B12--選修4-5第四講數(shù)學(xué)歸納法(2課時(shí))

1、第一課時(shí)4.1數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 分析：多米諾骨牌游戲成功的兩個條件：(1)第一張牌被推倒；(2)骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒回顧：數(shù)學(xué)歸納法兩大步：(i)歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個值no時(shí)命題成立；(ii)歸納遞推：假設(shè)n=k(k>%,kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定

2、命題對從no開始的所有正整數(shù)n都成立.2. 練習(xí)：已知f(n)=1312n-1,nN*，猜想f(n)的表達(dá)式，并給出證明？過程：試值f(1)=1,f(2)=4，t猜想f(n)=n2用數(shù)學(xué)歸納法證明1 23. 練習(xí)：是否存在常數(shù)a、b、c使得等式132435亠n(n2)n(an2bnc)對6一切自然數(shù)n都成立，試證明你的結(jié)論.二、講授新課：1. 教學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用： 出示例1:求證1_丄+丄1+,+11+1+.+,n壬N2 342n-12nn+1n+22n分析：第1步如何寫？n=k的假設(shè)如何寫？待證的目標(biāo)式是什么？如何從假設(shè)出發(fā)？關(guān)鍵：在假設(shè)n=k的式子上，如何同補(bǔ)？小結(jié)：證n=k+1時(shí)，需從

3、假設(shè)出發(fā)，對比目標(biāo)，分析等式兩邊同增的項(xiàng)，朝目標(biāo)進(jìn)行變形. 出示例2：求證：n為奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+y整除.分析要點(diǎn)：(湊配)xk+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2yk-x2yk=x2(xk+yk)+yk(y2x2)=x2(xk+yk)+yk(y+x)(y-x). 出示例3:平面內(nèi)有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點(diǎn)，任何三個圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這n個圓將平面分成f(n)=n2-n+2個部分.分析要點(diǎn)：n=k+1時(shí)，在k+1個圓中任取一個圓C,剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓C與k個圓有2k個交點(diǎn)，這2k個交點(diǎn)將圓C分成2k段弧，每段弧將它所在的平面部

4、分一分為二，故共增加了2k個平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.2. 練習(xí)：11 求證:(11)(1)L_(1).2n1(nN*).3 2n1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：(I)72n-42n-297能被264整除；(n)an+(a+1)22能被a2+a+1整除(其中n,a為正整數(shù)) 是否存在正整數(shù)m,使得f(n)=(2n+7)3n+9對任意正整數(shù)n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由3. 小結(jié)：兩個步驟與一個結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”；從n=k到n=k+1時(shí)，變形方法有乘法公

5、式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等三、鞏固練習(xí)：1.練習(xí)：教材501、2、5題2.作業(yè)：教材503、4、6題.第二課時(shí)4.2數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明幾個經(jīng)典不等式教學(xué)難點(diǎn)：理解經(jīng)典不等式的證明思路教學(xué)過程：、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備1.求證：1222n2n(n1),nN*.1335(2n-1)(2n1)2(2n1)1111*2.求證：1nn,n-N.23421二、講授新課：1.教學(xué)例題：出示例1：比較n2與2n的大小，試證明你的結(jié)論分析：試值n=

6、1,2,3,4,5,6猜想結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法證明t要點(diǎn)：（k1）2=k22k1：k22kk:：:k23k:：:k2k2:.小結(jié)：試值宀猜想宀證明 練習(xí)：已知數(shù)列:an/的各項(xiàng)為正數(shù)，Sn為前n項(xiàng)和，且S-（an丄），歸納出an的公式2an并證明你的結(jié)論解題要點(diǎn)：試值n=1,2,3,4,t猜想ant數(shù)學(xué)歸納法證明 出示例2：證明不等式|sinnT|En|sin8|（nN*）.要點(diǎn)：|sin（k1）v|=|sinkvcosvcosksinv|_|sinkvcosv|coskvsinv|sinkv|-|sinvk|sinv|sinv|=（k1）|sinv| 出示例3：證明貝努利不等式.（1x）n1nx

7、（x21,x廠0,n三N,n1）2. 練習(xí)：試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n>1,nN且a、b、c互不相等時(shí)，均有an+cn>2bn.解答要點(diǎn)：當(dāng)a、b、c為等比數(shù)列時(shí)，設(shè)a=,c=bq（q>0且qz1）.aan+cn=.q當(dāng)a、b、c為等差數(shù)列時(shí)，有k+,k中.當(dāng)n=k+1時(shí)，-2an+十a(chǎn)卄*2b=a+c,則需證>(-)n(n>2且nN*).221k+1k+1k+1k+1、1k+1k+1k小丄k(a+c+a+c)>(a+c+ac+ca)4 41kkackzacack+1=4（a+c）（a+c）>（）（）=（）.3. 小結(jié)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式；技巧：湊配、放縮三、鞏固練習(xí)