心理統(tǒng)計學(xué)-課程講義3

1、【課程講義】第三章集中量數(shù)【教學(xué)目標】明確一批數(shù)據(jù)的特征包括兩個方面的內(nèi)容：集中趨勢、離散性；明確集中量數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，可以作為一批數(shù)據(jù)的代表值；明確算術(shù)平均數(shù)是所有集中量數(shù)中運用最 廣泛、最優(yōu)的量數(shù)；明確各種集中量數(shù)的含義、計算方法、使用條件、性質(zhì)及優(yōu)缺點?！緦W(xué)習(xí)方法】了解、理解、計算與應(yīng)用?！局攸c難點】算術(shù)平均數(shù)的概念及適用條件；算術(shù)平均數(shù)的計算方法； 中位數(shù)的概念及適用條件；中位數(shù)的計算方法。【講義內(nèi)容】前一章所講的統(tǒng)計分組、統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖等，只是對研究工作中所獲得的數(shù)據(jù)進行初步 整理，其目的是對數(shù)據(jù)的性質(zhì)、 分布特征、差異情況及數(shù)據(jù)的一般規(guī)律有一直觀和形象的認 識。因此說這

2、一步還不是應(yīng)用統(tǒng)計方法的步驟。為了進一步發(fā)現(xiàn)和表示一組數(shù)據(jù)的規(guī)律性， 需要計算出一些能夠反映這組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征的數(shù)字一一稱為統(tǒng)計量或特征數(shù)。對于一組數(shù)據(jù)來講，最常用的統(tǒng)計量有兩類。 一類是表現(xiàn)數(shù)據(jù)集中性質(zhì)或集中程度的，另一類是表現(xiàn)數(shù)據(jù)分散性質(zhì)或分散程度的。 數(shù)據(jù)的集中情況指一組數(shù)據(jù)的中心位置。集中趨勢的度量，即確定一組數(shù)據(jù)的代表值。描述數(shù)據(jù)集中情況的統(tǒng)計量有多種，包括算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、幾何平 均數(shù)等。由于這些統(tǒng)計量的作用在于度量數(shù)據(jù)的集中趨勢，因此它們都稱為集中量數(shù)。 本章主要介紹幾種常用的集中量數(shù)。集中量數(shù)只描述數(shù)據(jù)的集中趨勢和典型情況，它還不能說明一組數(shù)據(jù)的全貌。數(shù)據(jù)除典型情況之外， 還有

3、變異性的特點。 對于數(shù)據(jù)變異性即離中趨勢進 行度量的一組統(tǒng)計量，稱作差異量數(shù)，這些差異量數(shù)有方差、標準差、全距、平均差、四分 差及各種百分差等等，下一章中將對常用的差異量數(shù)進行介紹。第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的概念和適用條件（一）概念算術(shù)平均數(shù)一般簡稱為平均數(shù)或均數(shù)（Mean）。只有在與其他幾種集中量數(shù)如幾何平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)相區(qū)別的時候，才把它叫彳算術(shù)平均數(shù)。如果平均數(shù)是由X變量計算的，就記為X （讀作X杠），若由Y變量求得，則記為 Y。由于任何平均數(shù)都是由特定的變量計算而來，因此 X或Y自然人便成為算術(shù)平均數(shù)的符號了。本書采用X或Y表示平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)是一組同質(zhì)數(shù)據(jù)值得總和除以數(shù)據(jù)總

4、個數(shù)所得到的商，其計算公式為： Xi X N公式中匯Xi表示所有數(shù)據(jù)的和，即匯 Xi=Xi+X2+Xi； N為數(shù)據(jù)的個數(shù)。 X為一組 數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。（二）適用條件1 .適用于同質(zhì)數(shù)據(jù)。不同質(zhì)的數(shù)據(jù)，不能計算算術(shù)平均數(shù)。2 .要求一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都比較準確、可靠，若數(shù)據(jù)模糊不清，或分組資料又不確定組 限時，不能計算算術(shù)平均數(shù)。3 .無極端值出現(xiàn)。因為算術(shù)平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)的影響。4 .需要得到一個相對精確可靠的集中量數(shù)或進一步參與其他運算時。二、算術(shù)平均數(shù)的計算方法（一）、簡單算術(shù)平均數(shù)的計算方法直接用公式 XiX 求算術(shù)平均數(shù)。N算術(shù)平均數(shù)的計算公式很易理解，就是將所有的數(shù)據(jù)相加，再被

