向量的數(shù)量積的物理背景與定義教學(xué)設(shè)計(jì)(高中.楊永良)

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 教學(xué)設(shè)計(jì)個(gè)人信息 姓名單位了解方式設(shè)計(jì)者楊永良北京景山學(xué)校遠(yuǎn)洋分學(xué)基本信息課題2.3.1向量數(shù)量積的物理背景與定義學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段高中年級(jí)高一相關(guān)領(lǐng)域教材書名： 數(shù)學(xué) 出版社： 人教社 出版日期：2007年4月第3版1.指導(dǎo)思想與理論依據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)不僅強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際的了解、數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科的了解，而且強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和形成過程,注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，適度形式化，以讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造過程。向量是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的新增內(nèi)容之一，它是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極

2、其豐富的實(shí)際背景，通過了解向量豐富的實(shí)際背景，有助于學(xué)生理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語(yǔ)言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題,發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。通過向量在平面幾何、解析幾何以及物理中的應(yīng)用，體會(huì)向量的重要價(jià)值。因此，在本節(jié)課中，我從學(xué)生熟悉的物理背景“功”出發(fā)，通過設(shè)置啟發(fā)性的問題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主探索與合作交流，學(xué)生能夠從物理背景中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，經(jīng)歷向量的數(shù)量積(即數(shù)學(xué)概念模型)的發(fā)生和形成過程，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，從而歸納和抽象出數(shù)量積的定義，并讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與物理學(xué)科的了解，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力。同時(shí)，在應(yīng)用向量的數(shù)量積定義進(jìn)

3、行計(jì)算的環(huán)節(jié)中，通過將向量以及向量的夾角進(jìn)行一系列的特殊化，既鞏固和加深了對(duì)定義的理解，同時(shí)又加深了對(duì)數(shù)量積性質(zhì)的理解，并初步體會(huì)了向量的數(shù)量積的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括、運(yùn)算求解和初步的推理論證能力?？傊诒竟?jié)課中，我努力幫助學(xué)生揭示兩個(gè)向量的數(shù)量積的本質(zhì)及其性質(zhì)的形成過程，使學(xué)生理解該概念及其性質(zhì)，從而獲得對(duì)數(shù)學(xué)較為全面的體驗(yàn)和感悟，讓學(xué)生體會(huì)在問題解決過程中所蘊(yùn)涵數(shù)的一些數(shù)學(xué)模式。2.教學(xué)背景分析1） 教學(xué)內(nèi)容分析從本章教材來看，平面向量的數(shù)量積是繼向量概念、向量的線性運(yùn)算（包括向量的加法和減法以及數(shù)乘）及軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算和向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算等內(nèi)容之后的又一重要概念和運(yùn)算，在本節(jié)

4、內(nèi)容之前，已經(jīng)多次滲透和體現(xiàn)了實(shí)數(shù)（或有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）與軸上的向量（或直角坐標(biāo)系中的向量）具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，向量的線性運(yùn)算不僅包含了幾何（形）的意義，也包含了向量的數(shù)量化（數(shù)）的意義，這使得本節(jié)課中向量的數(shù)量積仍然具有數(shù)與形的雙重特征。本節(jié)課中仍然沿用這種向量數(shù)量化（同時(shí)仍然保持向量的形的特征）以及向量運(yùn)算數(shù)量化的方法，這種方法為之后的向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式以及今后平面向量和空間向量的數(shù)量化和代數(shù)化同樣奠定了基礎(chǔ)。和“大綱”教材相比，“課標(biāo)”教材由“明確平面向量的數(shù)量積定義、數(shù)學(xué)表達(dá)式及其幾何意義”變?yōu)椤袄斫馄矫嫦蛄繑?shù)量積的含義及其物理意義”；“明確向量在向量的方向上的投影”

5、改為“體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系”。這些都說明了新課標(biāo)更加注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景以及知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過程、注重學(xué)科間的了解以及學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和領(lǐng)悟，適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)科的內(nèi)在邏輯?！罢n標(biāo)”教材（B版教材）在處理一個(gè)向量對(duì)另一個(gè)向量的投影上，采用的是先將向量正射影，然后再用坐標(biāo)表示將其數(shù)量化，這樣的呈現(xiàn)方式可能會(huì)增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，但更有利于學(xué)生理解向量的形成過程，本節(jié)課采用正射影概念，然后將其數(shù)量化并自然過渡到向量的投影。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過物理中“功”的模型抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)及其應(yīng)用。因而數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心

