高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》詳解+公式+精題(附講解)

1、高中數(shù)學(xué)?三角函數(shù)?詳解 +公式+ 精題附講解 引言三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的根本重要內(nèi)容之一，三角函數(shù)的定義及性質(zhì)有許多 獨(dú)特的表現(xiàn)， 是高考中對根底知識和根本技能進(jìn)行考查的一個內(nèi)容。 其考查內(nèi)容 包括：三角函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，同角三角函數(shù)的根本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩 角和與差的正弦、余弦、正切。兩倍角的正弦、余弦、正切。 、正弦定理、余弦 定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函數(shù)。要求掌握三角函數(shù)的定義， 圖象和性質(zhì)，同角三角函數(shù)的根本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，會用“五點(diǎn)法作正余弦函 數(shù)及 的簡圖；掌握根本三角變換公式進(jìn)行求值、化簡、證明。 了解反三角函數(shù) 的概念，會由三角函數(shù)值求角并能用反三角函數(shù)符

2、號表示。 由于新教材刪去 了半角公式， 和差化積，積化和差公式等內(nèi)容， 近年的高考根本上圍繞三角函數(shù) 的圖象和三角函數(shù)的性質(zhì)， 以及簡單的三角變換來進(jìn)行考查， 目的是考查考生對 三角函數(shù)根底知識、根本技能、根本運(yùn)算能力掌握情況。2 近年來高考對三角局部的考查多集中在三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)， 重視對三角函數(shù)根底知識和技能 的考查。每年有 2 3 道選擇題或填空題， 或 1 2 道選擇、填空題和 1 道 解答題?？偟姆种禐?15 分左右，占全卷總分的約 10 左右。 1 關(guān)于三 角函數(shù)的圖象 立足于正弦余弦的圖象，重點(diǎn)是函數(shù) 的圖象與 y=sinx 的圖象 關(guān)系。根據(jù)圖象求函數(shù)的表達(dá)式，以及三角函數(shù)

3、圖象的對稱性。如 2000 年第 5 題、 17 題的第二問。 2 求值題 這類問題在選擇題、填空題、 解答題中出現(xiàn)較多， 主要是考查三角的恒等變換。 如 2002 年 15 題。 3 關(guān)于三角函數(shù)的定義域、 值域和最值問題 4 關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)包括奇 偶性、單調(diào)性、周期性。一般要先對的函數(shù)式變形，化為一角一函數(shù)處理 如 2001 年 7 題。 5 關(guān)于反三角函數(shù)， 2000 2002 年已連續(xù) 三年不出現(xiàn)。 6 三角與其他知識的結(jié)合如 1999 年第 18 題復(fù)數(shù)與三 角結(jié)合 今后有關(guān)三角函數(shù)仍將以選擇題、填空題和解答題三種題型出現(xiàn)，難 度不會太大，會控制在中等偏易的程度；三角函數(shù)如果在解

4、答題出現(xiàn)的話， 應(yīng) 放在前兩題的位置，放在第一題的可能性最大， 難度不會太大。 二、復(fù)習(xí)策略 1、 近幾年的高考已經(jīng)堅決拋棄對復(fù)雜三角變換及特殊技巧的考查， 重點(diǎn)已轉(zhuǎn)移到對 根底和根本技能的考查上。 所以復(fù)習(xí)中用好教材、打好根底猶為重要。 1 一 定要掌握好三角函數(shù)的圖象，特別是 的圖象的五點(diǎn)法作圖及平移、伸縮作圖。 2 熟知三角函數(shù)的根本性質(zhì)、切實(shí)掌握判定三角函數(shù)奇偶性、確定單調(diào)區(qū) 間及求周期的方法。 3 熟練掌握三角變換的根本公式， 弄清公式的推導(dǎo)關(guān)系 和互相聯(lián)系，把根本公式記準(zhǔn)用熟。*?三角函數(shù)公式大全?銳角三角函數(shù)公式sin a= / a的對邊/斜邊COS a= / a的鄰邊/斜邊ta