5、數(shù)據(jù)的個數(shù)除。例1 某班選八名同學(xué)參加年級數(shù)學(xué)競賽，成績分別為82, 90, 95, 88, 90, 94, 80, 93。求其平均成績。解：將 X1=82, X2 =90 X3 =95 X 4=88 X 5=90 X 6=94 X7 =80 X8 =93,N=8代入公式（3.1),得8990 95 88 90 94 80 80 938（二）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計算方法在實際的教育測量或教育評價中，經(jīng)常會遇到這樣的情況，在計算算術(shù)平均數(shù)時，每個數(shù)據(jù)在其整體中的地位并不一樣，即各個數(shù)據(jù)代表的事物在其整體中所占權(quán)重（重要程度） 不同。像這種考慮到權(quán)重的不同而求出的算術(shù)平均數(shù)，即為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)算

6、術(shù)平均數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)與其權(quán)重乘積的總和除以權(quán)重總和所得的商，用符號X w表示。公式為：qW1X1 W2X2WnXnWXX wW W2WnW1式中Wi為權(quán)數(shù)，所謂權(quán)數(shù)是指各變量在構(gòu)成總體中的相對重要性，每個變量的權(quán)數(shù)大小， 由觀測者依據(jù)一定的理論或?qū)嵺`經(jīng)驗而定，雖然是可變的，但絕不是沒有根據(jù)的。在教育工作中，我們時常遇到對測量數(shù)據(jù)進行加權(quán)的情況。例如，在考試時教師共出10道考題。由于各題的大小不同，難易程度不同.在滿分為100的要件下.絕不是每題都以10分為滿分，而是有的題 5分，有的10分、20分，甚至30分。再如高校入學(xué)考試共包括語 文、政治、外語、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)及生物7科，而計

7、算總分時并不是各科平等，在語文、政治等科都以100為滿分的情況下，數(shù)學(xué)定 120分，生物定50分，也是考慮到各門學(xué)科的 相對重要性而進行加權(quán)的結(jié)果。加權(quán)的道理不難理解，但有時卻容易被人忽略。由各小組平均數(shù)計算總平均數(shù)是應(yīng)用加權(quán)平均數(shù)的一個特例。在心理與教育研究中， 經(jīng)常會遇到由各個平均數(shù)計算總平均數(shù)這類實際的統(tǒng)計計算問題。在這個問題中，可以把各小組的平均分數(shù)，視為該小組每個個體的分數(shù)，而把每個小組的人數(shù)，視為權(quán)數(shù)。下面通過幾個例子來說明家錢所屬平均數(shù)的應(yīng)用。例2某年級四個班的學(xué)生人數(shù)分別為50人,52人,48人,51人，期末數(shù)學(xué)考試各班的平均成績分別為90分,85分,88分,92分,求年級的平

8、均成績。解：根據(jù)本題所給條件，應(yīng)按公式（3.2）計算。將各數(shù)值代入上述公式，得X W90 50 8552884892 5188.74W50524851例3某小學(xué)三年級數(shù)學(xué)期末總評成績規(guī)定為平時占2 0 % ,期中考試占3 0 % ,期末考試占5 0 % .某學(xué)生數(shù)學(xué)平時成績?yōu)? 6分，期中考試成績?yōu)? 0分， 期末考試成績?yōu)? 2分.求該生期末數(shù)學(xué)總評成績?yōu)槎嗌俜?？解：本題為求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的問題.題中的權(quán)數(shù)分別為0.2,0.3,0.5。將各數(shù)值代入公式（3.2）,X W 96 0.2 80 0.3 92 0.5 89.2W0.2 0.3 0.5（三）次數(shù)分布表中算術(shù)平均數(shù)的計算對于已經(jīng)列成次

9、數(shù)分布表的數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均數(shù)的計算公式為:fXCCN式中，Xc為各組的組中值，f為各組的次數(shù)，N為總次數(shù)，即 N f o例4 某班50人外語期末考試成績的次數(shù)分布表如下，求全班學(xué)生的平均成績組別組中值XC次數(shù)ffXc90s 9492327685s 89871087080s 848215123075s 7977861670s 7472536065s 6967320160s 6462424855s 59572114503915解:將表中數(shù)據(jù)代入公式（3.3），得- fXC 276 870 1230114XC N50需要說明的是，利用次數(shù)分布表求出的算術(shù)平均數(shù)是一個近似值。391578.350原因在

