冪法和反冪法求矩陣特征值課程設(shè)計

1、.題目冪法和反冪法求矩陣特征值 課程設(shè)計具體內(nèi)容隨機(jī)產(chǎn)生一對稱矩陣，對不同的原點(diǎn)位移和初值(至少取3個)分別使用冪法求計算矩陣的主特征值及主特征向量，用反冪法求計算矩陣的按模最小特征值及特征向量，并比較不同的原點(diǎn)位移和初值說明收斂。要求1.認(rèn)真讀題，了解問題的數(shù)學(xué)原形；2.選擇合適問題求解的數(shù)值計算方法；3.設(shè)計程序并進(jìn)行計算；4.對結(jié)果進(jìn)行解釋說明；采用方法及結(jié)果說明對于冪法和反冪法求解矩陣特征值和特征向量的問題將從問題分析，算法設(shè)計和流程圖，理論依據(jù)，程序及結(jié)果進(jìn)行闡述該問題。一問題的分析：求n階方陣A的特征值和特征向量，是實際計算中常常碰到的問題，如：機(jī)械、結(jié)構(gòu)或電磁振動中的固有值問題等

2、。對于n階矩陣A，若存在數(shù)和n維向量x滿足 Ax=x （1）則稱為矩陣A的特征值，x為相應(yīng)的特征向量。由高等代數(shù)知識可知，特征值是代數(shù)方程 |I-A|=+a+a+a=0 （2）的根。從表面上看，矩陣特征值與特征向量的求解問題似乎很簡單，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值，再解齊次方程組 （I-A）x=0 （3）的解，就可得到相應(yīng)的特征向量。上述方法對于n很小時是可以的。但當(dāng)n稍大時，計算工作量將以驚人的速度增大，并且由于計算帶有誤差，方程（2）未必是精確的特征方程，自然就不必說求解方程（2）與（3）的困難了。冪法是一種計算矩陣主特征值（矩陣按模最大的特征值）及對應(yīng)特征向量的迭代方法，特別是

3、用于大型稀疏矩陣。反冪法是計算海森伯格陣或三角陣的對應(yīng)一個給定近似特征值的特征向量的有效方法之一。二算法設(shè)計及流程圖1、冪法算法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,1)）,置精度要求，置k=1. （2）計算v=Au,m=max(v), u= v/ m（3）若| m= m|<，則停止計算（m作為絕對值最大特征值，u作為相應(yīng)的特征向量）否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（2）2、反冪法算法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,1)）,置精度要求，置k=1. （2）對A作LU分解，即A=LU（3）解線性方程組 Ly=u,Uv=y（4）計算 m=max(v), u= v/ m（5）若|m=m|<，

4、則停止計算（1/m作為絕對值最小特征值，u作為相應(yīng)的特征向量）;否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（3）.冪法流程圖：開始輸入A；m,u,index=pow(A,1e-6)k=0;m1=0v=A*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1)< 1e-6index=1;break;輸出：m，u，index結(jié)束m1=m;k=k+1反冪法流程圖開始輸入A；m ,u,index =pow_inv(A,1e-6)k=0;m1=0v=invA*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1)< 1e-6index=1;break;輸出：m，u，

5、index結(jié)束m1=m;k=k+1輸入A；m,u,index=pow(A,1e-6)三、算法的理論依據(jù)及其推導(dǎo)（一）冪法算法的理論依據(jù)及推導(dǎo)冪法是用來確定矩陣的主特征值的一種迭代方法，也即，絕對值最大的特征值。稍微修改該方法，也可以用來確定其他特征值。冪法的一個很有用的特性是它不僅可以生成特征值，而且可以生成相應(yīng)的特征向量。實際上，冪法經(jīng)常用來求通過其他方法確定的特征值的特征向量。1、冪法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)n階矩陣A的特征值，,是按絕對值大小編號的，x(i=1,2,n)為對應(yīng)的特征向量，且為單根，即|>|則計算最大特征值與特征向量的迭代格式為v=Au,m=max(v), u= v/

6、m （1）其中max(v)表示向量v絕對值的最大分量。2、對于冪法的定理按式（1）計算出m和u滿足 m=, u=（二）反冪法算法的理論依據(jù)及推導(dǎo)反冪法是用來計算絕對值最小的特征值忽然相應(yīng)的特征向量的方法。是對冪法的修改，可以給出更快的收斂性。1、反冪法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)A是非奇異矩陣，則零不是特征值，并設(shè)特征值為|>|則按A的特征值絕對值的大小排序，有 |>|對A實行冪法，就可得A的絕對值最大的特征值1/和相應(yīng)的特征向量，即A的絕對值最小的特征值和相應(yīng)的特征向量。由于用A代替A作冪法計算，因此該方法稱為反冪法，反冪法的迭代格式為 v= Au,m=max(v), u= v/ m

