第13章非正弦周期電流電路和信號(hào)頻

1、1. 1. 非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率l 重點(diǎn)重點(diǎn)2. 2. 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算第第1313章章 非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜和信號(hào)的頻譜13.1 13.1 非正弦周期信號(hào)非正弦周期信號(hào)生產(chǎn)實(shí)際中，通常還會(huì)遇到按非正弦規(guī)律變化的生產(chǎn)實(shí)際中，通常還會(huì)遇到按非正弦規(guī)律變化的電源和信號(hào)。電源和信號(hào)。非正弦電流可分為非正弦電流可分為周期周期的和的和非周期非周期兩種。兩種。l 非正弦周期交流信號(hào)的特點(diǎn)非正弦周期交流信號(hào)的特點(diǎn)(1) 不是正弦波不是正弦波 (2) 按周期規(guī)律變化按周期規(guī)律變化)()(nTtftfT為周期

2、函數(shù)的周期，為周期函數(shù)的周期，n為自然數(shù)為自然數(shù) 13.2 13.2 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)ttfTd )(0若周期函數(shù)滿足狄利赫利條件：若周期函數(shù)滿足狄利赫利條件： 周期函數(shù)極值點(diǎn)的數(shù)目為有限個(gè)；周期函數(shù)極值點(diǎn)的數(shù)目為有限個(gè)； 間斷點(diǎn)的數(shù)目為有限個(gè)；間斷點(diǎn)的數(shù)目為有限個(gè)； 在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積，即：在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積，即：可展開成收斂的傅里葉級(jí)數(shù)可展開成收斂的傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)：周期函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)：011112121110111( )cos()sin()2cos(2)sin(2)cos()sin()cos()sin()2kkkkkaf tat

3、btatbtaktbktaaktbkt 1）形式）形式1直流分量直流分量基波（和原基波（和原函數(shù)同頻）函數(shù)同頻）二次諧波二次諧波（2倍頻）倍頻） 高次諧波高次諧波2）形式）形式20111( )cos()2mAf tAt 212cos(2)mAt 1cos()kmkAkt 011( )cos()2kmkkAf tAkt kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaAarctansin cos2200系數(shù)之系數(shù)之間的關(guān)間的關(guān)系為：系為：102( )kTjjktkmkkA eajbf t edtT 0111( )cos()sin()2kkkaf taktbkt 011( )cos()2kmkk

4、Af tAkt 周期函數(shù)的頻譜圖：周期函數(shù)的頻譜圖：m1kAk的圖形的圖形 幅度頻譜幅度頻譜 11117 5 3 Akmok1相位頻譜相位頻譜 的圖形的圖形 1kk由于各諧波的角頻率由于各諧波的角頻率是是1的正整數(shù)倍，所以這種頻的正整數(shù)倍，所以這種頻譜是離散的，又稱為譜是離散的，又稱為線頻譜線頻譜。用線段的高度表示各次諧波振用線段的高度表示各次諧波振幅幅利用函數(shù)的對(duì)稱性可使系數(shù)的確定簡(jiǎn)化利用函數(shù)的對(duì)稱性可使系數(shù)的確定簡(jiǎn)化 偶函數(shù)偶函數(shù)0 )()(kbtftf注意 T/2t T/2f (t) o即偶函數(shù)只有余弦項(xiàng)和直流量即偶函數(shù)只有余弦項(xiàng)和直流量縱軸對(duì)稱縱軸對(duì)稱 與計(jì)時(shí)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)起點(diǎn)的選擇的選擇

