小波變換原理與應(yīng)用

1、1小波變換原理及其應(yīng)用案例介紹小波變換原理及其應(yīng)用案例介紹Wavelet Transform Theory and Applications Introduction數(shù)學(xué)中的顯微鏡小波 饒利強(qiáng)饒利強(qiáng)電機(jī)與電器電機(jī)與電器2主要內(nèi)容主要內(nèi)容1. 小波的發(fā)展歷史2.小波變換與傅里葉變換的比較3.小波變換的基本原理與性質(zhì)4.幾種常用的小波簡介5.小波變換的應(yīng)用領(lǐng)域6.小波分析應(yīng)用前景7.小波變換的去噪應(yīng)用8.小波分析面臨的主要問題31.小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué) 小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，

2、當(dāng)時未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。幸運(yùn)的是，1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的同一方法棗多尺度分析之后，小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來。 小波變換是近十幾年新發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)工具,是繼一百多年前的傅里葉(Fourier)分析之后的又一個重大突破,它對無論是古老的自然學(xué)科還是新興的高新應(yīng)用技術(shù)學(xué)科均產(chǎn)生了強(qiáng)烈的沖擊。41.小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué)1909: Alfred Haar發(fā)現(xiàn)了Haar小波1980：MorletMorlet小波，并分別與20世紀(jì)70年代提出了小波變換的概念，20世紀(jì)80年代開發(fā)出了連續(xù)小波變換CWT（ conti

3、nuous wavelet transform ）1986：Y.Meyer提出了第一個正交小波Meyer小波1988： Stephane MallatMallat快速算法（塔式分解和重構(gòu)算法）51.小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué) 1988： Inrid Daubechies作為小波的創(chuàng)始人，揭示了小波變換和濾波器組(filter banks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實(shí)。 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn)在信號處理領(lǐng)域中，自從Inrid Daubechies完善了小波變換的數(shù)學(xué)理論和Steph

4、ane Mallat構(gòu)造了小波分解和重構(gòu)的快速算法后，小波變換在各個工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，典型的如語音信號處理、醫(yī)學(xué)信號處理、圖像信息處理等。62.小波變換與傅里葉變換的比較 小波分析是在傅里葉分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，但小波分析與傅里葉分析存在著極大的不同，與Fourier變換相比，小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運(yùn)算功能可對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學(xué)科。 72.小波變換與傅里葉變換的比較 傅立葉

5、變換的理論是人類數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個里程碑，從1807年開始，直到1966年整整用了一個半世紀(jì)多才發(fā)展成熟，她在各個領(lǐng)域產(chǎn)生了深刻的影響得到了廣泛的應(yīng)用，推動了人類文明的發(fā)展。其原因是傅立葉理論不僅僅在數(shù)學(xué)上有很大的理論價值，更重要的是傅立葉變換或傅立葉積分得到的頻譜信息具有物理意義。遺憾的是，這種理論具有一定的局限性。 用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時域信息。 傅立葉變換沒有反映出隨著時間的變化信號頻率成分的變化情況。 傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號的突變成分。 由于上述原因，必須進(jìn)一步改進(jìn)，克服上述不足，這就導(dǎo)致了小波分析。 82.小波變換與傅里葉變換的比較 （1）克服第

6、一個不足：小波系數(shù)不僅像傅立葉系數(shù)那樣，是隨頻率不同而變化的，而且對于同一個頻率指標(biāo)j， 在不同時刻 k，小波系數(shù)也是不同的。 （2）克服第二個不足：由于小波函數(shù)具有緊支撐的性質(zhì)即某一區(qū)間外為零。這樣在求各頻率水平不同時刻的小波系數(shù)時，只用到該時刻附近的局部信息。從而克服了上面所述的第二個不足。 （3）克服第三個不足：通過與加窗傅立葉變換的“時間頻率窗”的相似分析，可得到小波變換的“時間頻率窗”的笛卡兒積。小波變換的“時間-頻率窗”的寬度，檢測高頻信號時變窄，檢測低頻信號時變寬。這正是時間-頻率分析所希望的。根據(jù)小波變換的 “時間頻率窗” 的寬度可變的特點(diǎn)，為了克服上面所述的第三個不足，只要不