10、于計算算術(shù)平均數(shù)時，我們假設(shè)各組內(nèi)的數(shù)值是均勻分布的，利用各組的組中值來分別代表各組數(shù)據(jù)，這顯然與實際的情況不完全相符， 因此求出的算術(shù)平均數(shù)與真實的算術(shù)平均數(shù)之間有一定的差異，也就是分組誤差，但是這并不影響以后的統(tǒng)計分析。三、平均數(shù)的意義與應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的一種集中量數(shù)。它是“真值”漸近、最佳的估計值。在科研實驗中人們進行觀測，是想知道被觀測事物真正的值是多少，例如想研究人的反應(yīng)時間，用計時器進行測量，人們是想測到真正的反應(yīng)時間是多少。再如，使用某種測驗，是想測量某個人或某些人的真實的能力水平到底有多么高。但是由于主客觀各種隨機因素的影響，如儀器的精密程度，測量方法，實驗情景，人的

11、觀測力及觀測標準等等都不能做到盡善盡美，因 此想獲得真值是不大可能的，人們只能用一些集中量數(shù)作為它的估計值、算術(shù)平均數(shù)在大多數(shù)情況下，是真值的最好的估計值，對這一點概率統(tǒng)計有嚴密的數(shù)學(xué)證明。算術(shù)平均數(shù)具備一個良好的集中量數(shù)應(yīng)具備的一些條件：反應(yīng)靈敏。觀測數(shù)據(jù)中任何一個數(shù)值的或大或小的變化，甚至細微的變化，在計算平均數(shù)時，都能反應(yīng)出來。確定嚴密。計算平均數(shù)有確定的公式，不管何人，在何種場合， 只要是同一組觀測數(shù)據(jù)，所計算的平均數(shù)都是相同的，不憑主觀確定。簡明易解。平均的概念簡單明白，容易理解。較少數(shù)學(xué)抽象。計算簡單。計算公式只是用簡單的四則運算。符合代數(shù)方法進一步演算。不但平均數(shù)的計算過程應(yīng)用代

12、數(shù)方法，而且，還可應(yīng)用平均數(shù)作進一步的數(shù)學(xué)演算。例如求離均差X,以及將要講到的求方差等等。較少受抽樣變動的影響。在進行觀測時，樣本大小或個體的變化， 對計算平均數(shù)影響很小。但是算術(shù)平均數(shù)也有一些缺點，在一定程度上限制了它的應(yīng)用，這些缺點是：易受極端數(shù)據(jù)的影響。 由于平均數(shù)反應(yīng)靈敏， 因此數(shù)據(jù)中若出現(xiàn)極端數(shù)據(jù) （或大或?。?，就要影響平均數(shù)。 在心理與教育方面的實驗觀測中， 偶然因素十分復(fù)雜， 經(jīng)常會出現(xiàn)極端數(shù)目，例如，一個重點班的 50 名水平相當?shù)膶W(xué)生，在通過一項教育測驗時，絕大多數(shù)學(xué)生得分較高， 但個別人卻由于身體不適或一時性情緒障礙而得到很低的分數(shù)， 這時若用平均數(shù)代表全班學(xué)生的知識水平

13、，則肯定偏低，并且不符合實際情況。為此，我們還需要學(xué)習(xí)，了解其他表示一組事物的典型情況的統(tǒng)計方法和統(tǒng)計值。 在心理物理學(xué)實驗、 學(xué)習(xí)遷移實驗和迷津?qū)W習(xí)實驗等觀測中，都常有出現(xiàn)極端數(shù)目的情況。若出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時， 無法計算平均數(shù)， 因為計算平均數(shù)時需要每一個數(shù)據(jù)都加入計算。在次數(shù)分布中只要有一個數(shù)據(jù)含糊不清， 都無法計算平均數(shù)。 在這種情況下， 一般采用中數(shù)作為該組數(shù)據(jù)的代表值，描述其集中趨勢。此外， 必須注意， 凡不同質(zhì)的數(shù)據(jù)不能計算平均數(shù)。 所謂同質(zhì)數(shù)據(jù)是指使用同一個觀測手段， 采用相同的觀測標準， 能反映某一問題的同一方面特質(zhì)的數(shù)據(jù)。 如果使用了不同質(zhì)的數(shù)據(jù)計算平均數(shù)，則該平均數(shù)，不能