7、（2）2、對于反冪法的定理按式（2）計算出的m和u滿足： m=, u=在式（2）中，需要用到A，這給計算帶來很大的不方便，因此，把（2）式的第一式改為求解線性方程組 A v= u （3）但由于在反冪法中，每一步迭代都需求解線性方程組（3）式，迭代做了大量的重復(fù)計算，為了節(jié)省工作量，可事先把矩陣A作LU分解，即 A=LU所以線性方程組（3）改為 Ly=u,Uv=y四、算法程序設(shè)計代碼冪法程序，在matlab中建立一個M文件并保存。%pow.mfunction m,u,index,k=pow(A,u,ep,it_max)if nargin<4 it_max=1000;endif nargin

8、<3 ep=1e-5;endn=length(A);index=0;k=0;m1=0;m0=0; I=eye(n);T=A-m0*I;while k<=it_max v=T*u;vmax,i=max(abs(v); m=v(i); u=v/m; if abs(m-m1)<ep; index=1; break; end m=m+m0; m1=m; k=k+1;end在matlab輸入面板，輸入A=rand（4）；%產(chǎn)生一個4維隨機(jī)矩陣B=A+A；u=1 1 1 1;%設(shè)立初始向量m,u,index,k=pow(B，u,ep,it_max)%最多可省略2個參數(shù)程序結(jié)束。在M文件中

9、可以通過改變m0的值改變原點(diǎn)位移，從而達(dá)到原點(diǎn)位移加速。反冪法程序設(shè)計代碼：在matlab中建立一個M文件并保存。%pow_inv.mfunctionm,u,index,k=pow_inv(A,u,ep,it_max)if nargin<4 it_max=1000;endif nargin<3 ep=1e-5;endn=length(A);index=0;k=0;m1=0;m0=0; I=eye(n);T=A-m0*I;invT=inv(T);while k<=it_max v=invT*u; vmax,i=max(abs(v); m=v(i); u=v/m; if abs(

10、m-m1)<ep index=1; break;end m1=m; k=k+1;endm=1/m;m=m+m0;在matlab輸入面板，輸入A=rand（4）；%產(chǎn)生一個4維隨機(jī)矩陣B=A+A；u=1 1 1 1;%設(shè)立初始向量m,u,index,k=pow_inv(B，u,ep,it_max)%最多可省略2個參數(shù)程序結(jié)束。在M文件中可以通過改變m0的值改變原點(diǎn)位移，從而達(dá)到原點(diǎn)位移加速。【結(jié)果顯示】%在M0=1e-4>>B=rand(4);>>A=B+BA =0.2675 0.5776 0.6344 1.3130 0.5776 1.1503 0.7641 0.1

11、367 0.6344 0.7641 0.0257 0.4193 1.3130 0.1367 0.4193 1.2248>> u=1 1 1 1'>> m,u,index,k=pow(A,u)m = 2.6813u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k =49修改M0=1e-3m = 2.6814u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 0k = 1001修改M0=0 %此時為冪法m = 2.6815u = 0.8576 0.6935 0.5623 1.0000index = 1k =

12、10修改U=1 2 3 4修改M0=1e-4m = 2.6813u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k = 9修改M0=1e-3m = 2.6805u = 0.8576 0.6934 0.5622 1.0000index = 1k = 7修改M0=0m = 2.6814u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k = 9修改U=3 5 6 7修改M0=1e-4m = 2.6819u = 0.8577 0.6937 0.5624 1.0000index = 1k = 7修改M0=1e-3m = 2.6814u =

13、0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 0k = 1001修改M0=0m = 2.6820u = 0.8577 0.6937 0.5624 1.0000index = 1k = 7總結(jié)以上,冪法如下：Um0muindexk1 1 1 10.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.00001490.0012.68140.5876 0.6934 0.5623 1.00000100102.68150.8576 0.6935 0.5623 1.00001101 2 3 40.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.000

14、0190.0012.68050.8576 0.6934 0.5622 1.00001702.68140.8576 0.6934 0.5623 1.0000193 5 6 70.00012.68190.8577 0.6937 0.5624 1.0000170.0012.69140.8576 0.6934 0.5623 1.00000100102.6920.8577 0.6937 0.5624 1.000017反冪法結(jié)果顯示：在m0為0時M0=0.001 U=1 1 1 1M0=0.1 u=1 1 1 1M0=0 u=1 3 5 7M0=0.1 u=1 3 5 7M0=0.5 u=1 3 5 7M

15、0=0 u=2 3 4 5M0=0.1 u=2 3 4 5M0=0.7 u=2 3 4 5綜上，反冪法結(jié)果如下：um0muindexk1 1 1 10.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641150.0010.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411600.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641161 3 5 70.50.3847-0.8995 1.0000 0.2726 -0.23641270.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411700.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641202 3 4 50.70.7091-0.6962 -0.4497 0.2196 1.0000150.10.38