7、同時檢測高頻與低頻信息，問題就迎刃而解了。93.小波變換的基本原理與性質(zhì) 小波是什么？ 小波可以簡單的描述為一種函數(shù)，這種函數(shù)在有限時間范圍內(nèi)變化，并且平均值為0。這種定性的描述意味著小波具有兩種性質(zhì):A、具有有限的持續(xù)時間和突變的頻率和振幅；B、在有限時間范圍內(nèi)平均值為0。103.小波變換的基本原理與性質(zhì) 小波的“容許”條件 用一種數(shù)學(xué)的語言來定義小波，即滿足“容許”條件的一種函數(shù)，“容許”條件非常重要，它限定了小波變換的可逆性。 小波本身是緊支撐的，即只有小的局部非零定義域，在窗口之外函數(shù)為零；本身是振蕩的，具有波的性質(zhì)，并且完全不含有直流趨勢成分，即滿足 )()(xdC2)(0)()0(

8、dxx113.小波變換的基本原理與性質(zhì) 信號的信息表示時域表示：信號隨時間變化的規(guī)律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精細(xì)的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布參數(shù)）頻域表示：信號在各個頻率上的能量分布，信息為頻率和譜值（頻譜或功率譜），為了精確恢復(fù)原信號，需要加上相位信息（相位譜），典型的工具為FT時頻表示：時間和頻率聯(lián)合表示的一種信號表示方法，信息為瞬時頻率、瞬時能量譜 信號處理中，對不同信號要區(qū)別對待，以選擇哪種或者哪幾種信號表示方法123.小波變換的基本原理與性質(zhì) 平穩(wěn)信號 非平穩(wěn)信號 不滿足平穩(wěn)性條件至少是寬平穩(wěn)條件的信號),;,(),;,(21212121nnnnttt

9、xxxftttxxxf)(),()()(),()()(2122121txEttRtxtxEttRmdxxxftxExxx133.小波變換的基本原理與性質(zhì) 信號的時域表示和頻域表示只適用于平穩(wěn)信號，對于非平穩(wěn)信號而言，在時間域各種時間統(tǒng)計量會隨著時間的變化而變化，失去統(tǒng)計意義；而在頻率域，由于非平穩(wěn)信號頻譜結(jié)構(gòu)隨時間的變化而變化導(dǎo)致譜值失去意義00.511.52-1-0.500.51信 號 x(t)的 時 域 波 形時 間 t/s幅度 A0102030405000.10.20.30.40.5信 號 x(t)的 單 邊 頻 譜頻 率 f/Hz|Y(f)|143.小波變換的基本原理與性質(zhì) 時頻表示主

10、要目的在于實(shí)現(xiàn)對非平穩(wěn)信號的分析，同樣的可以應(yīng)用于平穩(wěn)信號的分析153.小波變換的基本原理與性質(zhì) 為什么選擇小波 小波提供了一種非平穩(wěn)信號的時間-尺度分析手段，不同于FT方法，與STFT方法比較具有更為明顯的優(yōu)勢163.小波變換的基本原理與性質(zhì)173.小波變換的基本原理與性質(zhì)183.小波變換的基本原理與性質(zhì) 小波變換的定義： 小波變換是一種信號的時間尺度（時間頻率）分析方法，它具有多分辨分析的特點(diǎn)，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較低的時間分辨率和較高的頻率分辨率，在高頻部分具有較高

11、的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于分析非平穩(wěn)的信號和提取信號的局部特征，所以小波變換被譽(yù)為分析處理信號的顯微鏡。在處理分析信號時，小波變換具有對信號的自適應(yīng)性，也是是一種優(yōu)于傅里葉變換和窗口傅里葉變換的信號處理方法。193.小波變換的基本原理與性質(zhì) 小波變換原理203.小波變換的基本原理與性質(zhì) 關(guān)于小波有兩種典型的概念：連續(xù)小波變換，離散小波變換 連續(xù)小波變換定義為 可見，連續(xù)小波變換的結(jié)果可以表示為平移因子a和伸縮因子b的函數(shù)RbabadtttxttxbaCWTf)()()(),(),(*,dtabtatxdtttxttxbaCWTfRRbaba)()()()()(),(),(21,2

