達(dá)朗伯爾原理

1、1215-1 15-1 動(dòng)力計(jì)算概述動(dòng)力計(jì)算概述一、動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)、目的和內(nèi)容一、動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)、目的和內(nèi)容1 1、特點(diǎn)：、特點(diǎn)：靜力荷載與動(dòng)力荷載的特點(diǎn)及其效應(yīng)。靜力荷載與動(dòng)力荷載的特點(diǎn)及其效應(yīng)。 “靜力荷載靜力荷載”是指其大小、方向和作用位置不隨時(shí)間而變化的荷載。這是指其大小、方向和作用位置不隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計(jì)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計(jì)，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定的。的。 “ “動(dòng)力荷載動(dòng)力荷載”是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載荷載對(duì)

2、結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力不能忽略對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力不能忽略，因動(dòng)力荷載將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相當(dāng)大的加速度，因動(dòng)力荷載將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相當(dāng)大的加速度，由它所引起的內(nèi)力和變形都是時(shí)間的函數(shù)。由它所引起的內(nèi)力和變形都是時(shí)間的函數(shù)。2 2、目的和內(nèi)容、目的和內(nèi)容 計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)：內(nèi)力、位移、速度與加速度，使結(jié)構(gòu)在動(dòng)內(nèi)力與靜：內(nèi)力、位移、速度與加速度，使結(jié)構(gòu)在動(dòng)內(nèi)力與靜內(nèi)力共同作用下滿足強(qiáng)度和變形的要求。內(nèi)力共同作用下滿足強(qiáng)度和變形的要求。 與靜力計(jì)算的對(duì)比：與靜力計(jì)算的對(duì)比：兩者都是建立平衡方程，但動(dòng)力計(jì)算，利用動(dòng)靜法，兩者都是建立平衡方程，但動(dòng)力計(jì)算，利用動(dòng)靜法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包

3、含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷載、內(nèi)力都是時(shí)間的函數(shù)。建立的載、內(nèi)力都是時(shí)間的函數(shù)。建立的平衡方程是微分方程平衡方程是微分方程。3P(t )tPt簡(jiǎn)諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）簡(jiǎn)諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）一般周期荷載一般周期荷載 動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容：研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算原理和方法。：研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算原理和方法。二、動(dòng)力荷載分類二、動(dòng)力荷載分類 按起變化規(guī)律及其作用特點(diǎn)可分為：按起變化規(guī)律及其作用特點(diǎn)可分為： 1 1）周期荷載：隨時(shí)間作周期性變化）周期荷載：隨時(shí)間作周期性變化。（轉(zhuǎn)

4、動(dòng)電機(jī)的偏心力）。（轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)的偏心力）涉及到內(nèi)外兩方面的因素：涉及到內(nèi)外兩方面的因素： 1 1）確定動(dòng)力荷載（外部因素，即干擾力）；）確定動(dòng)力荷載（外部因素，即干擾力）； 2 2）確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（內(nèi)部因素，如結(jié)構(gòu)的自振頻率、周期、振型和）確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（內(nèi)部因素，如結(jié)構(gòu)的自振頻率、周期、振型和阻尼等等），類似靜力學(xué)中的阻尼等等），類似靜力學(xué)中的I、S等；等；計(jì)算動(dòng)位移及其幅值；計(jì)算動(dòng)內(nèi)力及其幅值。計(jì)算動(dòng)位移及其幅值；計(jì)算動(dòng)內(nèi)力及其幅值。4三、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度三、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度 確定體系上全部質(zhì)量位置所需獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為確定體系上全部質(zhì)量位置所需獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為體系的振