6、概念。同時(shí)也因?yàn)樵谶@個(gè)概念中，既有長(zhǎng)度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。由于數(shù)量積的性質(zhì)在證有關(guān)垂直、求長(zhǎng)度、求角中經(jīng)常用到，因而數(shù)量積的性質(zhì)是本節(jié)課的又一教學(xué)重點(diǎn).2）學(xué)生情況分析(1）知識(shí)和技能基礎(chǔ)學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了數(shù)與式的運(yùn)算，掌握了向量的概念及其線性運(yùn)算（向量的加法和減法以及向量數(shù)乘），也掌握了軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算以及向量的分解和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)具備了力的分解、矢量、功、標(biāo)量等物理知識(shí)。(2）方法和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)在這一章的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)

7、多次體會(huì)了向量的線性運(yùn)算，并且也多次感知了將向量用坐標(biāo)來表示，體會(huì)了將向量數(shù)量化的過程。因此，學(xué)生已經(jīng)具備了研究向量運(yùn)算的一般方法和經(jīng)驗(yàn)。另外，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過功等物理知識(shí)，學(xué)生對(duì)此并不陌生，這為學(xué)生學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積做了很好的鋪墊，便于學(xué)生接受和理解，從而容易將物理模型抽象出數(shù)學(xué)概念。 (3）可能存在的問題由于受向量的線性運(yùn)算（當(dāng)向量的運(yùn)算不是坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，結(jié)果都是向量）的影響，會(huì)對(duì)學(xué)生對(duì)向量的數(shù)量積定義的理解產(chǎn)生干擾，因?yàn)橄鄬?duì)于向量的線性運(yùn)算的結(jié)果（向量）而言，向量的數(shù)量積的結(jié)果（數(shù)）發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算后，形卻消失了，學(xué)生對(duì)這一點(diǎn)很難接受；另外，由于受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算

8、的影響，也會(huì)造成學(xué)生對(duì)數(shù)量積理解上的困難，特別是對(duì)向量的數(shù)量積的性質(zhì)的理解。因此，本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)是數(shù)量積定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用。 3.教學(xué)目標(biāo)(含重、難點(diǎn))1)教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：通過物理中功”的實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量正射影的關(guān)系；會(huì)根據(jù)題目條件求兩個(gè)向量的數(shù)量積和夾角； 過程與方法：經(jīng)歷向量數(shù)量積的形成過程，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合和類比的思想和方法；通過應(yīng)用向量的數(shù)量積定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，形成初步的計(jì)算推理論證能力；情感、態(tài)度與值觀價(jià)：經(jīng)歷向量數(shù)量積概念及其性質(zhì)的形成過程念，體會(huì)向量數(shù)量積的應(yīng)用價(jià)值，形成由特殊到一般、由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的方法；2

9、)教學(xué)重點(diǎn)：通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的分析（詳見“教學(xué)背景分析”中的教學(xué)內(nèi)容分析（這里略），特制定如下的教學(xué)重點(diǎn): 向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)；3)教學(xué)難點(diǎn)對(duì)于教學(xué)難點(diǎn)的分析詳見“教學(xué)背景分析”中的“學(xué)生可能出現(xiàn)的問題”的分析中（這里略）, 特制定以下教學(xué)難點(diǎn)：向量數(shù)量積定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用。教學(xué)流程示意 4.教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖教學(xué)時(shí)間一溫故知新，問題引入（一）溫故知新 問題1：向量運(yùn)算的研究?jī)?nèi)容及其方法？ 從向量的線性運(yùn)算來看，研究了向量的加、減和數(shù)乘運(yùn)算，這些運(yùn)算結(jié)果都是向量，這是向量“形”的特征； 當(dāng)向量用坐標(biāo)來表示時(shí)，這些運(yùn)算結(jié)果都是“數(shù)”，這是向量“數(shù)”的特征； 既然向量

10、有加、減、數(shù)乘運(yùn)算，我們自然會(huì)想到向量可能還會(huì)有？運(yùn)算的結(jié)果又是什么？ 向量的“積”的運(yùn)算同學(xué)們并不陌生，比如物理中力對(duì)物體做功的問題。 （二）問題引入 問題2: 如何計(jì)算力做功？ 如圖：一個(gè)力作用于一個(gè)物體，使該物體位移，如何計(jì)算這個(gè)力做的功？sF分析公式的含義？要計(jì)算功，就要這兩個(gè)向量夾角以及力在位移方向上的分量的數(shù)量大小?；仡櫯c反思：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算；結(jié)果是向量，向量既有形的性質(zhì)，又有數(shù)的性質(zhì)。向量的乘除運(yùn)算。 說出功的計(jì)算公式分析各物理量的含義，指出的含義。溫故知新，形成對(duì)知識(shí)的整體感知。合情推理通過熟悉的物理背景去感知向量的數(shù)量積問題，便于學(xué)生接受和理解。明確本節(jié)課要研究的