12、13.小波變換的基本原理與性質(zhì)多分辨分析傅立葉分解過程小波分解過程223.小波變換的基本原理與性質(zhì)多分辨分析 伸縮因子對小波的作用02468-101sin(t)-a=102468-101sin(2t)-a=1/2幅度 A02468-101sin(4t)-a=1/4時 間 t-10-50510-101morlet-a=1-10-50510-101morlet-a=1/2-10-50510-101morlet-a=1/4233.小波變換的基本原理與性質(zhì)多分辨分析 平移因子對小波的作用 平移因子使得小波能夠沿信號的時間軸實(shí)現(xiàn)遍歷分析，伸縮因子通過收縮和伸張小波，使得每次遍歷分析實(shí)現(xiàn)對不同頻率信號的逼

13、近243.小波變換的基本原理與性質(zhì)多分辨分析 連續(xù)小波變換實(shí)現(xiàn)過程首先選擇一個小波基函數(shù)，固定一個尺度因子，將它與信號的初始段進(jìn)行比較 ；通過CWT的計算公式計算小波系數(shù)（反映了當(dāng)前尺度下的小波與所對應(yīng)的信號段的相似程度）；改變平移因子，使小波沿時間軸位移，重復(fù)上述兩個步驟完成一次分析；增加尺度因子，重復(fù)上述三個步驟進(jìn)行第二次分析；循環(huán)執(zhí)行上述四個步驟，直到滿足分析要求為止。253.小波變換的基本原理與性質(zhì)多分辨分析263.小波變換的基本原理與性質(zhì)多分辨分析 小波逆變換 如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的dtdaatbaCWTfCtxba 02,1)(),(1)(d

14、tdaaabtabaCWTfC22101)(),(1 273.小波變換的基本原理與性質(zhì) 連續(xù)小波變換的性質(zhì)疊加性（線性）時移不變性尺度特性微分特性內(nèi)積定理能量守恒特性冗余性283.小波變換的基本原理與性質(zhì) 離散小波變換DWT（ discrete wavelet transform，DWT ）定義 對尺度參數(shù)按冪級數(shù)進(jìn)行離散化處理，對時間進(jìn)行均勻離散取值 （要求采樣率滿足尼奎斯特采樣定理）RmmnmdtnttxttxnmDWTx)2()(2)(),(),(2,293.小波變換的基本原理與性質(zhì) 離散小波變換的可逆問題框架理論 DWT的可逆問題蘊(yùn)含的是DWT的表達(dá)能夠完整的表達(dá)待分析信號的全部信息，

15、這就需要數(shù)學(xué)上的框架理論作為支撐了，如果對于所有的待分析信號滿足框架條件，那么DWT就是可逆的RBAtxBttxtxAnmnm,)()(),()(22,2ZnnmnmtCtx)()(,303.小波變換的基本原理與性質(zhì) 正交小波變換與多分辨分析 多分辨分析也稱為多尺度分析，是建立在函數(shù)空間概念上的理論。它構(gòu)造了一組正交基，使得尺度空間與小波空間相互正交。隨著尺度由大到小的變化，可在各尺度上由粗及精地觀察目標(biāo)。這就是多分辨率分析的思想。在離散小波框架下，小波系數(shù)在時間-尺度空間域上仍然具有冗余性，在數(shù)值計算或數(shù)據(jù)壓縮等方面仍然希望這種冗余度盡可能的小。在小波變換發(fā)展過程中，Stromberg、Me

16、yer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的構(gòu)造了不同形式的小波基函數(shù)的基礎(chǔ)上，是Meyer和Mallat將小波基函數(shù)的構(gòu)造納入到了一個統(tǒng)一的框架中，形成了多分辨分析理論。多分辨率分析理論不但將在那時之前的所有正交小波基的構(gòu)造統(tǒng)一了起來，而且為此后的小波基的構(gòu)造設(shè)定了框架。313.小波變換的基本原理與性質(zhì) 正交小波變換與多分辨分析 對于小波基函數(shù)為 ，如果函數(shù)族 構(gòu)成 內(nèi)的正交基，就稱小波為正交小波，在正交小波基礎(chǔ)上進(jìn)行的小波變換稱為正交小波變換，只有滿足正交小波變換才可稱為多分辨分析，正交小波變換是完全沒有冗余的，非常適合做數(shù)據(jù)壓縮。 Zkjkttjjkj ,)()

