七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法

1、七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一 三元一次方程三元一次方程(組組) 定義條件三元一次方程含有三個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1,這樣的方程叫做三元一次方程.(1)含有三個(gè)未知數(shù);(2)含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1;(3)方程等號(hào)的左右兩邊是整式.三元一次方程組一般地,含有三個(gè)未知數(shù),含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,并且由三個(gè)方程組成,這樣的方程組叫做三元一次方程組.(1)方程組中共有三個(gè)未知數(shù);(2)含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1;(3)每個(gè)方程等號(hào)兩邊都是整式.溫馨提示(1)三元一次方程組中,每一個(gè)方程都是一次方程;(2)三元一次方程組中,不一定每個(gè)方程都是

2、三元一次方程,如也是三元一次方程組.xy3,xz5,x2七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法例例1 下列方程是三元一次方程的是 .(填序號(hào))x+y-z=1;4xy+3z=7;+y-7z=0;6x+4y-3=0.2x解析解析 是;不是,4xy的次數(shù)為2;不是,不是整式;不是,方程中只有2個(gè)未知數(shù).2x答案答案七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法例例2下列方程組中是三元一次方程組的是()A. B.C. D. 3245xyzyzwxzw0210-211xyzxyzxz3-04xyzx yzxz3145xyyzxz解析解析 A項(xiàng)含有4個(gè)未知數(shù);B項(xiàng)中

3、2yz的次數(shù)為2;D項(xiàng)中y+=4不是整式方程.故選C.1z答案答案 C點(diǎn)撥點(diǎn)撥理解三元一次方程組的定義要注意以下幾點(diǎn):(1)方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程;(2)一般地,如果三個(gè)一次方程合起來共有三個(gè)未知數(shù),它們就能組成一個(gè)三元一次方程組.七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二 三元一次方程組的解法三元一次方程組的解法 基本思路具體步驟解三元一次方程組通過“代入”或“加減”進(jìn)行消元,把“三元”化為“二元”,使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組,進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.(1)變形:變?nèi)淮畏匠探M為二元一次方程組;(2)求解:解二元一次方程組;(

4、3)回代:將求得的未知數(shù)的值代入原方程組的一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠讨?得到一個(gè)一元一次方程;(4)求解:解一元一次方程,求出第三個(gè)未知數(shù);(5)寫解:用“”將所求的三個(gè)未知數(shù)的值聯(lián)立起來,即得原方程組的解.轉(zhuǎn)化思想三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程溫馨提示(1)在消元時(shí),首先注意確定消去哪個(gè)未知數(shù),再根據(jù)情況選擇代入消元還是加減消元;(2)有些特殊的方程組可用特殊的消元法,解題時(shí)要根據(jù)各方程的特點(diǎn)尋求較簡(jiǎn)單的解法.七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法例例3解方程組: 2311,32 -211,4 -3 -24.xyzxyzxyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三

5、元一次方程組的解法解析解析 2-,得x+8z=11.3+,得10 x+7z=37.與聯(lián)立,得解這個(gè)方程組,得把x=3,z=1代入,得y=2.所以原方程組的解為點(diǎn)撥點(diǎn)撥當(dāng)方程組中某兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系時(shí),通常用加減消元法消去這個(gè)未知數(shù).811,10737.xzxz3,1.xz3,2,1.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法題型一題型一 靈活求解三元一次方程組靈活求解三元一次方程組例例1解方程組:(1)(2) 1,6,3;xyyzzx3 4,4 5,36.x yy zxyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法解析解析 (1

6、)+,得2(x+y+z)=10,即x+y+z=5.由-,得z=4.由-,得x=-1.由-,得y=2.所以原方程組的解為(2)由,得x y z=3 4 5.設(shè)x=3k(k0),y=4k,z=5k,代入,得3k+4k+5k=36,解得k=3.所以x=9,y=12,z=15.所以原方程組的解為-1,2,4.xyz9,12,15.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法點(diǎn)撥點(diǎn)撥第(1)題采用整體消元的方法得到方程組的解,這是一種比較簡(jiǎn)單的求解方法,也可以先用方程消去y,把所得到的方程和組成二元一次方程組求解.形如第(2)題,當(dāng)方程組中未知數(shù)以比例形式出現(xiàn)時(shí),可設(shè)1份為k,再

