選修2-3_12排列與組合

1、 問題問題1：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另名同學(xué)參加下名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 分析：把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙分析：把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙3名同學(xué)中選名同學(xué)中選2名，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午的活動(dòng)在后的名，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午的活動(dòng)在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法？順序排列，求一共有多少種不同的排法？ 第一步：確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)即從第一步：確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)即從3名中任名中任選選1名，有名，有3種

2、選法種選法.第二步：確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，有第二步：確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，有2種方法種方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：32=6 即共即共6種方法。種方法。 從從3個(gè)不同的元素個(gè)不同的元素a,b,c中任取中任取2個(gè)，然后按照一定個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb 問題問題2：從從1，2，3，4這這4個(gè)數(shù)中，每次取出個(gè)數(shù)中，每次取出3個(gè)排個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？(1)有順序的有順序的(2)不論是排列之前，還是之

3、后，所有的元素都不相等不論是排列之前，還是之后，所有的元素都不相等?1、元素不能重復(fù)。、元素不能重復(fù)。n個(gè)中不能重復(fù)，個(gè)中不能重復(fù)，m個(gè)中也不能重復(fù)。個(gè)中也不能重復(fù)。2、“按一定順序按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個(gè)問題就是與位置有關(guān)，這是判斷一個(gè)問題是是 否是排列問題的關(guān)鍵。否是排列問題的關(guān)鍵。3、兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相、兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相 同，而且元素的排列順序也完全相同。同，而且元素的排列順序也完全相同。4、mn時(shí)的排列叫全排列。時(shí)的排列叫全排列。5、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)

4、也不遺漏，最好 采用采用“樹形圖樹形圖”。排列數(shù)：排列數(shù)：mnA 從從n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的排列個(gè)元素的排列數(shù)。用符號(hào)數(shù)。用符號(hào) 表示。表示。mnA23326A344 3 224A 23A 問題問題1 中是求從中是求從3個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的個(gè)元素的排列數(shù)，記為排列數(shù)，記為:34A 問題問題2 中是求從中是求從4個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排個(gè)元素的排列數(shù)，記為列數(shù)，記為:2nA從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排

5、列數(shù)個(gè)元素的排列數(shù) 是多少？是多少？第第1位位第第2位位nn-1An3An2)1( nn)2)(1( nnn第第1位位第第2位位第第3位位n-2nn-13nA同理同理 可以這樣計(jì)算可以這樣計(jì)算)1()2( )1( mnnnnAmn1 mn)(mnAmn )1()2( )1( mnnnnAmn,m nNmn123)2)(1( nnnAnn正整數(shù)正整數(shù)1到到n的連乘積，叫做的連乘積，叫做n的階乘的階乘，用，用n!表示，表示，！nAn n所以所以n個(gè)不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成個(gè)不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成另外，我們規(guī)定另外，我們規(guī)定0!1)!(!mnn 12)(12)(1( )1( mnmnm

6、nnn)1()2( )1( mnnnnAmn例例1 計(jì)算：計(jì)算：3101 A）（5182 A）（131318183AA ）（518A13131818AA 89101569nA17 16 155 4mnA ,nN(55)(56)(68)(69)nnnn)16,( )16(.) 1)( (3)axNaxxaxax9199A 12nnA 15a16xA 99.11109 (1) ?nn) 1(.1413 (2) 214A3560A=( (種種) )35125=( (種種) )648899181919 AAA6488992919 AA或或A310.648898910 A310A 29A29322999

7、648AAA 29A29A39A3000551515 AAA72066 A例例6 (6)若甲不在排頭若甲不在排頭,乙不在排尾乙不在排尾,有多少種不同的排法有多少種不同的排法?77A66A66A55A 5566772AAA例例6 (6)若甲不在排頭若甲不在排頭,乙不在排尾乙不在排尾,有多少種不同的排法有多少種不同的排法?解法二（間接法）：解法二（間接法）：所有排法中除去不符合的所有排法中除去不符合的.所有排法：所有排法：甲在排頭：甲在排頭：乙在排尾：乙在排尾：甲在排頭、乙在排尾：甲在排頭、乙在排尾：共有：共有：3720種方法種方法解解:甲、乙合在一起有甲、乙合在一起有A22種排法種排法,與另五個(gè)

8、同學(xué)全排列有與另五個(gè)同學(xué)全排列有A66種排法，種排法，共有共有N= A22 A66=720捆 綁 法捆 綁 法3600226677AAA36002655AA55A26A插空法插空法A44A53=1440其余四人在其余四人在7個(gè)位置中選個(gè)位置中選4個(gè)，有個(gè)，有:A74方法，方法，共有共有N= A741=840種站法種站法.25202177 A252057 A或或插空法插空法288443322 AAA（種）14403544 AA插空法插空法480。44A24A44A2444AA44A14A44A1444AA14A44A1444AA214444442121504AAAA所以符合條件的排法共有所以符合

9、條件的排法共有 種種44A24A44A2444AA44A14A44A1444AA14A44A1444AA214444442121504AAAA所以符合條件的排法共有所以符合條件的排法共有 種種66A55A55A44A6546542504AAA623673AAA1010A而基本事件總數(shù)為而基本事件總數(shù)為 個(gè)個(gè);6236731010120AAAPA24A244 4192A 種所以共有所以共有 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)32342 2 2576AA 236A 3有有順順序序無無順順序序組合定義組合定義: 一般地一般地,從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素）個(gè)元素并并成一組成一組,叫做從叫做從n個(gè)不同