17、(/,222)(t)(2RL32小波的快速算法Mallat算法4在多分辨分析的討論中，可以看到正交小波變換可以等效為一組鏡像濾波的過程，即信號通過一個分解高通濾波器和分解低通濾波器，自然的高通濾波器輸出對應(yīng)的信號的高頻分量部分，稱為細(xì)節(jié)分量，低通濾波器輸出對應(yīng)了信號的相對較低的頻率分量部分，稱為近似分量。對應(yīng)的快速算法稱為Mallat算法33小波的快速算法Mallat算法4濾波分解算法帶來一個新的問題，就是針對離散的數(shù)據(jù)序列，經(jīng)過濾波分解會得到多于原數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的數(shù)據(jù)序列。比如，原數(shù)據(jù)序列有1000個采樣點(diǎn)，經(jīng)過濾波分解后，會得到1000點(diǎn)的近似分量序列和1000點(diǎn)的細(xì)節(jié)分量序列，這樣就得到了20

18、00個采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，在小波變換的Mallat算法實(shí)現(xiàn)中，可以利用降采樣的方法即在輸出的兩點(diǎn)中只取一個數(shù)據(jù)點(diǎn)，這樣產(chǎn)生兩個為原信號數(shù)據(jù)長度一半的序列，稱為簡單記為cA和cD，雖然近似分量和細(xì)節(jié)分量的數(shù)據(jù)長度僅為原信號序列的一半，但是卻完整的包含的原信號的信息內(nèi)容。 34小波的快速算法Mallat算法4Mallat算法的降采樣35小波的快速算法Mallat算法4小波分解樹36小波的快速算法Mallat算法4到此我們已經(jīng)知道離散小波變換是怎么樣分析或者怎樣來分解一個信號，這個過程通常也稱為分解分析，那么自然想到另外一個對應(yīng)的問題就是如何將這些分解得到分量能夠整合到一起恢復(fù)原信號并且沒有任何的信息損失，

19、這一過程就稱為小波重構(gòu)或者小波合成，實(shí)質(zhì)上就是逆離散小波變換（Inverse Discrete Wavelet Transform，簡稱：IDWT）。在離散小波變換或小波分解的過程中包含了濾波和降采樣，那么在小波重構(gòu)過程中需要進(jìn)行過采樣和濾波。過采樣是通過在相鄰采樣點(diǎn)之間插入零值的來實(shí)現(xiàn)的，利用過采樣可以使得信號分量的長度增加為原來的兩倍，以達(dá)到和需要重構(gòu)信號一致的采樣數(shù)據(jù)長度。 37小波的快速算法Mallat算法38小波的快速算法Mallat算法4塔式分解和重構(gòu)示意圖39小波的快速算法Mallat算法4局部分量的重構(gòu) 在一些工程應(yīng)用中，只需要關(guān)心信號中的某個分量，此時對細(xì)節(jié)分量和近似分量的單

20、獨(dú)重構(gòu)成為必要，通過將其他分量系數(shù)置零的方式，利用Mallat算法是非常容易的40小波包分解算法精細(xì)化處理4小波包分析可以看作是小波分解的一種推廣方法，利用小波包進(jìn)行分析可以得到對信號更為精細(xì)的分析結(jié)果。通過將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對多分辨分析沒有細(xì)分的高頻分量部分進(jìn)行進(jìn)一步的分解，并根據(jù)被分析信號特征，通過自適應(yīng)的選擇相應(yīng)頻帶，達(dá)到與信號頻譜的匹配，實(shí)現(xiàn)精細(xì)化處理。小波包原子是一種被時間、尺度和頻率來表征的函數(shù)波形，對于一個給定的正交小波函數(shù)，我們能夠在此基礎(chǔ)上生成一組基，這組基一般稱為小波包基。簡單的說，小波包就是一個函數(shù)族，可以由這組函數(shù)族構(gòu)造出L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基庫，從這組標(biāo)準(zhǔn)正交基庫

21、中可以選擇出多組標(biāo)準(zhǔn)正交基，對于多分辨分析小波變換（正交小波變換）只是選擇了其中的一組基，從這個意義上講小波包就是小波變換的一種推廣。41小波包分解算法精細(xì)化處理 小波包分解樹424.幾種常用的小波簡介 經(jīng)過十多年的發(fā)展,科學(xué)家們已經(jīng)設(shè)計出了幾種在工程技術(shù)領(lǐng)域有非常重要應(yīng)用的小波函數(shù),在這里作一簡單介紹. 1. Morlet小波,它是高斯包絡(luò)下的單頻率復(fù)正弦函數(shù):434.幾種常用的小波簡介2. Marr小波,也叫墨西哥草帽小波,它是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).444.幾種常用的小波簡介454.幾種常用的小波簡介465.小波變換的應(yīng)用領(lǐng)域 事實(shí)上小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信