14、作為這一組數(shù)據(jù)的代表值。不僅如此， 有時它反而會造成掩蓋事物的本來面貌，使人產(chǎn)生誤解等問題。 例如在教育方面，計算平均成績時， 如果各科考試的難易水平和評分標準等各不相同，這時若用總平均分數(shù)表示一個學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，就是不準確的， 因為這是應(yīng)用不同質(zhì)的數(shù)據(jù)計算平均數(shù)的結(jié)果。即使是同一門課程，通過前后幾次不同的考試， 亦很難使每次的難易度和評分標準等相同。 因此， 如果用平均分數(shù)表示該門課程的學(xué)習(xí)成績， 也同樣存在著數(shù)據(jù)是否同質(zhì)的問題。 再如， 在研究某個團體中人們的生活水平變化時， 如果使用平均工資， 常會掩蓋所欲研究的問題。 因為當大多數(shù)人收入少而且在降低， 但只有少數(shù)人財產(chǎn)急驟增加且數(shù)目很大

15、時， 計算出來的平均數(shù)可能增加， 但實際上人們的平均生活水平不是提高而是下降了， 這就是由于在計算平均數(shù)時， 使用了不同質(zhì)的數(shù)據(jù)所造成，即工資在人不同人的生活上起作用不同。由上可見，判別數(shù)據(jù)是否同質(zhì)，并不是一件容易的事情， 需要研究者根據(jù)實際情況認真分析， 盡管平均數(shù)是一個較普遍應(yīng)用的集中量數(shù)，但要用得恰到好處，也并非易事。根據(jù)以上對平均數(shù)優(yōu)缺點的分析，可以明確，如果一組數(shù)據(jù)是比較準確，可靠又同質(zhì)，而且需要每一個數(shù)據(jù)都加入計算， 同時還要作進一步代數(shù)運算時， 這時就要用算術(shù)平均數(shù)表示其集中趨勢。如果一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)兩極端的數(shù)目，或有一些數(shù)據(jù)不清楚，數(shù)據(jù)不同質(zhì)時，就不宜使用算術(shù)平均數(shù)， 除此之外還

16、有一些適用幾何平均數(shù)或調(diào)和平均數(shù)的情境， 也不宜用算術(shù)平均數(shù)?！拘〗Y(jié)】本節(jié)主要涉及到算術(shù)平均數(shù)的定義以及計算。算術(shù)平均數(shù)是一組同質(zhì)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)除以數(shù)據(jù)總個數(shù)所得到的商。對于算術(shù)平均數(shù)的計算，可以利用定義直接求算術(shù)平均數(shù)；對于各個數(shù)據(jù)所占權(quán)重不等的情況，用加權(quán)平均數(shù)；對于次數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)， 計算算術(shù)平均數(shù)的方法為：一fXC， 一,，一 ，一 一 ,X 式中Xc為各組的組中值，f為各組的次數(shù)，N為總次數(shù)，即N f。N第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念及適用條件（一）概念中位數(shù)是位于一組有序數(shù)據(jù)中間位置的量數(shù)。也稱中數(shù)，用符號Mdn表示。中位數(shù)是將一組有序數(shù)據(jù)的個數(shù)分為相等兩部分的那個數(shù)據(jù)， 它可能是原始

17、數(shù)據(jù)中的一個， 也可能是通過 計算得到的某個數(shù)值。（二）適用條件中數(shù)是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算而來，不能憑主觀臆定。計算簡單，容易理解，中數(shù)的概念簡單明白，這是它的優(yōu)點。但它也有些不足，如：它反應(yīng)不夠靈敏，兩極端數(shù)目變化，對中數(shù) 不產(chǎn)生影響；計算中數(shù)時，不是每個數(shù)據(jù)都加人計算， 受抽樣的影響較大，不如平均數(shù)穩(wěn)定； 中數(shù)乘以總數(shù)與數(shù)據(jù)的總和不相等（只有少數(shù)情況：Md=X時例外）；中數(shù)不能作進一步代數(shù)運算等等。因此，在一般情況下，中數(shù)不被普遍應(yīng)用。但在一些特殊情況下，它的應(yīng)用受 到重視。這些特殊情況是：1 .當一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時；2 .當一組有序數(shù)據(jù)兩端有個別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時；3

18、.當需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時。二、中位數(shù)的計算方法（一）未分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算方法如果一組數(shù)據(jù)未分組，須先把數(shù)據(jù)按照其大小順序排列，然后再確定中位數(shù)。中位數(shù)的確定取決于一組數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。當數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時，則以第(N+1) /2個位置上的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)。例如，求 7個數(shù)據(jù)92, 80, 85, 87, 91, 83, 90的中位數(shù)?，F(xiàn)將這 7個數(shù)據(jù)按照從大到小或者從小到大的順 序排列，如從小到大排列為：80, 83, 85, 87, 90, 91, 92。第(N+1) /2個位置上的數(shù)，即第4個數(shù)為87,因此這7個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 87。當數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時，則取據(jù)中間兩個數(shù)

