同一個(gè)場(chǎng)景獲取兩種不同形態(tài)(類型)的圖像時(shí),將它們拼接起來(lái)涉及配準(zhǔn),其后是數(shù)據(jù)減少和圖像合成。 - 數(shù)據(jù)壓縮。為了縮小包含圖像的計(jì)算機(jī)文件的大小,以及加快網(wǎng)絡(luò)中圖像傳輸?shù)乃俣?,?shù)據(jù)壓縮常常是必需的。我們關(guān)心的只是數(shù)字圖像處理,而不是模擬處理,理由是,模擬處理需要專用的硬件,這使得建立一個(gè)特殊的圖像處理應(yīng)用成為一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。此外,在許多圖像處理領(lǐng)域中模擬硬件的使用正在迅速地成為過(guò)去,因?yàn)樗3D鼙桓哽`活性的數(shù)字硬件(計(jì)算機(jī))所取代。

30、 但究竟什么是數(shù)字圖像呢?數(shù)字圖像獲取與處理的示意圖如圖11.2所示。頂部有某個(gè)成像設(shè)備,如攝像機(jī),醫(yī)療掃描儀,或其它任何可將物理現(xiàn)實(shí)的量度轉(zhuǎn)換為電信號(hào)的設(shè)備。成像設(shè)備產(chǎn)生一個(gè)連續(xù)的電信號(hào)。因?yàn)檫@種模擬信號(hào)不能直接用計(jì)算機(jī)處理,信號(hào)通過(guò)數(shù)字化儀轉(zhuǎn)換為離散形式。最后產(chǎn)生的圖像便可直接用于數(shù)字圖像處理應(yīng)用。數(shù)字化儀完成兩個(gè)任務(wù):采樣和量化(見(jiàn)圖11.3)。在采樣過(guò)程中,圖像中連續(xù)信號(hào)的值在特定位置被采樣。在量化過(guò)程中,真實(shí)值被離散化為數(shù)字?jǐn)?shù)值。量化后的圖像我們稱為數(shù)字圖像。這樣就回答了本節(jié)開(kāi)頭的問(wèn)題:數(shù)字圖像只不過(guò)是一個(gè)數(shù)值的矩陣。每個(gè)矩陣元素,即已量化樣本,被稱為圖像元素或像素。對(duì)于三維圖像則稱

31、為體積元素或體素。 我們可以用兩個(gè)坐標(biāo)(x; y)表示圖像中每個(gè)像素的位置。按照慣例,(0; 0)像素,即原點(diǎn),是在圖像的左上角,X軸是從左向右,Y軸自上而下(見(jiàn)圖11.4 )。這可能要用一點(diǎn)功夫去習(xí)慣它,因?yàn)樗煌诔R?guī)的二元函數(shù)的數(shù)學(xué)表示法,也不同于常規(guī)的矩陣坐標(biāo)。如果一幅數(shù)字圖像僅僅是一個(gè)數(shù)值矩陣,有人可能會(huì)說(shuō):數(shù)字圖像處理只不過(guò)是一種對(duì)矩陣進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)學(xué)算法的集合。幸運(yùn)的是,現(xiàn)實(shí)情況遠(yuǎn)非所說(shuō)的那么枯燥乏味,因?yàn)樵趯?shí)際中,我們很少使用圖11.3所示的矩陣表示,而是對(duì)圖11.3的中間圖像進(jìn)行處理,實(shí)際上是同一幅圖像,但將光強(qiáng)度賦予每一個(gè)數(shù),對(duì)人而言它通常更有意義。你會(huì)發(fā)現(xiàn)圖像處理算法將被描

32、述為數(shù)學(xué)算子作用于像素值或像素矩陣,這些算法的運(yùn)算結(jié)果也將被用圖像形式顯示出來(lái)。Unit 11-3第三部分:圖像處理引言圖像由各種物理設(shè)備產(chǎn)生,包括照相機(jī)和攝像機(jī)、X光設(shè)備、電子顯微鏡、雷達(dá)、超聲設(shè)備等,并用于各種目的,包括娛樂(lè)、醫(yī)療、商務(wù)、工業(yè)、軍事、民用、安全、科學(xué)。各種應(yīng)用的目的都是使觀察者(人或機(jī)器)提取被成像的場(chǎng)景中的有用信息。原始圖像通常并不直接適合于這一目的,必須以某種方式進(jìn)行處理。這種處理稱為圖像增強(qiáng);而觀察者從圖像中提取信息的處理則稱為圖像分析。增強(qiáng)和分析根據(jù)其輸出性質(zhì)即輸出的是圖像還是關(guān)于場(chǎng)景的信息來(lái)區(qū)分,也根據(jù)所面臨的挑戰(zhàn)和所使用的方法來(lái)區(qū)分。圖像增強(qiáng)通過(guò)化學(xué)、光學(xué)、電子