22、號分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機(jī)分類與識別，音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面。47小波分析在地球物理勘探中的應(yīng)用 （1）地震數(shù)據(jù)壓縮。將地震記錄作小波變換，變換后的結(jié)果做閾值量化，去除大量接近于零的值，用一定的記錄方式把結(jié)果存儲起來，達(dá)到壓縮的目的。當(dāng)需要再利用這些地震數(shù)據(jù)時，作小波逆變換恢復(fù)原來的地震記錄。 （2）油氣預(yù)測。地球物理勘探中，尋求地殼物質(zhì)物性參數(shù)的奇異性是非常有意義的。例如，斷層會使重力異常產(chǎn)生的較大變化；在地殼介質(zhì)的分界面處，地震波的傳播會產(chǎn)生速度和方向的變化，這些都是地球物理信號的奇異性

23、。判斷出奇異性的大小和位置就可以對異常現(xiàn)象做出解釋。48小波分析用于信號和圖像處理 （1）數(shù)據(jù)壓縮。隨著科學(xué)技術(shù)特別是計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展以及互聯(lián)網(wǎng)的普及，許多應(yīng)用領(lǐng)域（如衛(wèi)星監(jiān)測、地震勘探、天氣預(yù)報）都存在海量數(shù)據(jù)傳輸或存儲問題，如果不對數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，數(shù)量巨大的數(shù)據(jù)就很難存儲、處理和傳輸。因此，伴隨小波分析的誕生，數(shù)據(jù)壓縮一直是小波分析的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一，并由此帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益和社會效益。 （2）語音分析與處理。小波理論應(yīng)用于語音分析與處理的主要內(nèi)容包括：清/濁音分割；基音檢測與聲門開啟時刻定位；去噪、壓縮、重建幾個方面。49腦電圖中尖波的檢測 小波變換突出局部特征的能力是它成為檢測瞬態(tài)突變的

24、有力手段.傳統(tǒng)上常用的檢測手段是匹配濾波和傅里葉變換,但前者需要有關(guān)于待檢測信號的先驗(yàn)知識,后者則主要對長期持續(xù)的周期性信號有效,而小波變換適于檢測低能量的短時瞬變,而且不需要很多先驗(yàn)知識,腦電圖中偶爾發(fā)生的幅度較大,持續(xù)時間較短的尖峰狀瞬態(tài)稱為尖波,它往往和腦電圖中的癲癇有聯(lián)系,小波變換是檢測尖波的有效手段,經(jīng)過小波變換后的尖波會更加突出.506.小波分析應(yīng)用前景 （1） 瞬態(tài)信號或圖像的突變點(diǎn)常包含有很重要的故障信息，例如，機(jī)械故障、電力系統(tǒng)故障、腦電圖、心電圖中的異常、地下目標(biāo)的位置及形狀等，都對應(yīng)于測試信號的突變點(diǎn)。因此，小波分析在故障檢測和信號的多尺度邊緣特征提取方面的應(yīng)用具有廣泛的

25、應(yīng)用前景。 （2） 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與小波分析相結(jié)合，分形幾何與小波分析相結(jié)合是國際上研究的熱點(diǎn)之一。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能處理技術(shù)，模糊計算、進(jìn)化計算與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的研究，沒有小波理論的嵌入很難取得突破。非線性科學(xué)的研究正呼喚小波分析，也許非線性小波分析是解決非線性科學(xué)問題的理性工具。516.小波分析應(yīng)用前景 （3）小波分析用于數(shù)據(jù)或圖像的壓縮，目前絕大多數(shù)是對靜止圖像進(jìn)行研究的。面向網(wǎng)絡(luò)的活動圖像壓縮，長期以來是采用離散余弦變換（DCT）加運(yùn)動補(bǔ)償（Mc）作為編碼技術(shù)，然而，該方法存在兩個主要的問題：方塊效應(yīng)和蚊式噪聲。利用小波分析的多尺度分析不但可以克服上述問題，而且可首先得到粗尺度上圖像的輪廓，然