19、據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)。即取第N/2個位置上的數(shù)據(jù)與第N/2+1個位置上的數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)。例如求8個數(shù)據(jù)：80, 93, 90, 81, 85,88, 92, 84的中位數(shù)。現(xiàn)將這 8個數(shù)據(jù)按照從小到大排列為：80, 81, 84, 85, 88, 90,92, 93。第N/2個位置上的數(shù)，即第 4個數(shù)為85,第N/2+1個位置上的數(shù)，即第 5個數(shù)為 88,因此這8個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為(85+88) /2=86.5 。實際上，對于偶數(shù)個數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在的位置也可以看成是在(N+1) /2個位置上的數(shù)據(jù)。(二)分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算方法對于分組數(shù)據(jù)，因為通常情況下的N都比較大，N/2與(N+1)

20、/2相差很小，因此在分組數(shù)據(jù)中粗略地講中位數(shù)所在的位置看成是在N/2的位置。N F Fb 分組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)的計算公式為：Md Lb 2?inf其中Mdn為中位數(shù)；Lb為中位數(shù)所在組的精確下限；Fb為中位數(shù)所在組下限以下的累加次數(shù)；f為中位數(shù)所在組的次數(shù)；i為組距；N為總次數(shù)。具體計算步驟如下：(1)求 N/2 ;(2) 確定中數(shù)所在的組；具體方法：由下向上計算累加次數(shù)，直到大于或等于N/2 一組為止，改組就是中位數(shù)所在的組。(3) 求出中位數(shù)所在一組的精確下限；(4) 求出中位數(shù)所在組以下的累加次數(shù)；(5) 確定組距及中位數(shù)所在組的次數(shù)；(6) 將以上各值代入上述分組計算中位數(shù)的公式求出中位

21、數(shù)。例5 對50人外語期末考試成績的次數(shù)分布表求學(xué)生成績的中位數(shù)組別組中值XC次數(shù)f累加次數(shù)90s 949235085s 8987104780s 8482153775s 797782270s 747251465s 69673960s 64624655s 595722503915N 50解：一 一 2522(2)由下向上積累次數(shù)，75s 79組對應(yīng)的累積次數(shù)為22,80 s 84組對應(yīng)的累積次數(shù)為37,故中位數(shù)在80s 84組 Lb 79.5 (4) Fb2 3 5 8 22(5) i 5, f 15(6)將以上各值代入公式(3.4)，得LbFb79 .5252215? i80 .5小結(jié)：中位數(shù)

22、是位于一組有序數(shù)據(jù)中間位置的量數(shù)。當一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時、當一組有序數(shù)據(jù)兩端有個別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時、或當需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時，會用到中位數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。當數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時，則以第(N+1) /2個位置上的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)。當數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時，則取據(jù)中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)。即取第N/2個位置上的數(shù)據(jù)與第 N/2+1個位置上的數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)。對于已經(jīng)分組的次數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，中位數(shù)的計算N Fb公式為：Mdn Lb 2？i，其中Mdn為中位數(shù)；Lb為中位數(shù)所在組的精確下限；Fb為中位數(shù)所在組下限以下的累加次數(shù)；f為中位數(shù)所在組的次數(shù)；i為組

23、距；N為總次數(shù)。第三節(jié)幾何平均數(shù)一、幾何平均數(shù)的概念及應(yīng)用時機（一）概念幾何平均數(shù)是N個數(shù)值連乘積的N次方根，用符號 M G表示，其計算公式為：Mg NXXXN（3.5）式中：Mg表示幾何平均數(shù)，Xi,X2, ,Xn表示原始數(shù)據(jù)，N為數(shù)據(jù)的個數(shù)。（二）應(yīng)用時機1 .求一組等比或近似等比數(shù)據(jù)的平均數(shù)時；2 . 一組數(shù)據(jù)中有少數(shù)偏大或偏小的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分布呈偏態(tài)時；3 .教育上，關(guān)于平均發(fā)展速度或者是對某項目標進行預(yù)估。二、幾何平均數(shù)的計算方法（一）直接用定義公式求一組原始數(shù)據(jù)的幾何平均數(shù)例6 求2, 8, 32, 125, 502的幾何平均數(shù)。解：由于這組數(shù)據(jù)屬于近似等比數(shù)列，因此求平均數(shù)時應(yīng)求其