5、動(dòng)自由度體系的振動(dòng)自由度。 實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，嚴(yán)格地說來都是無限自由度體系。計(jì)算實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，嚴(yán)格地說來都是無限自由度體系。計(jì)算困難，常作簡(jiǎn)化如下：困難，常作簡(jiǎn)化如下： 1 1、集中質(zhì)量法、集中質(zhì)量法 把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將一個(gè)無限自由度的問題簡(jiǎn)化成有限把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將一個(gè)無限自由度的問題簡(jiǎn)化成有限自由度問題。自由度問題。3 3）隨機(jī)荷載：）隨機(jī)荷載：( (非確定性荷載非確定性荷載) ) 荷載在將來任一時(shí)刻的數(shù)值無法事先確定。荷載在將來任一時(shí)刻的數(shù)值無法事先確定。（如地震荷載、風(fēng)荷載）（如地震荷載、風(fēng)荷載）2 2）沖擊荷載：）沖擊荷載：

6、短時(shí)內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載）短時(shí)內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載）PtP(t )ttrPtrP52個(gè)自由度個(gè)自由度y2y12個(gè)自由度個(gè)自由度自由度與質(zhì)量數(shù)不一定相等自由度與質(zhì)量數(shù)不一定相等mmm梁m+m梁II2Im+m柱廠房排架水平振廠房排架水平振時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖單自由度體系單自由度體系6水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系多自由度體系多自由度體系構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡(jiǎn)化成剛性塊構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡(jiǎn)化成剛性塊(t)v(t)u(t)4個(gè)自由度個(gè)自由度m1m2m32個(gè)自由度個(gè)自由度7)(xmy(x,t)x無限自由度體系無限自由度體系2 2、廣義座標(biāo)法：、廣義座標(biāo)法： 如簡(jiǎn)支梁的變形曲線可用三角級(jí)數(shù)

7、來表示如簡(jiǎn)支梁的變形曲線可用三角級(jí)數(shù)來表示nkklxktatxy1sin)(),( 用幾條函數(shù)曲線來描述體系的振動(dòng)曲用幾條函數(shù)曲線來描述體系的振動(dòng)曲線就稱它是幾個(gè)自由度體系，其中線就稱它是幾個(gè)自由度體系，其中l(wèi)xksin 是根據(jù)邊界約束條件選取是根據(jù)邊界約束條件選取的函數(shù)，稱為形狀函數(shù)。的函數(shù)，稱為形狀函數(shù)。 ak(t) 稱廣義座標(biāo)，為一組待定稱廣義座標(biāo)，為一組待定參數(shù)，其個(gè)數(shù)即為自由度數(shù)，用此法可將參數(shù)，其個(gè)數(shù)即為自由度數(shù)，用此法可將無限自由度體系簡(jiǎn)化為有限自由度體系。無限自由度體系簡(jiǎn)化為有限自由度體系。x yx)(.),.(),(21xxxna1， a2，. annkkkxatxy1)()

8、,(y(x,t)8四、動(dòng)力計(jì)算的方法四、動(dòng)力計(jì)算的方法動(dòng)力平衡法（達(dá)朗伯爾原理）動(dòng)力平衡法（達(dá)朗伯爾原理）)()(tymtP m0)()(tymtP .運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程m設(shè)其中設(shè)其中)()(tItym P(t)I(t).平衡方程平衡方程I(t)慣性力，與加速度成正比，方向相反慣性力，與加速度成正比，方向相反)()(tymtP 改寫成改寫成虛功原理（拉格朗日方程）虛功原理（拉格朗日方程）哈米頓原理（變分方程）哈米頓原理（變分方程）都要用到抽象的虛位移概念都要用到抽象的虛位移概念)(tym 915-2 15-2 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng) 自由振動(dòng)自由振動(dòng)：體系在振動(dòng)過程中沒有動(dòng)

9、荷載的作用。：體系在振動(dòng)過程中沒有動(dòng)荷載的作用。靜平衡位置靜平衡位置m獲得初位移獲得初位移ym獲得初速度獲得初速度 y自由振動(dòng)產(chǎn)生原因自由振動(dòng)產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻（：體系在初始時(shí)刻（t=t=0 0）受到外界的干擾。）受到外界的干擾。研究單自由度體系的自由振動(dòng)重要性在于：研究單自由度體系的自由振動(dòng)重要性在于：1 1、它代表了許多實(shí)際工程問題，如水塔、單層廠房等。、它代表了許多實(shí)際工程問題，如水塔、單層廠房等。2 2、它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。、它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。自由振動(dòng)反映了體系的固有動(dòng)力特性。自由振動(dòng)反映了體系的固有動(dòng)力特性。要解決的問題