5、有關(guān)有關(guān) 奇函數(shù)奇函數(shù) T/2t T/2f (t) o即奇函數(shù)只有正弦項(xiàng)即奇函數(shù)只有正弦項(xiàng)原點(diǎn)對(duì)稱原點(diǎn)對(duì)稱 與計(jì)時(shí)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)起點(diǎn)的選擇的選擇有關(guān)有關(guān)( )() 0kf tfta 奇諧波函數(shù)奇諧波函數(shù)0 )2()(22kkbaTtftftf (t)T/2To平移半周期后與橫軸對(duì)稱，不含偶次諧波平移半周期后與橫軸對(duì)稱，不含偶次諧波 鏡對(duì)稱鏡對(duì)稱 與計(jì)時(shí)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)起點(diǎn)的選擇的選擇無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) 任意一個(gè)非正弦周期函數(shù)任意一個(gè)非正弦周期函數(shù)f(t)，不管其奇偶性如，不管其奇偶性如何，都可以分解為一個(gè)何，都可以分解為一個(gè)偶函數(shù)偶函數(shù)fe(t)（偶部）與一（偶部）與一個(gè)個(gè)奇函數(shù)奇函數(shù)f0(t)（奇部）之和，即（

6、奇部）之和，即( )( )( )eof tf tf t 1( ) ( )()2ef tf tft 1( ) ( )()2of tf tft 有有111411( )sin()sin(3)sin(5)35mEf tttt 例例1 將如圖矩形信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式及其頻譜。將如圖矩形信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式及其頻譜。f(t)在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為( )02( )2mmTf tEtTf tEtT 所以所以 由此求的由此求的解解1110220222( )210(1)4kTjjktkmkkTTjktjktjkj kjkmTmmjkmmA eajbf t edtTEE edtE ed

7、teeeTjkkEeEkjkjk 為偶數(shù)為奇數(shù)取不同項(xiàng)數(shù)時(shí)波形的逼近情況取不同項(xiàng)數(shù)時(shí)波形的逼近情況11117 5 3 Akmo矩形波的矩形波的幅度幅度頻譜頻譜11117 5 3 k1o-/21kk矩形波的矩形波的相位頻譜相位頻譜 傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，但實(shí)際運(yùn)算中，只傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，但實(shí)際運(yùn)算中，只能截取有限的項(xiàng)數(shù)，因此能截取有限的項(xiàng)數(shù)，因此產(chǎn)生了誤差產(chǎn)生了誤差。 截取項(xiàng)數(shù)的多少截取項(xiàng)數(shù)的多少，涉及到級(jí)數(shù)收斂的快慢問(wèn)題。，涉及到級(jí)數(shù)收斂的快慢問(wèn)題。如果級(jí)數(shù)收斂很快，只取級(jí)數(shù)的前面幾項(xiàng)就夠了，如果級(jí)數(shù)收斂很快，只取級(jí)數(shù)的前面幾項(xiàng)就夠了，5次以上的諧波一般可以略去。次以上的諧波一般可

8、以略去。 通常，函數(shù)的波形越光滑和越接近于正弦波，其通常，函數(shù)的波形越光滑和越接近于正弦波，其展開級(jí)數(shù)就收斂得越快。展開級(jí)數(shù)就收斂得越快。1. 1. 非正弦周期函數(shù)的有效值非正弦周期函數(shù)的有效值)cos()(10kkkmtkIIti若若則有效值則有效值: :)(dcos1)(d1201002ttkIITttiTITkkkmT201TIi dtT 13.3 13.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率)(dcos12010ttkIITITkkkm d)(cos102122TkkkmIttkIT d102020TItIT 0d)cos()cos(210TqqmkkmttqItkITq

9、k 2kmkII 0012cos()d0 TkmkI Ik ttT 周期函數(shù)的有效值為直流分量及各周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量次諧波分量有效值有效值平方和的方根。平方和的方根。 222120 IIII結(jié)論2201kkIII 3.3.非正弦周期交流電路的平均功率非正弦周期交流電路的平均功率TtiuTP0d1)cos()(10ukkkmtkUUtu)cos()(10ikkkmtkIIti利用三角函數(shù)的正交性，得：利用三角函數(shù)的正交性，得：.)( cos210100PPPIUIUPikukkkkkk2kmkUU 2kmkII 平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率平均功率直流分量的功率