7、根據(jù)其比例確定各未知數(shù),然后將其代入方程組中的一個(gè)合適方程中,求出k的值,從而求出各未知數(shù)的值,此種方法稱為參數(shù)法.七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法題型二題型二 三元一次方程組的簡(jiǎn)單應(yīng)用三元一次方程組的簡(jiǎn)單應(yīng)用例例2在y=ax2+bx+c中,當(dāng)x=-1時(shí),y=2;當(dāng)x=2時(shí),y=8;當(dāng)x=5時(shí),y=158.(1)求a,b,c的值;(2)求當(dāng)x=-2時(shí),y的值.解析解析 (1)根據(jù)題意,得解這個(gè)方程組,得(2)由(1)得y=8x2-6x-12.當(dāng)x=-2時(shí),y=8(-2)2-6(-2)-12=32.點(diǎn)撥點(diǎn)撥 本題實(shí)質(zhì)上仍是一個(gè)解三元一次方程組的問題,式子y=ax2+

8、bx+c是以后要學(xué)的二次函數(shù)的解析式,轉(zhuǎn)化為解三元一次方程組是解決后面許多數(shù)學(xué)問題的有效方法.-2,428,255158.a bcabcabc8,-6,-12.abc七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法題型三題型三 三元一次方程組在實(shí)際問題中的應(yīng)用三元一次方程組在實(shí)際問題中的應(yīng)用例例3某汽車公司計(jì)劃用20輛汽車裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜36噸到外地銷售(每輛汽車按規(guī)定滿載,且每輛汽車只能裝同一種蔬菜,每種蔬菜不少于1車),相關(guān)數(shù)據(jù)如下表,應(yīng)該如何安排,可使公司獲得利潤(rùn)18 300元?蔬菜種類甲乙丙每輛汽車能裝的噸數(shù)211.5每噸蔬菜可獲得的利潤(rùn)(百元)574七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

9、三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法解析解析 設(shè)裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜的車輛分別為x輛、y輛、z輛,由題意得解得答:當(dāng)裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜的車輛分別為15輛、3輛、2輛時(shí),可使公司獲得利潤(rùn)18 300元.點(diǎn)撥點(diǎn)撥本題考查了三元一次方程組在實(shí)際生活中的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系,并列出方程組.20,21.536,500 2700400 1.518 300,xyzxyzxyz15,3,2.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一 三元一次方程三元一次方程(組組)1.下列方程是三元一次方程的是()A.x+y-z=1 B.4xy+3z=7C

10、.+y-7z=0 D.6x+4y-3=02x答案答案 A A是;B不是,4xy為二次項(xiàng);C不是,不是整式;D不是,方程中只有2個(gè)未知數(shù).2x七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法2.下列方程組不是三元一次方程組的是( )A. B.C. D. 576xxyxyz342xyyzzx4 -91731518232xzxyzxyz-51-32xy zxyzxy答案答案 D 選項(xiàng)D的xyz=1中“xyz”的次數(shù)是3,故D中方程組不符合三元一次方程組的定義.故D中的方程組不是三元一次方程組.3.若(a-1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程,那么a

11、= ,b= .答案答案-1;0解析解析 a-10,b+1=1,2-|a|=1,a=-1,b=0.七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二 三元一次方程組的解法三元一次方程組的解法4.解方程組若用代入消元法解方程組,第一步應(yīng)把 化為 ,代入 中,消去 ,組成二元一次方程組;如果用加減消元法解這個(gè)方程組,第一步應(yīng)用 ,消去 ,與組成二元一次方程組.311,4318,5,xyxyzxyz答案答案;y=11-3x;y;-;z5.若則x+y+z= .2 -3,2 -4,2 -5,x yy zz x答案答案12解析解析 三個(gè)方程相加,即可得出x+y+z=12.七年級(jí)數(shù)

12、學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法6.解方程組: (1)(2) 27,33,30;xyyzzx26,-1,2 -18.xyzx yx yz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法解析解析 (1)解法一:由+,得2x+2y+2z=90,即x+y+z=45.-,得z=18,-,得x=12,-,得y=15.因此,原方程組的解為解法二:由+-,得2y=30,即y=15.由+-,得2x=24,即x=12.由+-,得2z=36,即z=18.因此,原方程組的解為解法三:由,得x=27-y.12,15,18.xyz12,15,18.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的