5、n a= / a的對邊/ / a的鄰邊cot a= / a的鄰邊/ / a的對邊倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-Si nA9=1-2Si nAA2=2CosAA2-1tan2A= 2tanA/ 1-tanAT 注：Si nA2是 si nA 的平方 si n2 A三倍角公式sin3 a=4sin a sin(冗/3+ a)sin( M3- a)cos3 a=4cos a COS( n/3+ a)COS( M3- a)tan3a = tan a -tan( n/3+a) - tan(冗/3-a)三倍角公式推導(dǎo)sin3a=sin(2a+a)=sin2aCosa+Co

6、s2asina輔助角公式Asin a+Bcos a=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t)，其中si nt=B/(AA2+BA2)A(1/2)Cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)tant=B/AAsin a+BCos a=(AA2+BA2)A(1/2)Cos(a-t) ， tant=A/B降冪公式sinA2( a)=(1-cos(2 a)/2=versin(2 a)/2cosA2( a)=(1+cos(2a)/2=covers(2a )/2tanA2( a)=(1-cos(2a)/(1+cos(2a)推導(dǎo)公式tan a+cot a=2/sin2atan a-cot a=-2co

7、t2a1+cos2 a=2cosA2 a1-cos2 a=2sinA2 a1+sin a=(sin a/2+cos a/2)A2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sin

8、a( v3/2)²-sin²a=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60 °+sina)(sin60 °-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60°-a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60 °-a)/2=4sinasin(60 °+a)sin(60 °-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos &

9、sup2;a-(v3/2) ²=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30 °)=4cosa*2cos(a+30°)/2cos(a-30°)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30 °)/2=-4cosasin(a+30°)sin(a-30 °)=-4cosasin90 °-(60 °-a)sin-90 °+(60 °+a)=-4cosacos(

10、60°-a)-cos(60 °+a)=4cosacos(60 °-a)cos(60 °+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60 °+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin A2(a/2)=(1-cos(a)/2cosA2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)三角和sin( a+ 3+ Y=sin

11、a s 3 s y+cos a sin 3 s 7+cos a cos 3 sin 丫-sin a sin 3 sin 丫cos( a+ 3+ 丫)=cos a cos 3 cos 丫-cos a sin 3 sin 丫-sin a cos 3 sin ；-sin a sin 3 cos 丫tan(a+3+丫)=(tana+tan3+tan；-tanatan3tany)/(1-tanatan3-tan3tan丫-tanytana)兩角和差a sin 3cos( a+ 3)=cos a cos 3-sincos( a-3)=cos a cos3+sina sin 3sin( a±3)=

12、sin a cos 3±cos a sin 3a tan 3)tan( a+ 3)=(tan a+tan 3)/(1-tantan( a- 3)=(tana-tan 3)/(1+tana tan 3)和差化積sin 0+sin $ = 2 sin( 0+ $)/2 cos( 0- $)/2sin 0-sin $ = 2 cos( 0+ $)/2 sin( 0- $)/2cos 0+cos $= 2 cos( 0+ $)/2 cos( 0-$)/2cos 0-cos $= -2 sin( 0+ $)/2 sin( 0-$)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=ta

13、n(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差sin asin 3 =cos( a- 3)-cos( a + 3) /2cos acos 3 =cos( a+ 3)+cos( a-3)/2sin acos 3 =sin( a+ 3)+sin( a-3)/2cos asin 3 =sin( a+ 3)-sin( a-3)/2誘導(dǎo)公式sin(- a) = -sin acos(- a) = cos atan ( a)=-tan asin( n2- a):= cos acos( n2- a)= sin asi

14、n( n2+ a)= cos acos( tt/2+ a) = -sin asin( n- a) = sin aCOS( n- a) = -COS asin( n+ a) = -sin acos( n+ a) = -cos atanA= sinA/COsAtan n /2 + a= cot atan n /2 a= cot atan n a= tan atan n + a= tan a誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限 萬能公式sin a=2tan( a/2/ 1+tan 人(a/2)cos a= 1-tan 人(2) /1+tan 人(a/2)tan a=2tan( a/2)/ 1-t