10、包括：要解決的問題包括：建立運(yùn)動(dòng)方程、計(jì)算自振頻率、周期和阻尼建立運(yùn)動(dòng)方程、計(jì)算自振頻率、周期和阻尼. .10 一、運(yùn)動(dòng)微分方程的建立一、運(yùn)動(dòng)微分方程的建立方法：達(dá)朗伯爾原理方法：達(dá)朗伯爾原理應(yīng)用條件：微幅振動(dòng)（線性微分方程）應(yīng)用條件：微幅振動(dòng)（線性微分方程）1 1、 剛度法剛度法：研究作用于被隔離的質(zhì)量上的：研究作用于被隔離的質(zhì)量上的力，建立平衡方程。力，建立平衡方程。m.yj.yd靜平衡位置質(zhì)量m在任一時(shí)刻的位移 y(t)=yj+ydk力學(xué)模型力學(xué)模型.ydmmWS(t)I(t)+重力重力 W彈性力彈性力 )()()(djyyktkytS恒與位移反向恒與位移反向慣性力慣性力)()()(dj

11、yymtymtI Wyykyymdjdj)()( (a)其中 kyj=W 及0jy 上式可以簡(jiǎn)化為0ddkyym 或或).(.0bkyym 由平衡位置計(jì)量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。由平衡位置計(jì)量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。112 2、 柔度法柔度法：研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。：研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。.m靜平衡位置I(t).(.)()()(ctymtIty 0)( ytym k1可得與可得與 ( (b b) ) 相同的方程相同的方程剛度法常用于剛架類結(jié)構(gòu)，柔度法常用于梁式結(jié)構(gòu)。剛度法常用于剛架類結(jié)構(gòu)，柔度法

12、常用于梁式結(jié)構(gòu)。二、自由振動(dòng)微分方程的解二、自由振動(dòng)微分方程的解).(.0bkyym 改寫為0ymky 02yy 其中mk2它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：).(.cossin)(21dtCtCty積分常數(shù)積分常數(shù)C1，C2由初始條件確定由初始條件確定12m靜平衡位置靜平衡位置I(t).(cossin)(21dtCtCty設(shè)設(shè) t=0 時(shí)時(shí)vyyy)0()0(vCyC12.（d）式可以寫成式可以寫成).(.sincos)(etvtyty 由式可知，位移是由初位移由式可知，位移是由初位移y 引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度v 引起的正弦

13、引起的正弦運(yùn)動(dòng)的合成，為了便于研究合成運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成，為了便于研究合成運(yùn)動(dòng), ,令令cos,sinAvAy(e)式改寫成式改寫成).(.).sin()(ftAty它表示合成運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其中它表示合成運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其中A和和 可由下式確定可由下式確定).(.122gvytgvyA振幅振幅相位角相位角13).(.sincos)(etvtyty).(.).sin()(ftAtyy0ty-yTTTvvyt0yt0 A-AtycostvsintAsin14三、結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率三、結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率由式由式)sin()(tAty及圖可見位移方程是一個(gè)周期函數(shù)。及圖可見位移方程是一個(gè)

14、周期函數(shù)。Tyt0 A-A周期周期,2T工程頻率工程頻率),(21HzTf園頻率園頻率Tf22計(jì)算頻率和周期的幾種形式計(jì)算頻率和周期的幾種形式stgWgmmk1gkmTst22頻率頻率和周和周期的期的討論討論1.1.只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與剛度有關(guān)，與外界干擾無關(guān)；只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與剛度有關(guān)，與外界干擾無關(guān)；2.2.與與m的平方根成正比，與的平方根成正比，與k成反比，據(jù)此可改變周期；成反比，據(jù)此可改變周期；3.3.是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要數(shù)量標(biāo)志。是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要數(shù)量標(biāo)志。15例例1. 1. 計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的頻率和周期。計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的頻率和周期。mEI l /2 l /21EIl483348mlEIEIm