33、方法實(shí)現(xiàn),而分析則主要由人工和電子方法實(shí)現(xiàn)。用于觀察者的(視覺(jué))增強(qiáng)方法或用于(計(jì)算機(jī))自主分析的數(shù)字圖像處理技術(shù)在成本、速度、靈活性方面具有優(yōu)越性,隨著個(gè)人計(jì)算機(jī)價(jià)格的急劇下降和功能的快速提升而成了實(shí)用的主要方法。挑戰(zhàn)圖像并不是被觀察的物理對(duì)象性質(zhì)的直接測(cè)量,而是諸多物理因素相互作用的結(jié)果:光照強(qiáng)度及其分布、光照與構(gòu)成景物的物質(zhì)之間的相互作用、反射光或透射光從三維空間到二維圖像平面的投影幾何關(guān)系、以及傳感器的電子特性。不像某些其它工作例如編寫編譯程序那樣有正式理論為基礎(chǔ)的算法,可將高級(jí)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言翻譯成機(jī)器語(yǔ)言,不存在從圖像中提取感興趣的景物信息如位置或某一制成品質(zhì)量的算法和可比的理論。這種困

34、難常被初學(xué)者低估,因?yàn)槿说囊曈X(jué)系統(tǒng)似乎可輕而易舉地從景物中提取信息。人的視覺(jué)通常比我們目前乃至可預(yù)見(jiàn)的未來(lái)能夠設(shè)計(jì)制造的任何東西復(fù)雜得多。于是我們必須注意,不要根據(jù)人們對(duì)某一數(shù)字圖像處理應(yīng)用的印象來(lái)評(píng)估其難易程度。一個(gè)首要的指導(dǎo)原則也許是人類更擅長(zhǎng)于判斷而機(jī)器更擅長(zhǎng)于測(cè)量。因此,比方說(shuō)在傳輸帶上確定一個(gè)汽車零件的確切位置和大小很適合于數(shù)字圖像處理,而要對(duì)蘋果或木材的質(zhì)量定級(jí)卻更具挑戰(zhàn)性,盡管不是不可能的。按照這些原則,需進(jìn)行大量計(jì)算而極少需要判斷的圖像增強(qiáng)就是很適合于數(shù)字處理的。對(duì)處理時(shí)間的嚴(yán)格要求常使問(wèn)題變得更復(fù)雜。很少用戶在意電子表格的數(shù)據(jù)刷新時(shí)間是300毫秒而不是200毫秒;但是,譬如說(shuō)

35、大部分工業(yè)應(yīng)用卻必須在機(jī)器周期所要求的嚴(yán)格限制以內(nèi)完成操作。還有許多應(yīng)用如超聲圖像增強(qiáng)、交通監(jiān)控、攝像機(jī)防抖動(dòng)等要求對(duì)視頻流進(jìn)行實(shí)時(shí)處理。為了具體了解對(duì)處理速度的挑戰(zhàn),設(shè)想一下,一臺(tái)標(biāo)準(zhǔn)黑白攝像機(jī)的視頻流每秒有1000萬(wàn)個(gè)像素。在撰寫本文時(shí),一臺(tái)典型臺(tái)式PC也許可在處理每個(gè)像素所允許的100ns時(shí)間內(nèi)執(zhí)行50條機(jī)器指令,而能用區(qū)區(qū)50條指令完成的處理十分有限。此外,許多圖像處理應(yīng)用還受到成本的嚴(yán)格限制,因此我們經(jīng)常面臨工程師們望而生畏的三重難題:要求設(shè)計(jì)的產(chǎn)品同時(shí)具備性能優(yōu)良、運(yùn)行快捷、價(jià)格便宜的優(yōu)點(diǎn)。圖像獲取所有圖像處理應(yīng)用始于某種形式的照射,典型的是光線但廣義的是某種能量。有時(shí)必須使用環(huán)境

36、光線,但更為典型的是根據(jù)具體應(yīng)用設(shè)計(jì)照明。在這些情況下事情的成敗往往就在于此:任何高明的軟件都無(wú)法將因?yàn)檎彰鞑涣级鴣G失的信息恢復(fù)出來(lái)。照相機(jī)就是一個(gè)能將輻射能量分布轉(zhuǎn)換為存放在RAM中的數(shù)字圖像的裝置。過(guò)去這一過(guò)程分成兩步:將能量轉(zhuǎn)換為電信號(hào)即照相機(jī)的功能;用數(shù)字化設(shè)備將信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字形式并存儲(chǔ)?,F(xiàn)在兩者之間的界線正在變得模糊,照相機(jī)將通過(guò)USB、以太網(wǎng)、IEEE 1394接口直接將圖像送入計(jì)算機(jī)。照相機(jī)技術(shù)以及所產(chǎn)生的圖像特性幾乎無(wú)例外地受到最大實(shí)際應(yīng)用量的驅(qū)動(dòng),其中之一是消費(fèi)電視。因此大多數(shù)的攝像機(jī)具有半個(gè)多世紀(jì)以前電視廣播標(biāo)準(zhǔn)所制定的分辨率和速度特性。典型的可見(jiàn)光單色攝像機(jī)的分辨率為64