15、an 人(a/2)其它公式(1) (sin a)A2+(cos a)A2=1(2) 1+(ta n a)A2=(sec a)A2(3) 1+(cot a)A2=(csc a)A2證明下面兩式，只需將一式，左右同除sin aA2,第二個除COS aA2即可(4) 對于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 證:A+B= n-Ctan (A+B)=ta n(n-C)(ta nA+ta nB)/(1-ta nAta nB)=(ta nn-ta nC)/(1+ta nuta nC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證，當(dāng)x

16、+y+z=n冗(n Z)時,該關(guān)系式也成立由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論(5) COtACOtB+COtACOtC+COtBCOtC=1(6) COt(A/2)+COt(B/2)+COt(C/2)=COt(A/2)COt(B/2)COt(C/2)(7) (COsA A2+(COsB A2+(COsC A2=1-2COsACOsBCOsC(8) sinA A2+ sinB A2+ sinC A2=2+2COsACOsBCOsC+sin a+2 n*(n-1)/n=(9) sin a+sin( a+2 n/n)+sin( a+2 n*2/n)+sin(a+

17、2 n*3/n)+cos a+cos(a+2nn)+cos(a+2n*2/n)+cos(a+2n*3/n)+ +cosa+2n*(n-1)/n=0以及sinA2( a)+sinA2( a-2 n/3)+sin9(a+2 n/3)=3/2ta nAta nBta n(A+B)+ta nA+ta nB-ta n(A+B)=0*三角函數(shù)專題復(fù)習(xí):1求函數(shù)7- 的初相匚的問題2丨函數(shù)口的圖象及應(yīng)用3三角函數(shù)的最值問題4丨角的拆拼在求值中的應(yīng)用教學(xué)目的通過對四個三角函數(shù)中的熱點(diǎn)問題的專題研究， 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)中的主要知識點(diǎn)和重 點(diǎn)題型的解題方法，深層挖掘三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系， 盡量使學(xué)生對三角函數(shù)知

18、識的掌握融會 貫穿。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)上述四個專題中涉及的核心思想知識分析一求函數(shù) -4的初相的問題在三角函數(shù)問題中，我們經(jīng)常遇到求函數(shù)北- -的初相的問題，這一類問題是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，又是高考中的熱點(diǎn)， 現(xiàn)在我們將相關(guān)題型進(jìn)行歸納，幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)相關(guān)知 識：1、由圖象求此類問題，解題的關(guān)鍵是從圖象特征入手，尋找解題的突破口。y = 2血宓+卩|卩|< 例1如圖1所示函數(shù)-的圖象，由圖可知IQ開型= 0= tA.116JFOf =2, =-C.© = ,<P=-B.16£3 = 2f 申=6D.JJ21 lwW x圖1解：由，易得 A = 21 Vr函數(shù)圖象過0,1丨

19、和 :，再考慮到-2tt,+/. Q 二 2 Q> h 6應(yīng)選c。例2.圖2所示，那么7Te ；A.7T7T7TC0 = *C. -賓D.心二一5tt4f =T解：由圖象知1 = 3- 1= 242005 年福建函數(shù)：-r': ''1' 的局部圖象如y = sin( x +點(diǎn)3 , 0是在函數(shù)-的單調(diào)遞減的那段曲線上。7TTT3X七+泊沖+ 丁注尹印+ =2kJ!-+7r因此4? = 2k+ ? (k e Z)p < 2打憑na令二-，得“，應(yīng)選Co2、由奇偶性求M(, 0)0, J其圖象關(guān)于點(diǎn)-對稱，且在區(qū)間'上是單調(diào)函數(shù)，求-的值。解：由

20、亠二是偶函數(shù)，得I 一； I*即一門=二 -：'"-:=所以-“對任意x都成立，且:_打由汀解得殲3、由最值求42時取例4.函數(shù)-1二一以2為最小正周期，且能在x得最大值，那么的一個值是3ttB. 一C. -D. Jf (町=£in(+2啊解: '® T'二 2,當(dāng)卞='時取得最大值,：.血(2tt+卸)=12n + ?.= 2k,?r+ 一. ke Z 即：.=1開一手,，0巨可3h(D k 0當(dāng)亠-時，-,應(yīng)選A。四、由對稱性求D例5. 2005全國設(shè)函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線s =，求匚解：因?yàn)闀讯?#163;v - fsin

