(完整版)同濟(jì)大學(xué)___高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)要點(diǎn)函數(shù)與極限函數(shù)1 、函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；2 、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3 、初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)；4 、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；f (x) 在 x0連續(xù)lim f (x)f (x0)x x0第一類：左右極限均存在.可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)第二類：左右極限、至少有一個(gè)不存在無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5 、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理及其推論.極限1 、定義2 )數(shù)列極限lim xna0, N , n N , xnan3 ) 函數(shù)極限lim f (x) A 0,0, x,

2、 當(dāng) 0 x x0時(shí)， f (x) Ax x0左極限：f(x0 ) lim f (x)x x0右極限：f (x0 ) lim f (x)x x0lim f (x) A 存在x x0f (x0 ) f (x0 )2 、 極限存在準(zhǔn)則1 ) 夾逼準(zhǔn)則：1 )ynxnzn ( nn0 )2 )lim ynlim znalim xnannn2 )單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.3 、無窮小(大)量1 ) 定義：若lim 0則稱為無窮小量；若lim 則稱為無窮大量.2 ) 無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價(jià)無窮小、k 階無窮小Th1 o( ) ;Th2 , lim 存在，則lim lim4、

3、求極限的方法1 ) 單調(diào)有界準(zhǔn)則；2 )夾逼準(zhǔn)則；3 )極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；4) 兩個(gè)重要極限：a)sinx limx0 xb)1lim (1 x) x x0lim (1 1)x e xx5 ) 無窮小代換：( x 0 )a) x sin x tanx arcsinx arctanxb) 112 cosx x2c) ex1 xd) ln(1 x) xe) (1 x) 1 x導(dǎo)數(shù)定義： f (x0)lim f (x)x x0x1xlna)loga(1x) x lnaf (x0 ) x0f (x)f (x0)左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：f(x0 )lim0x x0xx0f (x)f (x0 )f(x0

4、)lim0x x0x x0函數(shù) f (x)在 x0點(diǎn)可導(dǎo)f (x0) f (x0)2 、幾何意義：f (x0 ) 為曲線y f (x) 在點(diǎn)x0 , f (x0 ) 處的切線的斜率.3 、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4 、求導(dǎo)的方法1 )導(dǎo)數(shù)定義；2 )基本公式；3 )四則運(yùn)算；4 )復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(鏈?zhǔn)椒▌t)；5 )隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6 )參數(shù)方程求導(dǎo)；7 )對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.5 、 高階導(dǎo)數(shù)d 2yddy1 ) 定義： dx2dx dxn(n) Ck (k) (n k)2 )Leibniz 公式： uvCn u vk0微分1 ) 定義： y f (x0x) f (x0 ) A x o( x) ，其中 A與 x無

5、關(guān) .2 ) 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微可導(dǎo)，且dy f (x0 ) x f (x0)dx三、 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一) 中 值定理1 、 Rolle 羅爾定理：若函數(shù)f (x) 滿足：1) f(x) Ca,b；2) f(x) D(a,b)；3) f(a) f(b)；則 (a,b),使 f ( ) 0.2 、 Lagrange 拉格朗日中值定理 ：若函數(shù)f(x) 滿足：1) f(x) Ca,b；2) f(x) D(a,b)；則 (a,b),使 f(b) f(a) f ( )(b a).3 、 Cauchy 柯西 中值定理：若函數(shù)f (x), F(x) 滿足：1) f(x),F(x) Ca,b

6、； 2) f(x),F(x) D(a,b)；3) F (x) 0,x (a,b)(a,b),使f(b)F(b)f (a)F(a)f()F()洛 必達(dá)法則Taylor 公式單 調(diào)性及極值1 、 單調(diào)性判別法：f (x) Ca,b ， f (x) D(a,b)，則若 f (x) 0，則f (x) 單調(diào)增加；則若f (x) 0 ，則 f (x) 單調(diào)減少 .2 、極值及其判定定理：a) 必要條件：f (x) 在 x0可導(dǎo)，若x0為 f (x) 的極值點(diǎn)，則f (x0) 0.b) 第一充分條件：f (x) 在 x0的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 f (x0) 0， 則若當(dāng)x x0時(shí)， f (x) 0， 當(dāng) x x0

