高三復(fù)習(xí)指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)及其應(yīng)用老師版

1、v1.0 可編輯可修改指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)及其應(yīng)用、指數(shù)運(yùn)算一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1根式的概念：一般地，如果 xna，那么 x叫做 a的n次方根，其中n >1，10第 14 頁(yè) 共 12 頁(yè)且nN*負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0 的任何次方根都是 0 ，記作 n 00。當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)， n an a，當(dāng) n是偶數(shù)時(shí)，|a|a (a 0)a (a 0)mn 1 1 aamnnam (a0,m,n N ,n 1)0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義例題 1：（ -5）22833134364 4812分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： m n n mN ,n 1) ，a n a （a 0,m

2、,n3實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)1) ar as ar s a 0,r,sR；r s rs2) (a ) a(a 0,r,s R)；3) ab r ar br a 0,b 0,r R例題 2：若 10x 3,10y 4，則10x y例題 3：若 a 0，且 m,n為整數(shù)，則下列各式中正確的是mA、am an a n Bnmananm、aam n、1例題 4：若 102x 25，則 10 x 等于A、15二)指數(shù)方程計(jì)算1501625例題 1：解下列方程1)92x1 3 x2)9x 83x3)16x 36x 2 81x例題2：若 x1,x2為方程 2 x(12) x1的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則x1x2例題3：若

3、 32x 9 10 3 x，1的值。例題4：若關(guān)于 x 的方程 9x(a 4) 3x 4 0 有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍（三）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) y a （a 0,且a 1） 叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?R注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和 1 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1定義域 R定義域 R值域 y> 0在 R 上單調(diào)遞增 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（ 0， 1）值域 y>0 在 R 上單調(diào)遞減 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（ 0，1）注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還

4、可以看出：（1）在a，b上，f（x） ax（a 0且a 1）值域是f（a）,f（b） 或f（b）,f（a）；a；2)對(duì)于指數(shù)函數(shù) f(x) a (a 0且a 1)，總有 f(1)例題 5：函數(shù) y 2x 1 是( A2x 1A、奇函數(shù)B 、偶函數(shù))C 、既奇又偶函數(shù) D 、非奇非偶函數(shù)例題 6：設(shè) f(x) 4x4 a，且 f (x)的圖象過(guò)點(diǎn) (12,21)，1)求 f(x) 表達(dá)式， 例題 9：求函數(shù) y2 x 3x 4 的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間 解：要使函數(shù)有意義，則只需 x2 3x40，即 x23x 40，解得 4x1. 函數(shù)的定義域?yàn)?x| 4x1 2)試求 f 201112 f 3

5、2011 2011f 22000191 f 22001101 的值例題 7：設(shè)a R， f(x)a 2xa22x 1(xR) ，試確定 a的值，使 f(x)為奇函數(shù)2 2 3 2 25令 t x23x4，則 t x23x4( x2) 2 4，25 3當(dāng) 4 x 1時(shí)， t max 4 ，此時(shí) x 2， t min 0，此時(shí) x4或 x1.25 2 50t 4. 0 x23x42.函數(shù) y(1) x2 3x 4 的值域?yàn)?2，1 28由 t x23x4( x23) 2 245( 4 x 1)可知，3當(dāng) 4x 2時(shí)， t 是增函數(shù)，3當(dāng) 2 x1 時(shí)， t 是減函數(shù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：y (1

6、) x 3x 4在 4， 3上是減函數(shù)，在 3，1上是增函數(shù)2 2 233函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 2，1 ，單調(diào)減區(qū)間是 4， 2例題 10：若函數(shù) ya2x2ax1(a>0且 a1)在 x1,1 上的最 大值為 14，求 a 的值解：令axt ， t >0，則 yt 22t 1（ t 1） 22，其對(duì)稱軸為 t 1.該二次函數(shù)在 1， ） 上是增函數(shù)x 1 2若 a>1，x1,1 ，ta ，a ，故當(dāng) ta，即 x 1時(shí)， ymax a22a 114 ， a解得 a3（a5 舍去）若 0<a<1， x 1,1 ，x 1 1 taa， ，故當(dāng) t ，即 x 1時(shí)， a

7、a12 ymax （ 1） 2 14.a11 a 3或 5（ 舍去 ）1 綜上可得 a 3 或 3.、對(duì)數(shù)函數(shù)一）對(duì)數(shù)1對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果a x N （a 0,a 1） ，那么數(shù) x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作： x logaN（a 底數(shù)，N 真數(shù)， logaN 對(duì)數(shù)式） 說(shuō)明：1 注意底數(shù)的限制 a 0，且 a 1；x2 a N log a N x ；loga N3 注意對(duì)數(shù)的書寫格式兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)：以 10為底的對(duì)數(shù) lgN ；2 自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù) e 2.71828 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) ln N （二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a 0，且 a 1，M 0， N 0，那么：loga M

