128個數(shù)學問題匯編

1、費爾瑪猜想他與笛卡兒一起奠定了解析幾何的基礎；他和帕斯卡一起奠定了概率論的基“但使他名垂千古、載入史冊的還他所提出的費爾瑪猜想，也被稱為"費法國數(shù)學家費爾瑪對數(shù)學的貢獻涉及各個領域。礎；他從幾何角度，第一次給出了求函數(shù)極值的法則爾瑪大定理。"費爾瑪在丟番圖的算術學的書頁邊上寫道：任何一個數(shù)的立方不能分解為兩個立方之和，任何一個有選舉權的四次方不能分解為兩個四次方之和；更一般的，除二次哥外，兩個數(shù)的任何次哥的和都不可能等于第三人矍有同次哥的數(shù)。我已經(jīng)找到了這個斷語的絕妙證明，但是，這書的頁邊太窄，不容我把證明寫出來。費爾瑪?shù)倪@段筆記，用數(shù)學語言來表達，就是形如X+yn=zn的

2、方程，當n大于2時，不可能有正整數(shù)解。遺憾的是，人們找遍了他的文稿和筆記，都搜尋不到這個"絕妙”的證明。費爾瑪?shù)淖C明是什么樣的？誰也不清楚。他是否真的給出過證明也值得懷疑。不過，他用無窮遞降的方法證明了N=情形。后來，歐拉也沿用此方法證明了n=3,4時，xn+yn=zn無整數(shù)解。19世紀有不少數(shù)學家對這個問題感興進取，勒讓德與克雷同時證明了n=5時的費爾瑪大定理；拉梅證明了n=7時的情形，后來德國數(shù)學家?guī)炷瑺柗磏推進到了100。20世紀隨著電子計算機的飛速發(fā)展和廣泛應用，到1978年，已經(jīng)證明了當n<12500的素數(shù)以及它們的倍數(shù)時，猜想都成立。在300多年中，人們希望能找到它

3、的一般證明，但又苦于無法；企圖否定，又舉不出反例。1850年及偌53年，法國科學院曾兩次以2000法郎的獎金懸賞，但都沒有收到正確答案。1900年，德國數(shù)學家希爾伯特認為費爾瑪大定理是當時最難的23個數(shù)學問題之一。1908年，德國哥庭根科學院按照德國數(shù)學家俄爾夫斯開耳的遺囑，把他的10萬馬克作為費爾瑪大定理的證明獎金，向全世界征求解答，期限為100年，直到公元2007年仍有效。可見，費爾瑪確引起了不同尋常的反響。就定理本身而言，是一個中學生都能搞懂的問題。因此，不光是數(shù)學家、數(shù)學工作者，還有工程師、職員、政府官員都投身到了"費爾瑪猜想"的證明當中，證明的熱潮十分高漲。第一次

4、世界大戰(zhàn)的爆發(fā)，才使證明趨于冷落。費爾瑪猜想雖然還沒有最終獲得證明，甚至還有人認為他是一道死題。但是在證明"費爾瑪猜想"的過程中，數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)了許多新的概念、定理和。費遁辭瑪僅憑少數(shù)事例而產(chǎn)生天才的猜想，推動了數(shù)學的發(fā)展。"理想數(shù)論"這一嶄新的數(shù)學分支，正是在這種探索中建立的。'費爾瑪猜想"的大規(guī)模探索表明，企圖用初等數(shù)學證明它，大概是不可能的，就像解決古希臘三大難題一樣，恐怕要依賴新的數(shù)學方誕生！。四色猜想1852年，剛從倫敦大學畢業(yè)的哥斯尼在給他的兄弟弗雷贅克的一封信中提出了這樣的猜想：在一幅正規(guī)地圖中。凡是有共同邊界結的國家，都可