26、后決定是否需要傳輸精細(xì)的圖案，以提高圖像的傳輸速度。因此研究面對網(wǎng)絡(luò)的地速率圖像壓縮的小波分析并行算法，具有較高探索性和新穎性。同時也具有較高的應(yīng)用價值和廣泛的應(yīng)用前景。（4）目前使用的二維及高維小波基主要是可分離的。不可分離二維及高維小波基的構(gòu)造、性質(zhì)應(yīng)用研究，由于理論上較為復(fù)雜，這方面的成果甚少。也許向量小波及高維小波的研究能夠?yàn)樾〔ǚ治龅膽?yīng)用開創(chuàng)一個新天地。527.小波變換的去噪應(yīng)用小波降噪原理 從信號學(xué)的角度看 ,小波去噪是一個信號濾波的問題。盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波 ,但由于在去噪后 ,還能成功地保留信號特征 ,所以在這一點(diǎn)上又優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器。由此可見 ,小波

27、去噪實(shí)際上是特征提取和低通濾波的綜合 ,其流程框圖如下圖所示：特征提取低通濾波特征信號重建信號帶噪信號537.小波變換的去噪應(yīng)用 小波分析的重要應(yīng)用之一就是用于信號消噪 ,一個含噪的一維信號模型可表示為如下形式： k=0.1.n-1 其中 ,f( k)為有用信號,s(k)為含噪聲信號,e(k)為噪聲,為噪聲系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 假設(shè)e(k)為高斯白噪聲,通常情況下有用信號表現(xiàn)為低頻部分或是一些比較平穩(wěn)的信號,而噪聲信號則表現(xiàn)為高頻的信號,下面對 s(k)信號進(jìn)行如圖結(jié)構(gòu)的小波分解,則噪聲部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要對 Cd1,Cd2,Cd3作相應(yīng)的小波系數(shù)處理,然后對信號進(jìn)行重構(gòu)即

28、可以達(dá)到消噪的目的。 (k)( )( )Sf ke k547.小波變換的去噪應(yīng)用SCa1Cd1Ca2Cd2Ca3Cd3557.小波變換的去噪應(yīng)用降噪方法 一般來說， 一維信號的降噪過程可以分為 3個步驟進(jìn)行： 1）一維信號的小波分解，選擇一個小波并確定一個小波分解的層次N，然后對信號進(jìn)行N層小波分解計算。 2）小波分解高頻系數(shù)的閾值量化，對第1層到第N層的每一層高頻系數(shù)， 選擇一個閾值進(jìn)行軟閾值量化處理 567.小波變換的去噪應(yīng)用 3）一維小波的重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第 N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過量化處理后的第1層到第N 層的高頻系數(shù)，進(jìn)行一維信號的小波重構(gòu)。在這 3個步驟中，最核心的就是如何選取閾值

29、并對閾值進(jìn)行量化，在某種程度上它關(guān)系到信號降噪的質(zhì)量在小波變換中，對各層系數(shù)所需的閾值一般根據(jù)原始信號的信號噪聲比來選取，也即通過小波各層分解系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來求取，在得到信號噪聲強(qiáng)度后，可以確定各層的閾值。這里著重討論了信號在兩種不同小波恢復(fù)后信號質(zhì)量的不同和對信號中的信號與噪聲進(jìn)行分離。577.小波變換的去噪應(yīng)用仿真實(shí)驗(yàn) 本文采用Mtalab本身程序提供的noissin信號函數(shù)及初設(shè)原始信號f（x）為例進(jìn)行Matlab分析1,3,其中： e = noissin + 0.5*randn(size(e1); 首先對noissin函數(shù)上疊加上隨機(jī)噪聲信號得到e，分別對比采用db10小波和sym8小波對信號e進(jìn)行5層分解，并且細(xì)節(jié)系數(shù)選用minimaxi閾值模式和尺度噪聲（db10）以及選用sure閾值模式和尺度噪聲(sym8)。在進(jìn)行噪聲消除后，還對原信號進(jìn)行進(jìn)一步分析，將原始信號和噪聲信號分離開來，仿真結(jié)果如圖所示：( )sin(0.03 )f xt587.小波變換的去噪應(yīng)用圖1597.小波變換的去噪應(yīng)用 圖1-1為原始信號圖形，1-2為