變量間的相關(guān)關(guān)系的教學設(shè)計朱瑩

1、變量間的相關(guān)關(guān)系的教學設(shè)計 五常市雅臣中學 朱 瑩教學設(shè)計與實踐：教學目標：1、 明確事物間的相互聯(lián)系。認識現(xiàn)實生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外，仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系，并利用散點圖直觀體會這種相關(guān)關(guān)系。2、 通過TI技術(shù)探究用不同的估算方法描述兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系的過程，學會用數(shù)學的有關(guān)變量來描述現(xiàn)實關(guān)系。3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推導。會用TI圖形計算器來求回歸方程，相關(guān)系數(shù)。教學用具：學生每人一臺TI圖形計算器、多媒體展示臺、幻燈教學實踐情況：一、 問題引出：請同學們?nèi)鐚嵦顚懴卤恚ㄔ诳崭裰写颉啊?）好中差你的數(shù)學成績你的物理成績 然后回答如下問題：“你的數(shù)學成績對你的

2、物理成績有無影響？”“ 如果你的數(shù)學成績好，那么你的物理成績也不會太差，如果你的數(shù)學成績差，那么你的物理成績也不會太好。”對你來說，是這樣嗎？同意這種說法的同學請舉手。根據(jù)同學們回答的結(jié)果，讓學生討論：我們可以發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學成績和物理成績存在某種關(guān)系。（似乎就是數(shù)學好的，物理也好；數(shù)學差的，物理也差，但又不全對。）教師總結(jié)如下：物理成績和數(shù)學成績是兩個變量，從經(jīng)驗看，由于物理學習要用到比較多的數(shù)學知識和數(shù)學方法。數(shù)學成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的。但決非唯一因素，還有其它因素，如圖所示（幻燈片給出）：（影響你的物理成績的關(guān)系圖）因此，不能通過一個人的數(shù)學成績是多少就準確地斷定他的物理

3、成績能達到多少。但這兩個變量是有一定關(guān)系的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系。如何通過數(shù)學成績的結(jié)果對物理成績進行合理估計有非常重要的現(xiàn)實意義。二、 引出相關(guān)關(guān)系的概念教師提問：“像剛才這種情況在現(xiàn)實生活中是否還有？”學生甲：糧食產(chǎn)量與施肥用量的關(guān)系；學生乙：人的體重與食肉數(shù)量的關(guān)系。從而得出：兩個變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系（如：函數(shù)關(guān)系），或非確定性關(guān)系。當自變量取值一定時，因變量也確定，則為確定關(guān)系；當自變量取值一定時，因變量帶有隨機性，這種變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。三、探究線性相關(guān)關(guān)系和其他相關(guān)關(guān)系問題：在一次對人體脂肪和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組

4、樣本數(shù)據(jù)：人體的脂肪百分比和年齡年齡23273941454950脂肪95178212259275263282年齡53545657586061脂肪296302314308335352346針對于上述數(shù)據(jù)所提供的信息，你認為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？教師特別向?qū)W生強調(diào)在研究兩個變量之間是否存在某種關(guān)系時，必須從散點圖入手（向?qū)W生介紹什么是散點圖）。并且引導學生從散點圖上可以得出如下規(guī)律：（幻燈片給出）1、如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，那么變量之間具有函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系）；2、如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線的附近，那么變量之間具有相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）；3、如果所有的樣本

5、點都落在某一直線附近，那么變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）。下面我們用TI圖形計算器作出這兩個變量的散點圖。學生實驗：先把數(shù)據(jù)中成對出現(xiàn)的兩個數(shù)分別作為橫坐標、縱坐標，把數(shù)據(jù)輸入到表格當中（第一列橫坐標、第二列縱坐標）得到圖1；然后，用TI圖形計算器作散點圖得圖2：（圖1）（圖2）引導學生觀察作出的散點圖，體會現(xiàn)實生活中兩個變量之間的關(guān)系存在著不確定性。散點圖中的散點并不在一條直線上，只是分布在一條直線的周圍，即為線性相關(guān)關(guān)系。給出三組數(shù)據(jù)（表1-3），請學生作出散點圖，并觀察每組數(shù)據(jù)的特點。表1：-5047121519232731361561501321281301161048993