5、以最多只用四種顏色著色，就能把這些國家區(qū)別開來。弗雷贅克讀了這封信后，就企圖用數(shù)學品質方法來加證明。但是，他花了許多時間，仍是毫無頭緒，他只好去請教他的教師摩爾根。但摩爾根也無法證明這個問題。同時也無法推翻，就把它交給了英國著名的數(shù)學家哈密頓。從此，這個問題在一些人中間傳來似去，直到1865年哈密頓逝世為止，這個問題還沒有得到解決。于是這個問題便以"四色猜想"的名字留在了近代數(shù)學史上。1878年，著名的英國數(shù)學家凱來把"四色猜想"通報給倫敦的數(shù)學學會會員，征求解答。數(shù)學界頓時活躍起來，很多人揮戈上陣，企圖試一試自己的能力。1879年，肯普首先宣布證明了四

6、色定理，接著在1880年，泰特也宣布證明四色定理的問題已經(jīng)解決，從此就很少有人過問它了。然而還有一個數(shù)學家赫伍德，并沒有放棄對四色問題的研究，他從表少年時代一直到成為白發(fā)蒼蒼的老者，花費了畢生的精力致力于四色研究，前后整整60年。終于在1890年，也就是肯普宣布證明了四色定理的11年之后，赫伍德發(fā)表文章，指出了肯普證明中的錯誤，不過，赫伍德卻成功地運用肯普的方法證明了五色定理，即一張地圖一公平能用和種顏色正確地染色。五色定理被證明了。但四色定理卻又回到未被證明的四色猜想的地位了，這不僅由于赫伍德推翻了肯普的證明，而且離開泰特發(fā)表論文66年后的1946年，加拿大數(shù)學家托特又舉出反例，否定了泰特的

7、證明。肯普的證明，雖然在11年后被推翻了，但是，人們認為他的證明思路有很多可取的地方。因此，數(shù)學家，有不少人一直在沿著他的思路，推進著四色問題的證明工作，并且有了新的進展。然而，這些成就所提供的檢驗辦法太復雜了，人們難以實現(xiàn)。就拿1970年有些人的方案來說，用當時的計算機來算也需要連續(xù)不斷地工作10萬小時(即11年以上)，才能得出結論，這顯然是不可能的。1970年以后，人們千方百計地改進了證明四色猜想的方案，而且計算機的其使用方法，也不了飛快地進步。1976年6月，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯，在美國伊利諾侵入大學的3臺不同的電子計算機上，用了1200小時，終于完成了"四色猜想"

8、的證明，從面使"四色猜想"成為了四色定理。"四色定理"本身沒有什么突出的理論價值和衫價值。因此美國數(shù)學家的貢獻，主要是用電子計算機解決了延續(xù)124年之久的純理論問題。人與機器的合作完全有可能解決那些懸而未決的問題，我們期待著那一日的到來。比貝爾巴赫猜想中學數(shù)學知識的人都知道“函數(shù)”這一重要概念.一般地，可用符號y=f(x)表示函數(shù)，x與y表示變量，f表示x與y之間的變化的關系.當x取某一確定的值，就可以得到一個確定的y值.如果x只取實數(shù)值，得到的y值也是實數(shù)值，那么就稱y=f(x)為一個實函數(shù).如果x可取復數(shù)值，y得到的也可以是復數(shù)，那么這函數(shù)就稱為復變

9、函數(shù)或簡稱復函數(shù).為了與實函數(shù)相區(qū)別，復函數(shù)通常記為z=f(z).可求導數(shù)的復函數(shù)叫解析函數(shù).假設R為復平面C中的一個區(qū)域，若對R中任意兩個不同的點Z1,Z2有f(z1)wf(z2),則稱f(z)在R上是單葉的.進一步，若在單位圓D=z6C:|z|<1中有V(z)W0,則稱f(z)單葉正則.如果加上規(guī)范條件f(0)=0及f/(0)=1,f(z)按Taylor級數(shù)展開得f(z)=z+a2z2+,+anzn+,|z|<1這種函數(shù)的全體稱為正規(guī)族，記為S.在S中扮演重要角色的是Koebe函數(shù)若0為任意實數(shù)，則e-i'K(ei9z)S,且將單位圓映到全平面除去由數(shù)的一個旋轉.191