15、lT4823例例2.2.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的水平和豎向振動(dòng)頻率。計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的水平和豎向振動(dòng)頻率。mlA,E,IHE,I1HHm1E,A1VVVm1IIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI例例3.3.計(jì)算圖示剛架的頻率和周期。計(jì)算圖示剛架的頻率和周期。 312hEI312hEI由截面平衡由截面平衡324hEIk 324mhEImkEImhT22316四、簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性四、簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性由式由式)sin()(tAty可得，可得，加速度為：加速度為：)sin()(2tAty )sin()()(2tmAtymtI 在無阻尼自由振動(dòng)中，在無阻尼自由振動(dòng)中，位移、加速度和慣性力位移

16、、加速度和慣性力都按正弦規(guī)都按正弦規(guī)律變化，且律變化，且作相位相同的同步運(yùn)動(dòng)作相位相同的同步運(yùn)動(dòng)，即它們?cè)谕粫r(shí)刻均達(dá)極，即它們?cè)谕粫r(shí)刻均達(dá)極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。它們的幅值產(chǎn)生于它們的幅值產(chǎn)生于1)sin(t時(shí)，其值分別為：時(shí)，其值分別為：Ay 2Ay 2mAI 既然在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)質(zhì)體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時(shí)間也一樣，既然在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)質(zhì)體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時(shí)間也一樣，于是可于是可在幅值處建立運(yùn)動(dòng)方程在幅值處建立運(yùn)動(dòng)方程，此時(shí)方程中將不含時(shí)間，此時(shí)方程中將不含時(shí)間t，結(jié)果把，結(jié)果把微分微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)

17、方程了，使計(jì)算得以簡(jiǎn)化。了，使計(jì)算得以簡(jiǎn)化。慣性力為：慣性力為：17例例4. 4. 計(jì)算圖示體系的自振頻率。計(jì)算圖示體系的自振頻率。ABCDEI= l /2 l /2lmm 1mm312kBCk1m2m.A1.A2lk1I2I 解：?jiǎn)巫杂啥润w系，解：?jiǎn)巫杂啥润w系， 以以 表示位移參數(shù)的幅值表示位移參數(shù)的幅值, , 各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為：各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為：221211lmAmIlmlmAmI222222212331建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程0BM023221llklIlI0232122122llkllmllm化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得km2mk18五、阻尼對(duì)振動(dòng)的影響五、阻尼對(duì)振動(dòng)的影響 實(shí)驗(yàn)證明，

18、振動(dòng)中的結(jié)構(gòu)，不僅產(chǎn)生與變形成比例的彈性內(nèi)力，還產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)證明，振動(dòng)中的結(jié)構(gòu)，不僅產(chǎn)生與變形成比例的彈性內(nèi)力，還產(chǎn)生非彈性的內(nèi)力，非彈性的內(nèi)力，非彈性力起阻尼作用非彈性力起阻尼作用。在不考慮阻尼的情況下所得出的某些。在不考慮阻尼的情況下所得出的某些結(jié)論也反應(yīng)了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，如：結(jié)論也反應(yīng)了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，如： 事實(shí)上，由于非彈性力的存在，自由振動(dòng)會(huì)衰減直到停止；共振時(shí)振幅也事實(shí)上，由于非彈性力的存在，自由振動(dòng)會(huì)衰減直到停止；共振時(shí)振幅也不會(huì)無限增大，而是一個(gè)有限值。不會(huì)無限增大，而是一個(gè)有限值。 非彈性力起著減小振幅的作用，使振動(dòng)衰減，因此，為了進(jìn)一步了解結(jié)構(gòu)非彈性力起著減小振幅的作用，使振動(dòng)