8、 loga N；logaMnn log a M(n R)注意：換底公式logcblog a blogca （a 0，且 a 1；c 0，且 c 1；b 0）利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論logam bn1) amn loga blogab2)1logbaB.5 C. 62D例題 2：log89 的值是(log23）A2B 1 C 3 D 232例題 1：若 xlog2 31，則 3x 9x的值為 :例題 3：已知 lg2= a，lg3= b，則 lg 12等于( ) lg152a ba 2b2a ba 2bABCD1ab1 a b1ab1ab(二)簡(jiǎn)單的指數(shù)對(duì)數(shù)方程例 1 解下列方程：1) 5xx

9、2 13x 12) log5(x1) log0.2(x 3)2)3)4)5)3) log (16 3x) (x 2)4) xlgx 2 1000兩邊取對(duì)數(shù)得 x 1 lg5解得 x1或 log 315 ，由原方程得：log5(x2x1)2x經(jīng)檢驗(yàn)，只有 x1原方程可轉(zhuǎn)化為 x經(jīng)檢驗(yàn)，只有 x2兩邊取對(duì)數(shù)， lg xlg x1 lg3 ，即x 1 lg51 lg3 0 ，所以原方程的解為x1或 xlog 315log 5(x 3) 1 8 0 x1 4,x2x1log5(x21)(x 3) 14 符合，所以原方程的解為2 16 3x (x3符合，所以原方程的解為2 lg1000, (lg x)2

10、4.2)22lg163。x33x x14,x2 30,解方程得 lg x 1, lg x 3,x 10 或 x ，經(jīng)檢驗(yàn)都是方程的根。 1000例題 2：已知關(guān)于 x 的方程 32x 1 （m 1）（3x 1 1） （m 3）3x 0（m R）. （1）當(dāng) m=4時(shí)，解此方程；（三）對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) y loga x（a 0，且 a 1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 x是 自變量，函數(shù)的定義域是（ 0，+）注意： 1 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：y log xy 2log2x，y log5 5 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：

11、 （a 0，且 a 1）2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<12.521.51110.511101-1.5-2-2.5定義域 x> 0定義域 x> 0值域?yàn)?R值域?yàn)?R在 R 上遞增在 R 上遞減函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（ 1，0）函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（ 1， 0）例題 4：設(shè)集合 A x|x2 1 0, B x|log2x 0|,則A B等于()Ax|x 1 Bx|x 0Cx|x 1Dx| x1或x 1例題 5：函數(shù) y= log 1（2x 1） 的定義域?yàn)椋ǎ?11A（ 1，） B 1， ）C（ 1，1 D（ ， 1）22例題 6：函數(shù) y log a（2x 5） 1 恒

12、過(guò)定點(diǎn) （ ）A , 1) B ( 3, 1 ) C ( , 0 ) D ( 1, 0 ) 例題 7：函數(shù) y 3 log3 x 的定義域?yàn)?)A、( ,9 B、 (0,27C 、 (0,9 D、( ,27例題 8：已知函數(shù) f（x）=lg（a2 1）x2（a1）x1，若 f（x） 的定義域?yàn)?R， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .例題 9、已知函數(shù)xx10xxf (x) x10x1100 x，判斷 f(x)的奇偶性和單調(diào)性。10x 10 x f(x) 10x 10 x102x 1102x 1,xR，f(10 x 10xx) 10 x 10x102x 1102x 1 f(x), x R f (x)

13、是奇函數(shù)2) f (x) 11002x102x1,x R.設(shè) x1,x21) ，且 x1 x2 ，則 f (x1) f (x2 )102x1 1102x1 1102x2 1102x2 12(102x1 102x2 )1)(102x1 1)(102x20， ( 102x1102x2) f (x) 為增函數(shù)。例題 10、已知函數(shù) f (x23)lgx22x，6(1) 求 f (x) 的定義域；(2) 判斷 f(x)的奇偶性。21) f (x2 3) lg 2xxx2lg x2 3333， f (x)lg xx 33x3又由2x2x0得6x2 3 3， f ( x)的定義域?yàn)?3,2) f (x) 的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f (x) 為非奇非偶函數(shù)。2例題 11：已知函數(shù) f(x) log3 mx 2 8x x1n 的定義域?yàn)?R ，值域?yàn)?0,2，求 m,n的值由 f (x)