37、0´480,每秒輸出30幀圖像,并支持電子快門和快速?gòu)?fù)位(任意時(shí)刻回復(fù)到一幀初始狀態(tài)的能力,從而可避免在開(kāi)始捕獲一幀新圖像前的等待)。這種攝像機(jī)是基于CCD傳感器技術(shù)的,能產(chǎn)生優(yōu)良的圖像,但相對(duì)于其它具有同樣數(shù)量晶體管的多數(shù)芯片而言其價(jià)格很高。隨著大容量個(gè)人計(jì)算機(jī)多媒體應(yīng)用的激增情況首次發(fā)生了變化。首先影響到的是顯示器,它已有相當(dāng)一段時(shí)間給我們提供了比廣播更高的速度和分辨率。人們可期待照相機(jī)/攝像機(jī)也隨之跟上,包括由民用數(shù)字照相機(jī)所推動(dòng)的高速度、高分辨率器件,娛樂(lè)業(yè)、互聯(lián)網(wǎng)遠(yuǎn)程會(huì)議和用戶視覺(jué)界面應(yīng)用所推動(dòng)的低分辨率和極低價(jià)格的設(shè)備。廉價(jià)器件可能會(huì)產(chǎn)生更大的影響。這些是基于新出現(xiàn)的CM

38、OS傳感器技術(shù)的,其生產(chǎn)工藝與大多數(shù)計(jì)算機(jī)芯片相同,因而得益于生產(chǎn)批量大而價(jià)格低廉。目前它的圖象質(zhì)量還達(dá)不到CCD標(biāo)準(zhǔn),但隨著技術(shù)的成熟是注定會(huì)改進(jìn)的。圖像增強(qiáng) 數(shù)字圖像增強(qiáng)算法大致分為兩類:點(diǎn)變換(像素映射)和鄰域運(yùn)算。1. 點(diǎn)變換 點(diǎn)變換產(chǎn)生的輸出圖像中每個(gè)像素都是一個(gè)相應(yīng)輸入像素的某種函數(shù)。這一函數(shù)對(duì)于每個(gè)像素都相同,通常是由圖像的全局統(tǒng)計(jì)特性導(dǎo)出的。點(diǎn)變換一般運(yùn)行很快,但僅限于進(jìn)行全局變換,例如調(diào)整整幅圖像的對(duì)比度。點(diǎn)變換包括許多可用于分等級(jí)值像素的圖像增強(qiáng)。這些算法常由基于查找表的單一軟件程序或硬件模塊實(shí)現(xiàn)。查找表的運(yùn)行速度快,可以編程用于實(shí)現(xiàn)任何功能,以合理的速度提供最終的普適性。

39、而MMX以及類似的處理器則能以比查找表快得多的速度通過(guò)直接計(jì)算來(lái)執(zhí)行各種功能,其代價(jià)是軟件復(fù)雜性的提高。當(dāng)某種功能是通過(guò)圖像全局統(tǒng)計(jì)特性來(lái)計(jì)算時(shí),像素映射是最為有用。例如人們可以處理一幅圖像,在輸入信號(hào)的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差,或者最小值和最大值的基礎(chǔ)上,獲得所要求的增益和補(bǔ)償(偏移)。直方圖指標(biāo)是一種有效的像素映射點(diǎn)變換,對(duì)輸入圖像進(jìn)行處理使之具有與某一參考圖像同樣的像素值分布。其像素映射關(guān)系很容易從輸入圖像和參考圖像的直方圖得到。直方圖指標(biāo)是進(jìn)行圖像分析前的一種有用的增強(qiáng)技術(shù),這種分析的目的是對(duì)輸入圖像和參考圖像進(jìn)行某種比較。閾值分割是一種常用增強(qiáng)技術(shù),其目的是將圖像分割成目標(biāo)和背景。計(jì)算閾值,大于(或小于)閾值的就當(dāng)作對(duì)象,否則就是背景。有時(shí)用兩個(gè)閾值來(lái)確定對(duì)應(yīng)于目標(biāo)像素的一個(gè)范圍。閾值可以是固定的,但最好是根據(jù)圖像的統(tǒng)計(jì)特性計(jì)算得到。也可以用鄰域處理進(jìn)行閾值分割。在所有這些情況下得到的結(jié)果都是一幅二值圖像,即只有黑白兩色而沒(méi)有灰階。顏色空間轉(zhuǎn)換用于轉(zhuǎn)換不同的顏色表示方法,例如將照相機(jī)提供的RGB空間轉(zhuǎn)換成圖像分析算法所要求的HIS(色調(diào),亮度,飽和度)空間。由于精確的顏色空間轉(zhuǎn)換涉及的計(jì)算量很大,在對(duì)時(shí)間有嚴(yán)格要求的應(yīng)用中常采用粗略的近似。這些近似方法十分有效,但在選擇一種算法以前應(yīng)該對(duì)速度和精度間的權(quán)衡有所了解。時(shí)間

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