11、主要內(nèi)容5二探究概念，形成定義 二探究概念，形成定義（一）探究?jī)蓚€(gè)向量的夾角 問題1：兩個(gè)向量夾角的概念？ （1）兩個(gè)向量夾角的取值范圍？ （2）兩個(gè)向量的夾角的概念？ 教師以兩支鉛筆（尖頭表示向量的方向）作為兩個(gè)向量進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示； 請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察（演示）一個(gè)向量進(jìn)行平移時(shí)向量的夾角是多少度？（見下圖） 預(yù)設(shè)學(xué)生有兩種答案，讓學(xué)生說出理由。 這個(gè)問題說明了我們?cè)撊绾稳フ覂蓚€(gè)向量的夾角 ？ 你能迅速找出下列兩個(gè)向量的夾角嗎？ 出示兩個(gè)向量夾角的概念，表示方法：?jiǎn)栴}2：指出下列兩個(gè)向量的夾角？ 要求學(xué)生說明理由。 問題3：揭示向量夾角的內(nèi)涵？ 剛才研究了向量的夾角，求力對(duì)物體做的功還要研究力在位

12、移方向上的分力的數(shù)量。（二）探究向量在軸上的正射影及數(shù)量 1、向量在軸上的正射影 按照物理中力的正交分解，力在位移方向上的分力是一個(gè)向量，同樣，一般地，一個(gè)向量沿著軸及垂直于的方向上正交分解后也是一個(gè)向量，如圖所示： 詳見ppt的圖（1）解釋概念。 請(qǐng)說出圖（2）中向量在軸上的正射影？ 2、正射影在軸上的數(shù)量 類比力在位移方向上的分力的大小可以用，同樣，上述向量的正射影在軸上如何用坐標(biāo)來表示？ 在圖（1）中，若，求在上的正射影的數(shù)量； 在圖（2）中，若，求在上的正射影的數(shù)量； 通過計(jì)算，說說你的發(fā)現(xiàn)？（三）形成向量的數(shù)量積定義 1、歸納形成概念 問題：請(qǐng)結(jié)合力對(duì)物體做功來說明的物理意義？ 類比

13、功意義嘗試說出的意義。 板書定義： 2、揭示概念的內(nèi)涵 問題：向量的數(shù)量積表示的含義？引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面去理解：1）數(shù)量積的結(jié)果是向量還是數(shù)；2）符號(hào)是如何確定的；3）幾何意義；4）向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么異同等等.觀察實(shí)物演示并口答相關(guān)問題。說出相應(yīng)的理由描述向量夾角時(shí)兩個(gè)向量應(yīng)有公共起點(diǎn)。說出度數(shù)以及向量平移的過程。嘗試下定義。說明理由與教師互動(dòng)完成與教師互動(dòng)完成學(xué)生表示：練習(xí)強(qiáng)化計(jì)算發(fā)現(xiàn)結(jié)論嘗試解釋在教師引導(dǎo)下下定義學(xué)生討論分享：如數(shù)，由向量的夾角大小確定的等等。實(shí)物直觀幫助學(xué)生理解向量的夾角概念的形成過程。認(rèn)知沖突引發(fā)學(xué)生思考，理解向量夾角的內(nèi)涵。強(qiáng)化向量的夾角的內(nèi)涵

14、。培養(yǎng)總結(jié)歸納和概括能力。應(yīng)用概念解決問題。強(qiáng)化概念含義。類比遷移學(xué)習(xí)，幫助理解向量的數(shù)量積概念。感受概念的形成過程。正射影逐漸向數(shù)量的轉(zhuǎn)化，為理解向量的數(shù)量積作鋪墊，感受向量在軸上的數(shù)量化過程。初步感受向量數(shù)量積的含義。物理意義下的“功”概念進(jìn)行抽象概括，培養(yǎng)總結(jié)、歸納及數(shù)學(xué)的表達(dá)能力。概念內(nèi)涵的挖掘，形成知識(shí)體系。7108三利用定義，探究性質(zhì)（一） 向量數(shù)量積的應(yīng)用已知，求， 已知，求已知，求；已知，求 請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成，教師適當(dāng)指導(dǎo)。（二）向量數(shù)量積的性質(zhì)總結(jié) 根據(jù)你剛才的計(jì)算過程和結(jié)果，你能獲得哪些結(jié)論？ 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)以下性質(zhì)：若是單位向量，則且 即性質(zhì)5請(qǐng)同學(xué)們課下證明。教師引導(dǎo)學(xué)生總