10、6年，德國數(shù)學家比貝爾巴赫研究S中的函數(shù)f(z),發(fā)現(xiàn)其系數(shù)具有一個共同的性質：|a”<1,|a2|<2,由此他猜想：I有|an|<n,且這個界限只能被Koebe函數(shù)的旋轉所達到.這就是著名的比貝爾巴赫猜想68年.有不少1984由于這一猜想對于了解解析函數(shù)的內在性質具有重要意義，因此這個關于系數(shù)估計的猜想吸引了許多數(shù)學家為之奮斗了人為此耗費了幾乎大半生的精力，有的數(shù)學家?guī)缀蹩煲玫竭@個結果，但是卻在這個結果身邊走了過去，沒有徹底解決.一直到年，由在美國普度(Purdue)大學工作的德布朗格斯(DeBrdnges)所解決，這不是件容易的事.廣義克拉茨人們注意到克拉茨迭代所得的C

11、數(shù)列中，取奇數(shù)的項更為重要，因此，人們引進了簡化克拉茨函數(shù)：C(x)=(3x+1)/2e(x)其中e(x)是3x+1所含的素因子2的個數(shù).例如，當x=29時,3x+1=88=23*11,e(29)=3,對應的簡化C數(shù)列為11,17,13,5,1,1，路徑由原來的18減少到5,更有利于C迭代的研究.一般地，設a,b是正整數(shù)，a>1,且b為奇數(shù)，廣義克拉茨函數(shù)是C(x)=(ax+b)/2e(x)其中x取正奇數(shù),e(x)是ax+b所含素因子2的個數(shù).顯然,a=3,b=1就是3x+1問題.ax+b問題就是，對于任何一個正奇數(shù)x,經(jīng)過有限次的廣義C迭代最終是否可得到1?令人感到意外的是，ax+b問

12、題有可能以否定的形式而解決，人們估計下面的ax+b猜想是正確的：除了a=3,b=1(即3x+1問題)外，對于其他的正整數(shù)a,b(a>1,b為奇數(shù))都可以找到一個正奇數(shù)r,使得r的廣義C迭代中始終不1.實際上，取r=bt(t為任意正奇數(shù)),則C(r)*2e(r)=ar+b=(at+1)b如果b>1,則C(r)必能被b整除，從而r的廣義C數(shù)列各項都能被大于1的數(shù)b整除，永遠的不到1,此時，猜想是正確的.如果b=1,則當a為偶數(shù)時，C(x)*2e(x)=ax+1恒為奇數(shù)且C數(shù)列是遞增的,C迭代不會得到1,而當a是奇數(shù)時，ax+1猜想就是：對于給定的奇數(shù)a>3,必定存在某個正奇數(shù)r,

13、使得r的廣義C迭代，即C(x)=(ax+1)/2吶不出現(xiàn)1.1978年，克蘭多爾已經(jīng)證明，當a=5,181,1093時候，上述猜想是正確的.5x+1問題:C(x)=(5x+1)/2e(x)取r=13,則r的廣義C迭代數(shù)列是33,83,13,33,.出現(xiàn)循環(huán)(33,83,13),不出現(xiàn)1.181x+1問題：C(x)=(181x+1)/2e(x)取r=27,則r的廣義C迭代數(shù)列是611,27,611,27,.出現(xiàn)循環(huán)(611,27),不出現(xiàn)1.1093x+1問題：C(x)=(1093x+1)/2吶取s=(2364k-1)/1093(其中k為任意自然數(shù))，則1093+1=2364k，故e(s)=36