10、元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)組合組合.排列與組合有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？排列與組合有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？mnC記作記作34C34Aa b c b a c c a ba c b b c a c b aa b d b a d d a ba d b b d a d b aa c d c a d d a ca d c c d a d c ab c d c b d d b cb d c c d b d c b33A=從從a, b, c, d這四個(gè)字母中選三個(gè)的組合與排列的關(guān)系：這四個(gè)字母中選三個(gè)的組合與排列的關(guān)系：mmmnmnACA mmmnmnAAC !121mmnnnnAACm

11、mmnmn !mnmnCmn !mnnAmn 477 6 5 4354!C 10, nNn46613123030312830 CCCC47CnnnnCC321383 （2） nnnn321383, 5 .105 . 9 n11 mnmnCmnmC)!( !mnmnCmn 111!(1)!(1)!mnmmnCnmnmmnm1!(1)! ()(1)!mnmnm nm!()!nm nm11 mnmnCmnmCmnnmnCC 11 mnmnmnCCC47C37C3100C329999CC6458882CCC6659109CCC9495969796979899CCCC6554)8888()(CCCC21

12、04106105969CCCC6566699101010()0CCCCC66559999()0CCCC93949596979394959697939696979899969797989996CCCCCCCCCCC9596979396979398989996999996979333100961009618820CCCCCCCCCCC)55(27, 5522 xxxxxx或或, 8, 4, 5, 1, 0324, 056432122 xxxxxxxx或或NxNxx 55 ,22755 ,272 xxx8 x. 5, 4, 1 xxx2552727xxxCC例例4 解方程解方程(1)112311nn

13、nnnnnnCCCC(2)解解 (1)原方程化為：原方程化為：且且不合題意，舍去，不合題意，舍去，2112123nnnnCCCC 2221222nnnnCCCC 212nnCC 4 n(2)原方程化為：原方程化為： 種種123761117 C 例例1 一位教練的足球隊(duì)共有一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員名初級(jí)學(xué)員,他們中他們中以前沒有一人參加過比賽以前沒有一人參加過比賽,按照足球比賽規(guī)則按照足球比賽規(guī)則,比賽時(shí)一比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人人.問問:簡(jiǎn)單的組合問題簡(jiǎn)單的組合問題 (1)這位教練從這這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上

14、場(chǎng)方案上場(chǎng)方案?種種有有1117C種種有有111C 種種1361361111117 CC 條條452910210 C 條條90910210 A1413602103446410 CC所以有所以有 個(gè)三棱錐個(gè)三棱錐. 即不考慮限制后，減去即不考慮限制后，減去4個(gè)面上個(gè)面上4點(diǎn)共面虛構(gòu)的、點(diǎn)共面虛構(gòu)的、6條棱上三點(diǎn)共線虛構(gòu)的和條棱上三點(diǎn)共線虛構(gòu)的和3對(duì)平行中位線對(duì)平行中位線4點(diǎn)共面虛構(gòu)的點(diǎn)共面虛構(gòu)的.又每一面上6點(diǎn)，僅確定6個(gè)不同凸四邊形，和不在該面上的另外4點(diǎn)之一為第5個(gè)頂點(diǎn),可做成四棱錐 又每對(duì)平行的中位線段為四邊形二邊可確定一個(gè)底面四邊形，另取其余6點(diǎn)之一為第5個(gè)頂點(diǎn)，可做四棱錐1544342

15、414 CCCC360132436 CCC 種種1617002398991003100 C12C298C950629812 CC 種種96041982229812 CCCC 種種96043983100 CC5638 C 27C37C 38C或2127 C3537 C323936C C 0539126C C 1419126C C 1439378C C 231405393939(5)756C CC CC C方法一：5321239756CC C方法二：322314393939(6)666C CC CC C方法一：5051239666CC C方法二：5100C（1 1）597C（2 2）23973CC

16、（3 3）（4 4）413223973973973CCCCCC5510097CC，或，或（5 5）504132973973973CCCCCC23973CC（6 6） 例例3 在產(chǎn)品檢驗(yàn)中在產(chǎn)品檢驗(yàn)中,常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查查.現(xiàn)有現(xiàn)有100件產(chǎn)品件產(chǎn)品,其中其中3件次品件次品,97件正品件正品.要抽出要抽出5件件進(jìn)進(jìn)行檢查行檢查,根據(jù)下列各種要求根據(jù)下列各種要求,各有多少種不同的抽法？各有多少種不同的抽法？(2)全是正品；全是正品；(1)無任何限制條件；無任何限制條件；(3)只有只有2件正品；件正品；(4)至少有至少有1件次品；件次品；(5)至多有至多有2件次品；件次品；(6)次品最多次品最多.1313CC 11313 CC1415CC 30114151313 CCCC1715CC 1213CC 1213CC 30112131517 CCCC371522CCC 362512CCC 3535CC 371522CCC 362512CCC6753535 CC24C34C44C83443424 CCC（個(gè)）1434CC 1434CC 2424CC 14342CC58642424 CC48C581248 C2036 C35C32802335 C37C222727C AA17C3221772784CC AC698