10、各次諧波的平均功率 coscos 22211100IUIUIUP結(jié)論（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)方法把給定的非正弦周期電壓或電流分解為）應(yīng)用數(shù)學(xué)方法把給定的非正弦周期電壓或電流分解為傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，高次諧波取到哪一項(xiàng)為止，根據(jù)具體情況；，高次諧波取到哪一項(xiàng)為止，根據(jù)具體情況；（2）再根據(jù)線性電路的疊加定理，直流分量用直流電路分）再根據(jù)線性電路的疊加定理，直流分量用直流電路分析方法，求解時(shí)把析方法，求解時(shí)把C看作開路看作開路，L看作短路看作短路；不同頻率的；不同頻率的正弦分量采用正弦電路相量分析計(jì)算方法，這時(shí)正弦分量采用正弦電路相量分析計(jì)算方法，這時(shí)需注意電需注意電路的阻抗特性隨頻率而變化路的阻抗特性隨

11、頻率而變化；（3）把所有分量按時(shí)域形式疊加，就可以得到電路在非正）把所有分量按時(shí)域形式疊加，就可以得到電路在非正弦周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。弦周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。注意：各分量的瞬時(shí)表注意：各分量的瞬時(shí)表達(dá)式才可疊加達(dá)式才可疊加(因?yàn)椴煌l率的相量式相加是無(wú)意義的因?yàn)椴煌l率的相量式相加是無(wú)意義的)。 13.4 13.4 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算例例2 如圖所示電路中，如圖所示電路中，R=3，輸入電源為矩形波輸入電源為矩形波 求電流求電流i和電阻吸收的平均功率和電阻吸收的平均功率P。解：本題中的非正弦周期電壓已分解為傅里葉級(jí)數(shù)形式，解：本題中的非正弦周期電壓已分

12、解為傅里葉級(jí)數(shù)形式，因此可直接進(jìn)行各次諧波的計(jì)算。因此可直接進(jìn)行各次諧波的計(jì)算。11121 ,0.429LC11111280.11cos()93.37cos(3)56.02cos(5)40.03cos(7)31.12cos(9)sutttttV C+ uR -iRLbadc+ uL -uC -+-+(1)對(duì)于基波分量對(duì)于基波分量(1)3(0.42921)320.571Zjj(2)對(duì)于三次諧波對(duì)于三次諧波(3)113313(11.904)ZRjLjjC (1)280.11 0smU (1)(1)(1)280.11 013.47 81.70320.571smmUIAZj 2(1)(1)1272.3

13、32mPIRW(3)93.37 0smU (3)(3)(3)93.37 014.47 62.303(11.904)smmUIAZj 2(3)(3)1314.062mPIRW 同理求得：同理求得：013IIII最后按時(shí)域形式疊加為最后按時(shí)域形式疊加為 注意：各分量的瞬時(shí)表達(dá)式才可疊加。注意：各分量的瞬時(shí)表達(dá)式才可疊加。（因?yàn)椴煌l率的相量式相加是無(wú)意義的）（因?yàn)椴煌l率的相量式相加是無(wú)意義的）(5)356.00PW (7)13.34 0mIA (7)267.07PW (9)9.2426.99mIA (9)128.17PW (1)(3)(5)(9)1337.63PPPPPW 11113.47cos(81.70 )14.47cos(362.30 )15.41cos(534.41 )ittt (5)15.41 34.41mIA 114111157cos(2)cos(4)2315sutt 0100UV 例例3 圖圖(a)電路中電路中L=5H，C=10uF，負(fù)載電阻負(fù)載電阻R=2k， us為正為正弦全波整流波形，如圖弦全波整流波形，如圖(b)。設(shè)。設(shè)1=314rad/s，Um=157V。求。求負(fù)載兩端電壓的各諧波分量。負(fù)載兩端電壓的各諧波分量。解：解：參閱表參閱表13-113-1，將給定的，將給定的usus分解為傅里葉級(jí)數(shù)，得分解為傅里葉級(jí)數(shù)，得(1)