13、解法8.4 三元一次方程組的解法把代入,得z+27-y=30,即z-y=3.由與組成方程組,得解這個(gè)方程組,得把y=15代入,得x=12.因此,原方程組的解為(2)-,得x-2y=-8.-,得y=9.把y=9代入,得x-9=1,所以x=10.33,-3.yzz y15,18.yz12,15,18.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法把x=10,y=9代入,得10+9+z=26 ,解得z=7.所以原方程組的解為 10,9,7.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法1.下列方程中三元一次方程的個(gè)數(shù)為()z+3y+x=0;3a+b=4c;

14、-3y+2z=3m(m為常數(shù));xyz-y+3z=5.A.1 B.2 C.3 D.42x答案答案 B 根據(jù)三元一次方程的定義來判斷,中不是整式,中xyz的次數(shù)為3,所以不是三元一次方程;只有是三元一次方程.故選B.2x七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法2.下列方程組中,是三元一次方程組的是()A. B.C. D. 3593-2 -21xyzxymxm z421xyz3-18xyyzzw92 -2-0abd aba bd答案答案 B 因?yàn)锳選項(xiàng)和C選項(xiàng)中都有四個(gè)未知數(shù),而D選項(xiàng)中的含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是二次,所以A、C、D都不是三元一次方程組,故選B.七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

15、三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法3.解三元一次方程組時(shí),要使運(yùn)算簡(jiǎn)便,應(yīng)采取的消元的方法是( )A.先消去x B.先消去yC.先消去z D.以上說法都不正確-11,-5,-1xy zyz xzx y答案答案 D 可以同時(shí)消去兩個(gè)未知數(shù),故選D.七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法4.如果方程組的解是則a= ,b= ,c= .-8,-1,32ax bycy bzxzc1,-2,-1,xyz答案答案2;3;1解析解析 把代入方程組得解得 1,-2,-1xyz28,-21,3-12 ,abcbc2,3,1.abc七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元

16、一次方程組的解法5.解方程組: -4,-2-1,-1.x zzyxy z解析解析 -得-y=5,y=-5 .把y=-5代入,得z=-11,再將z=-11代入得x=-7,所以方程組的解為 -7,-5,-11.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法1.以為解建立一個(gè)三元一次方程,不正確的是()A.3x-4y+2z=3 B.x-y+2z=-2C.x+y-z=-2 D.-z=1 3,1,-1xyz132x 23y56答案答案 C 把x=3,y=1,z=-1分別代入四個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)算.七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法2.已知三元一次方程組經(jīng)過步驟-和

17、4+消去未知數(shù)z后,得到的二元一次方程組是( )A. B.C. D. 540,3-411,-2,xyzxyzxyz432753xyxy432231711xyxy342753xyxy342231711xyxy答案答案 A -得4x+3y=2;4+得7x+5y=3.七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法3.有甲、乙、丙三種商品,如果購(gòu)甲種商品3件、乙種商品2件、丙種商品1件共需315元,購(gòu)甲種商品1件、乙種商品2件、丙種商品3件共需285元,那么購(gòu)甲、乙、丙三種商品各一件共需 元.答案答案150解析解析 設(shè)甲種商品每件x元,乙種商品每件y元,丙種商品每件z元.根據(jù)題意,得兩

18、方程相加得4x+4y+4z=600,所以x+y+z=150.即共需150元.32315,23285.xyzxyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法4.解下列三元一次方程組: (1)(2) -4-3,2-18,- -7;xyzxy zx y z4327,6 -4 -6,2 -1.xyzxy zx yz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法解析解析 (1)+,得3x-3y=15,即x-y=5,-,得x+2y=11,-,得3y=6,解得y=2,把y=2代入,得x=7.再把x=7,y=2代入,得z=-2.-4-3,2-18,- -7.xyzxy zx

19、 y z七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法所以原方程組的解為(2)-2,得5y=5,解得y=1,+,得8x-5y=7,把y=1代入,解得x=,再把x=,y=1代入,得z=-1.7,2,-2.xyz4327,6 -4 -6,2 -1.xyzxy zx yz3232七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法所以原方程組的解為 3,21,-1.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法1.(2015山東聊城陽(yáng)谷期中)若(2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,則x+y+z等于 ( )A.- B. C.2 D.-21212