6、7654表2 ： -12-9-5-4-3-1024691312010020126203.5232770150表3：-9-7-5-4-2-10135791/5601/1001/301/181/59/1010/113928100550表4：-13-11-9-7-5-3-2-10134592553115659121930507088根據(jù)表1-4，學生作出如下散點圖，（圖3、圖4、圖5、圖6）：（圖3） （圖4）（圖5） （圖6）通過學生討論、交流、用TI圖形計算器展示、對比自己作出的散點圖，我們引出線性相關(guān)關(guān)系，正負相關(guān)關(guān)系的概念。四、引出回歸直線的概念，探索求回歸直線方程的方法再看圖2，你能說說人

7、在62、63、64歲時的脂肪含量大約是多少嗎？通過用TI圖形計算器圖象，猜想：所有的點都大致分布在一條直線的附近，只要求出這條直線的方程，那么就可以知道人在62、63、64歲時的脂肪含量。如圖7，從整體上看，散點圖中的點分布大致在一條直線附近，我們把這條直線叫做“回歸直線”。（圖7）注：“回歸”這個詞是有英國著名的統(tǒng)計學家 Francils Galton 提出來的。1889年，他在研究祖先與后代身高之間的關(guān)系時發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒有他們的父母平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們的父母平均身高高。Galton 把這

8、種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”。后來，人們把由一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱為“回歸方法”。那么如何求回歸直線方程呢？人們在思考這個問題的時候，常用以下3種方法：1、采用測量的方法，先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然后移動直線，到達一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。2、在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。3、在散點圖中多取幾個點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。上面的這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感覺到可靠性不強。統(tǒng)計學中，科學家們經(jīng)過研

9、究后于是得出了如下方法：求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學的方法來刻畫“從整體上看各點與此直線的距離和最小”?，F(xiàn)在，我們來看一下數(shù)學家解決這個問題的思維過程吧。設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)：，所要求的回歸直線方程為：，其中，是待定的系數(shù)。當變量取時，可以得到。求的最小值，其步驟為：最后，指導學生直接利用TI圖形計算器，計算人的脂肪含量與年齡這一問題。得到圖8：（圖8）五、相關(guān)系數(shù)及其含義從圖象和回歸方程可知：人的脂肪含量與人的年齡是正相關(guān)關(guān)系，那么人的年齡多大程度上決定人體的脂肪含量？這就是相關(guān)強弱的問題。如何解決這一問題，統(tǒng)計學家們引進相關(guān)系數(shù)這一概念，用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間的線性關(guān)

10、系的強弱。若相應于變量的取值，變量的觀測值為，則兩個變量的相關(guān)系數(shù)的計算公式為： 相關(guān)關(guān)系的強弱給出具體的判斷標準：首先的符號決定正、負相關(guān)關(guān)系；當時，相關(guān)關(guān)系很強；當時，相關(guān)關(guān)系一般；此外，相關(guān)關(guān)系很弱或者幾乎不能用線性相關(guān)來描述。TI圖形計算器結(jié)果中出現(xiàn)的就是相關(guān)系數(shù)，就是。通過計算，我們得到探究問題中的（如圖8所示），所以我們說人的脂肪含量與人的年齡正相關(guān)關(guān)系很強。最后，我們得到問題的主要結(jié)論：1、 人體的脂肪與年齡之間是線性相關(guān)關(guān)系，而且正相關(guān)關(guān)系很強（ ）。2、這種相關(guān)關(guān)系可以用回歸方程：來刻畫。3、人在62、63、64歲時，人體的脂肪含量百分比大約為：35.26、35.84、36.42。效果與回收：一、課外實踐：（用TI圖形計算器等工具完成下列