24、幾何平均數(shù)。將各數(shù)值代入公式（3.5）得M g NX1X2XN 5 2 8 32 125 502 31.72該組數(shù)據(jù)的幾彳S平均數(shù)為31.72 。例7已知某校四年中各年度的學(xué)生人數(shù)分別為上一年1.12 倍，1.09 倍，1.08 倍和 1.06 倍,求每年的平均增長率。解：此問題給出了每年的發(fā)展速度。此題應(yīng)首先計算年平均發(fā)展速度，再用公式：平均增長率=平均發(fā)展速度-1 ,求出年平均增長率。將 X二1.12, X2 =1.09, X3 =1.08, X4 =1.06，代入公式（3.5），得MG 4 1.12 1.09 1.08 1.06 1.09求得的Mg =1.09,即為年平均發(fā)展速度，年平均

25、發(fā)展速度是各年度發(fā)展速度的平均值。平均增長率=平均發(fā)展速度-1=1.09-1=0.09 ,故所求的年平均增長率為9%。（二）只用首末項求幾何平均數(shù)上面例7種的資料是給出每一年度與上一年度的比值，即年發(fā)展速度，故直接用所給的數(shù)據(jù)求幾何平均數(shù)；若給出的不是每一年度與上一年度的比值，而是每一年度的數(shù)值量， 則可以通過首項和末項計算幾何平均數(shù)。設(shè)a0,a1, ,aN是N個年度中各年度某種數(shù)量值，其中a0為初期量，aN為末期量。Xo,Xi,XiXo,Xi,Xn為各年度發(fā)展速度，即：亙 Va"VaN,X2, Xna0alaN 1,Xn的幾何平均數(shù)便為平均發(fā)展速度。MG N X1X2XN N

26、9; -N- N.'（3.6）,a0 a1aN 1: a0這個公式只涉及首項和末項及N,用起來比較方便，但是應(yīng)該注意，N為實際跨年度數(shù)。例8某重點高中19941999年招收新生人數(shù)如下表，求年平均增長率。人數(shù)統(tǒng)計表年份199419951996199719981999人數(shù)594600612630650700解：由于a0 594,aN 700,期間跨5個年度，故N=5,所以年平均發(fā)展速度為:Mg naN5700a。, 5941.03年平均增長率為（1.03-1） 100%=3%例8已知某校1980年教育經(jīng)費是20萬元,1997年教育經(jīng)費是135萬元,求該校教育經(jīng)費的年平均增長率。解：由于a

27、029,aN135, N 17,所以年平均發(fā)展速度為aN17135201.12年平均增長率為(1.12 1)100%=12%。3.6）,只不過需作一些變形。MgNaoM(NaN從而 aN = a。M g 5又由于Mg=1 +平均增長率，所以aN=a0（1 +平均增長率）N。例10 某校辦公廠在1984年創(chuàng)產(chǎn)值10萬元該廠計劃以年平均增長率為5%的速度遞增，試估計到2004年該廠可創(chuàng)產(chǎn)值多少萬元?解：本題屬于求年平均增長率的逆運算題目，所用公式仍為（N ,即可估計出2004年該廠a0=10, N=20 ,平均增長率 5%代入aN=ag （1+平均增長率）創(chuàng)造的產(chǎn)值為20一aN =10(1+0.05)=26.53(萬兀)教育事業(yè)的發(fā)展不是恒速進行的，為了掌握其發(fā)展規(guī)律，了解它在各個發(fā)展階段的特征,如學(xué)生人數(shù)的年平均增長率，學(xué)校就需要用幾何平均數(shù)計算其平均發(fā)展速度和平均增長率, 經(jīng)費的年平均增長率等?！舅伎季毩?xí)及參考答案】思考和練習(xí)一、是非題1 平均數(shù)不易受極端數(shù)據(jù)的影響。2 中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值。3 對于數(shù)據(jù)較多的資料，其算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)的值不會相差太大。4 根據(jù)次數(shù)分布表求平均數(shù)亦屬加權(quán)平均的性質(zhì)。5 在教育上常用幾何平均數(shù)來預(yù)測教育現(xiàn)象的發(fā)展變化。二、選擇題1 有 8 個數(shù)據(jù) 80， 90 ， 82， 85， 91， 88 ， 84， 92 ，則它