7、時(shí)，f (x) 0， 則 x0為極大值點(diǎn)；若當(dāng) x x0時(shí)， f (x) 0，當(dāng) x x0時(shí)，f (x) 0，則x0為極小值點(diǎn)；若在x0的兩側(cè) f (x) 不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn).c) 第二充分條件：f (x) 在 x0處二階可導(dǎo)，且f (x0) 0， f (x0) 0，則若 f (x0) 0，則x0為極大值點(diǎn)；若f (x0) 0，則x0為極小值點(diǎn).3 、凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)x1 x2f (x1 ) f (x2 )1 ) f(x)在區(qū)間 I 上連續(xù)， 若x1,x2 I, f( 1 2 2)1 22 ， 則稱 f(x)在x1 x2f (x1) f (x2)區(qū)間 I 上的圖形是凹的；若x1,x2

8、 I , f( 1 2 2)1 22 ， 則稱 f(x) 在區(qū)間 I 上的圖形是凸的.2)判定定理：f (x) 在 a,b 上連續(xù)，在(a, b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則a) 若x(a,b), f (x)0,則f(x)在a,b上的圖形是凹的；b) 若x(a,b), f (x)0,則f(x)在a,b上的圖形是凸的.3)拐點(diǎn)：設(shè)y f (x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，x0是 f (x) 的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線y f (x)經(jīng)過點(diǎn)(x0, f (x0) 時(shí)，曲線的凹凸性改變了，則稱點(diǎn)(x0, f(x0)為曲線的拐點(diǎn).不 等式證明1 、利用微分中值定理；2 、利用函數(shù)單調(diào)性；3 、利用極值(最值).方 程根的討論

9、1 、連續(xù)函數(shù)的介值定理；2 、Rolle 定理；3 、函數(shù)的單調(diào)性；4 、極值、最值；5 、凹凸性 .漸 近線1 、鉛直漸近線：lim f (x) ，則xa為一條鉛直漸近線；xa2 、水平漸近線：lim f (x)b ，則yb為一條水平漸近線；x不定積分概 念和性質(zhì)1、 、 原函數(shù)：在區(qū)間I 上，若函數(shù)F (x)可導(dǎo)，且F (x) f (x) ，則 F(x) 稱為f (x) 的一個(gè)原函數(shù).2、 不定積分：在區(qū)間 I 上， 函數(shù) f (x) 的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為f (x) 在區(qū)間 I 上的不定積分.3、 基本積分表(P188 ， 13 個(gè)公式) ；4、 性質(zhì)(線性性).換 元積分法1 、

10、 第一類換元法(湊微分)： f (x) (x)dx f (u)du u (x)2 、 第 二 類 換 元 法 ( 變 量 代 換 ： 三 角 代 換 、 倒 代 換 、 根 式 代 換 等 ) ：f (x)dx f (t) (t)dt 1 t (x)分 部積分法：udv uv vdu (反對(duì)冪指三，前U 后 V )有 理函數(shù)積分1 、 “拆”；2、變量代換(三角代換、倒代換、根式代換等).五、 定積分概 念與性質(zhì)：1、定義：bf (x)dxalim0i1f ( i ) xi2、 性質(zhì)： ( 7 條)性質(zhì) 7 (積分中值定理)f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則a,b，使f (x)dxf ( )(b a)f( )bf (x)dx aba微 積分基本公式(N L 公式)x1 、 變上限積分：設(shè)(x) a f (t)dt，則 (x) f (x)d (x)推廣： d f (t)dt f (x) (x) f (x) (x)dx (x)b2、N L 公式： 若 F(x)為 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)，則 a f (x)dx F(b) F (a)換 元法和分部積分b1 、 換元法：a f (x)dx f (t) (t)dtbbb2 、分部積分法：udv uv a vduaa反 常積分1 、 無窮積分：tf (x)dx lim f (x)dxatabbf (x)dx lim f (x)dx0f