20、答案答案 A (2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,解得x+y+z=2-2-=-.2 -40,0,4 -0,xxyz y2,-2,1-,2xyz 1212七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法2.解方程組: (1)(2) ,10,3 -9;xyzxyzx y6,3 -3,23 -12.xyzx yxy z七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法解析解析 (1)把代入得2y+2z=10,即y+z=5,把代入得3y+3z-y=9,即2y+3z=9,3-得y=6,把y=6代入得z=-1,把y=6,z=-1代入得x=5,則方程組的解為,10,3

21、-9,xyzxyzx y5,6,-1.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法(2)+得3x+4y=18,-得y=3,把y=3代入得x=2,把x=2,y=3代入得z=1, 所以方程組的解為 6,3 -3,23 -12,xyzx yxy z2,3,1.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法3.在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中,當(dāng)x=-1時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=3;當(dāng)x=5時(shí),y=60.求a、b、c的值. 解析解析 根據(jù)題意,得-,得a+b=1,-,得4a+b=10.與組成二元一次方程組解得把a(bǔ)=3,b=-2代入,得c=-5.所以a、b、c

22、的值分別為3、-2、-5.-0,423,25560.a bcabcabc1,410,abab3,-2.ab七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法4.某單位職工在植樹節(jié)時(shí)去植樹,甲、乙、丙三個(gè)小組共植樹50棵,乙組植樹的棵數(shù)是甲、丙兩組的和的,甲組植樹的棵數(shù)恰是乙組與丙組的和,求每組各植樹多少棵. 14解析解析 設(shè)甲組植樹x棵,乙組植樹y棵,丙組植樹z棵,根據(jù)題意,得解得答:甲組植樹25棵,乙組植樹10棵,丙組植樹15棵.50,1(),4,xyzyxzxyz25,10,15.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法一、選擇題一、選擇題1.(20

23、16河南師大附中月考,3,)下列說法不正確的是()A.方程3x+2y+z=20有唯一一個(gè)解B.若x,y,z是非負(fù)數(shù),則三元一次方程3x+5y+2z=0只有一個(gè)解C.方程4a+b+2c=7是三元一次方程D.方程組是三元一次方程組1,2,-1xyyz答案答案 A 方程3x+2y+z=20有無數(shù)個(gè)解,故選A.七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法2.(2016遼寧撫順一中期末,6,)若|x-3y+5|+|3x+y-5|+|x+y-3z|=0,則( )A. B. C. D. -121xyz121xyz12-1xyz-1-2-1xyz答案答案 B 由題意可得三元一次方程組+3,得

24、10 x-10=0,解得x=1.把x=1代入,得y=2.再把x=1,y=2代入,得z=1.-350,3-50,-30,xyxyxyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法二、解答題二、解答題3.(2016山東牟平一中質(zhì)量檢測(cè),19,)解方程組(7分) 3 -4,23 -12,6.x yzxy zxyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法解析解析 +,得5x+2y=16,-,得2x-2y=-2,+,得7x=14,解得x=2.把x=2代入,得y=3.把x=2,y=3代入,得z=1.所以方程組的解為 3 -4,23 -12,6,x yzxy zxyz

25、2,3,1.xyz七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法(2014河南南街中學(xué)期中,22,)解方程組12,2522,4 .xyzxyzxy8,2,2.xyz12,2522,4 ,xyzxyzxy2,2,yz512,6522,yzyz解析 把分別代入,得解得把y=2代入,得x=8,所以方程組的解為 七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法填空題填空題(2015山東濱州中考,18,)某服裝廠專門安排210名工人進(jìn)行手工襯衣的縫制,每件襯衣由2個(gè)衣袖、1個(gè)衣身、1個(gè)衣領(lǐng)組成.如果每人每天能夠縫制衣袖10個(gè),或衣身15個(gè),或衣領(lǐng)12個(gè),那么應(yīng)該安排 名工人縫制衣袖,才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領(lǐng)正好配套.答案答案120七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三元一次方程組的解法8.4 三元一次方程組的解法解析解析 設(shè)應(yīng)該安排x名工人縫制衣袖,y名工人縫制衣身,z名工人縫制衣領(lǐng),才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領(lǐng)正好配套,依題意有解得故應(yīng)該安排120名工人縫制