14、4k,C(s)=1.可以證明這是1093x+1問題中能達到1的僅有的一祖數(shù)，而對于其他任何正奇數(shù)r(不等于s),則C迭代可以無限地進行下去，永遠得不到1.此外，有人研究了7x+1問題，對于r=3的迭代項數(shù)已經(jīng)超過102000,仍然看不出任何重復的跡象，看來7x+1猜想很可能也是正確的.但還沒有從理論上加以證明.到目前為止，ax+1問題遠未解決.6174猜想1955年，卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了對四位數(shù)的一種變換：任給出四位數(shù)k0,用它的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù)m,再減去它的反序數(shù)rev(m),得出數(shù)k1=m-rev(m),然后，繼續(xù)對k1重復上述變換，得數(shù)k2.如此

15、進行下去，卡普耶卡發(fā)現(xiàn)，無論k0是多大的四位數(shù)，只要四個數(shù)字不全相同，最多進行7次上述變換，就會出現(xiàn)四位數(shù)6174.例如：k0=5298,k1=9852-2589=7263,k2=7632-2367=5265,k3=6552-2556=3996,k4=9963-3699=6264,k5=6642-2466=4176,k6=7641-1467=6174.后來，這個問題就流傳下來，人們稱這個問題為“6174問題"，上述變換稱為卡普耶卡變換，簡稱K變換.一般地，只要在0,1,2,.,9中任取四個不全相等的數(shù)字組成一個整數(shù)k0(不一定是四位數(shù)),然后從k0開始不斷地作K變換，得出數(shù)k1,k2

16、,k3,.,則必有某個m(m=<7),使得km=6174.更一月地，從0,1,2,.,9中任取n個不全相同的數(shù)字組成一個十進制數(shù)k0(不一定是n位數(shù))，然后，從k0開始不斷地做K變換，得出k1,k2,.,那么結果會是怎樣的呢？現(xiàn)在已經(jīng)知道的是：n=2,只能形成一個循環(huán):(27,45,09,81,63).例如取兩個數(shù)字7與3,連續(xù)不斷地做K變換，得出:36,27,45,09,81,27,.出現(xiàn)循環(huán).n=3,只能形成一個循環(huán):(495).n=4,只能形成一個循環(huán)：(6174).n=5,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán):(53855,59994),(62964,71973,83952,74943),(6395

17、4,61974,82962,75933).n=6,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán):(642654,.),(631764,.),(549945,.).n=8,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)四個循環(huán)n=7,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一個循環(huán)：(8719722,.).:(63317664),(97508421),(83208762,.),(86308632,.)n=9,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán):(864197532),(975296421,.),(965296431,.)容易證明，對于任何自然數(shù)n>=2,連續(xù)做K變換必定要形成循環(huán).這是因為由n個數(shù)字組成的數(shù)只有有限個的緣故.但是又t于n>=5,循環(huán)的個數(shù)以及循環(huán)的長度(指每個循環(huán)中所包含數(shù)的個數(shù))

18、尚不清楚，這也是國內一些數(shù)學愛好者熱衷于研究的一個課題直角問題在平面上隨便用尺畫出一個角，若你手上只有一把刻有公分為單位的直尺，那么你要如何判斷剛才畫出的角是否為直角呢？蜘蛛與蒼蠅在一個30X12X12的長方體房間，一只蜘蛛在一面12X12墻的中間離天花板1的地方。蒼蠅則在對面墻的中間離地板1的地方，嚇得不敢動了。試問蜘蛛要捉到蒼蠅最少要爬多遠。英文字母OTTFFSS_請問以上七個英文字母后面的空格應該要填哪一個字母？位在需要時候的朋友點燃雪茄后約翰靠回到自己的椅子上，他顯得對自己的生活很滿意?！笔堑模彼_懷地笑著說，"在三十年前，當我們在一起還是十幾歲孩子的時候，我絕沒有想過后來會過得這么好。”他的來訪者微微笑了笑。在過去那些日子，他們曾是好朋友，但那是很久以前的事了。今天當他急需一份工作的時候，一種古老的友誼又有什么價值呢？"你的兩位兄弟怎么樣？他問道，"他們都