19、衰減，因此，為了進(jìn)一步了解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，就要研究阻尼。的振動(dòng)規(guī)律，就要研究阻尼。1 1、阻尼的存在、阻尼的存在忽略阻尼的振動(dòng)規(guī)律忽略阻尼的振動(dòng)規(guī)律考慮阻尼的振動(dòng)規(guī)律考慮阻尼的振動(dòng)規(guī)律結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，與外因無關(guān)。結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，與外因無關(guān)。簡(jiǎn)諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。簡(jiǎn)諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。自由振動(dòng)的振幅永不衰減。自由振動(dòng)的振幅永不衰減。自由振動(dòng)的振幅逐漸衰減。自由振動(dòng)的振幅逐漸衰減。共振時(shí)的振幅趨于無窮大。共振時(shí)的振幅趨于無窮大。共振時(shí)的振幅較大但為有限值。共振時(shí)的振幅較大但為有限值。192 2、在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素、在建筑物中產(chǎn)生阻尼、

20、耗散能量的因素1 1）結(jié)構(gòu)在變形過程中材料內(nèi)部有摩擦，稱）結(jié)構(gòu)在變形過程中材料內(nèi)部有摩擦，稱“內(nèi)摩擦內(nèi)摩擦”，耗散能量；，耗散能量； 2 2）建筑物基礎(chǔ)的振動(dòng)引起土壤發(fā)生振動(dòng)，此振動(dòng)以波的形式向周圍擴(kuò)散，）建筑物基礎(chǔ)的振動(dòng)引起土壤發(fā)生振動(dòng)，此振動(dòng)以波的形式向周圍擴(kuò)散， 振動(dòng)波在土壤中傳播而耗散能量；振動(dòng)波在土壤中傳播而耗散能量；3 3）土體內(nèi)摩擦、支座上的摩擦、結(jié)點(diǎn)上的摩擦和空氣阻尼等等。）土體內(nèi)摩擦、支座上的摩擦、結(jié)點(diǎn)上的摩擦和空氣阻尼等等。 振動(dòng)的衰減和能量的耗散都通過非彈性力來考慮，由于對(duì)非彈性力的描述振動(dòng)的衰減和能量的耗散都通過非彈性力來考慮，由于對(duì)非彈性力的描述不同，目前主要有兩種阻

21、尼理論：不同，目前主要有兩種阻尼理論：* *粘滯阻尼理論粘滯阻尼理論非彈性力與變形速度成正比：非彈性力與變形速度成正比：* *滯變阻尼理論滯變阻尼理論yctR)(關(guān)于阻尼，有兩種定義或理解：關(guān)于阻尼，有兩種定義或理解：1 1）使振動(dòng)衰減的作用；）使振動(dòng)衰減的作用；2 2）使能量耗散。）使能量耗散。3 3、阻尼力的確定：、阻尼力的確定：總與質(zhì)點(diǎn)速度反向；大小與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系：總與質(zhì)點(diǎn)速度反向；大小與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系： 1 1）與質(zhì)點(diǎn)速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。）與質(zhì)點(diǎn)速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。 2 2）與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比（如質(zhì)點(diǎn)在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力）。）與質(zhì)點(diǎn)速度

22、平方成正比（如質(zhì)點(diǎn)在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力）。 3 3）與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)（如摩擦力）。）與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)（如摩擦力）。其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。20mS(t)I(t)P(t)y.kmP(t)P(t)(tRC平衡方程平衡方程)()(tkytS)()(tymtI )(tPkyycym 0ymkymcy yctR)(4 4、阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響、阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響0kyycym 令mc2mk2及022yyy 設(shè)解為：tBey特征方程特征方程0222),1(22, 1特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)(21（1）低阻尼情形低阻尼情形 ( 1 ),1(22, 1特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)(,122, 1i令21rtitirreBeBty)(2)(1)()(21tititrreBeBexixexixeixixsincossincos)s