15、結(jié)每個(gè)性質(zhì)在今后中的應(yīng)用價(jià)值。學(xué)生獨(dú)立完成觀察發(fā)現(xiàn)，嘗試總結(jié)。初步體會(huì)向量數(shù)量積的應(yīng)用價(jià)值。檢查學(xué)生對(duì)向量的數(shù)量積的定義的應(yīng)用情況，同時(shí)為總結(jié)、歸納和理解向量數(shù)量積的性質(zhì)做鋪墊。培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，幫助學(xué)生理解向量數(shù)量積的性質(zhì)。13四總結(jié)提升，形成模式（1）回顧知識(shí)的形成過程；（2）回顧和反思研究過程，尋求問題解決過程中的方法和思考問題的角度？ 總結(jié)見“六板書設(shè)計(jì)”與教師互動(dòng)完成?？偨Y(jié)提升，形成數(shù)學(xué)思維的模式2五布置作業(yè)教材P109:練習(xí)A、B。作業(yè) 鞏固六板書設(shè)計(jì) 5.學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)課堂觀察評(píng)價(jià)： 1、在揭示向量夾角的內(nèi)涵環(huán)節(jié)中，絕大部分學(xué)生能順利地說出向量夾角的范圍、向量夾角為特殊角

16、時(shí)兩向量的位置關(guān)系以及能正確判斷兩向量的夾角；2、在求已知向量在軸上的正射影及其數(shù)量環(huán)節(jié)中，所有學(xué)生都能正確求解；3、在揭示向量的數(shù)量積的內(nèi)涵環(huán)節(jié)中，75%以上學(xué)生能學(xué)說出其中的部分含義；4、在根據(jù)題目條件求兩個(gè)向量的數(shù)量積和夾角環(huán)節(jié)中，95%以上的學(xué)生能正確解答； 5、在總結(jié)向量數(shù)量積的性質(zhì)環(huán)節(jié)中，65%以上的學(xué)生能總結(jié)出結(jié)論。課后自我評(píng)價(jià)：日期學(xué)習(xí)活動(dòng)課題本節(jié)知識(shí)點(diǎn)，思想方法有哪些我是否知道向量?jī)?nèi)積的幾何意義？我是否理解向量數(shù)量積的性質(zhì)？我對(duì)本節(jié)課感興趣的地方？疑點(diǎn)評(píng)價(jià)教師6.本教學(xué)設(shè)計(jì)與以往或其他教學(xué)設(shè)計(jì)相比的特點(diǎn)(300-500字?jǐn)?shù))1、注重?cái)?shù)學(xué)概念的本質(zhì)，適度形式化在本設(shè)計(jì)中，我努力

17、揭示向量的數(shù)量積概念及其性質(zhì)的發(fā)生、發(fā)展和形成過程。比如：因?yàn)橄蛄康臄?shù)量積概念比較抽象，而且學(xué)生容易受向量的線性運(yùn)算的負(fù)遷移影響，兩個(gè)向量運(yùn)算后是一個(gè)實(shí)數(shù)，學(xué)生很難理解這個(gè)概念。因此，我把學(xué)生熟悉的“功”作為物理背景，經(jīng)過探究功的物理意義、向量夾角的內(nèi)涵、向量在軸上的正射影以及將向量的正射影數(shù)量化的過程（并及時(shí)讓學(xué)生進(jìn)行了相應(yīng)的練習(xí)，而沒有直接采用向量投影的概念），利用類比物理中“功”的意義去理解向量的數(shù)量積概念，同時(shí)，通過揭示向量的數(shù)量積的內(nèi)涵，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)該抽象概念的接受和理解。在研究向量數(shù)量積的重要性質(zhì)時(shí)，教科書對(duì)性質(zhì)的證明未作要求，而是留給學(xué)生課后練習(xí)，隨后給出例題。在處理教材時(shí)，我在這里做了些微調(diào)，沒有直接給出向量數(shù)量積的性質(zhì)，而是通過先讓學(xué)生利用向量積的定義進(jìn)行變式運(yùn)算和操作，加深對(duì)概念的理解，再?gòu)膭偛诺倪\(yùn)算操作中自然總結(jié)出向量數(shù)量積的性質(zhì)，有利于學(xué)