21、2匯手十呵二士1'是函數(shù)-的圖象的對稱軸，所以-二函數(shù)'-：-1 ' " 1 I的圖象及應(yīng)用下面我們談一談函數(shù)的圖象在日常生產(chǎn)、生活中的幾個應(yīng)用。1、顯示水深例6. 2004 湖北設(shè)1，"'是某港口水的深度 y米關(guān)于時間t時的函數(shù)，其中匚下表是該港口某一天從0時到24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y12經(jīng)長期觀測，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù) 的圖象。下面的函數(shù)中，最能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是7Fy = 12-1- 3sin t 亡Q 24A.B.6y = 12-f 3sin< 1+7?), t

22、 e 0, 246 ' '71y = 12 +tR t eQ, 24C.解：由數(shù)據(jù)，易得 一-的周期為T = 12由易得振幅 A= 3又 t = 0 時，y= 12 ,.k = 127V小x 0 + =0門令打得J 'y=12+3sm -t, teQ, 24故2、確定電流最值例7如圖3表示電流I與時間t的函數(shù)關(guān)系式：I = -'L；：'-l：-1根據(jù)圖象寫出I =-的解析式；12為了使I =_；中t在任意段丄:秒的時間內(nèi)電流在同一周期內(nèi)的圖象。I能同時取得最大值和最小值，那么正整數(shù)：-：，的最小值是多少?i5D0-1l/y_ 1 0300丿圖3tl解：1

23、由圖知A = 300 ,叭識宀=2擊+圭諾=IODjt7T(P- 一硫二13I = 300sin(100jt + y)Zu丄 J丄2丨問題等價于丄一 J ,即二 H II' - 1 "，正整數(shù)二的最小值為314 。3、顯示最大溫差例8.2002 全國如圖 4某地一天從 6時到14時的溫度變化曲線近似地滿足函數(shù)y =盤 si 口 (Qu +單)+b1求這段時間的最大溫差2寫出這段曲線的函數(shù)解析式。Vi302010溫度g " - 1i 106 10 14時諭)圖4解：I由圖4知這段時間的最大溫差是30 10 = 20CY = As in (te + 3+ b2丨在圖4中

24、，從6時到14時的圖象是函數(shù)的半個周期的圖象，解得A = 1(30-10) = 10由圖4知 -b = 1x(30 + 10) = 20y = 10 sin( k + 20這時'-_ 3jt將'“代入上式，可取-綜上所述，所求解析式為：y= 10如彳囂+于)十20 *巴© 144、研究商品的價格變化例9.以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店銷售價格時發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價格是在6元根底上按月份隨正弦曲線波動的，3月份出廠價格最高為 8元，7月份出廠價格最低為 4兀；而商品在商店內(nèi)的銷售價格是在 8兀根底上按月份也是隨正弦曲 線波動的，并5月份銷售價最高為10

25、元，9月份銷售價最低為6元，假設(shè)某商店每月 購進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月能售完，請估計哪個月盈利最大？并說明理由。解：由條件可得出廠價格函數(shù)為銷售價格函數(shù)為那么利潤函數(shù)為44444444抵二6時卩血=(2 + 22)m即6月份盈利最大。三三角函數(shù)的最值問題型函數(shù)解決此類問題的關(guān)鍵是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)，即化為，其中"角所在象限由點(diǎn)a，b所在象限確定，且b tan q>-例10當(dāng)一廠=1時，函數(shù)一*:的A.最大值是I，最小值是1C.最大值是2，最小值是一 21B.最大值是I，最小值是-D.最大值是2，最小值是1解：解析式可化為0 = 2 sin( K-b y)小河羽兀

26、二河5阿0< k < , - < 2 2636應(yīng)選Dv = asin2 z + bsiti k cosh +ccosj k 一，2、型函數(shù)y = a sin x +b cc*s z策略：先降次、整理，再化為形如型來解。TT 和 V PC<3 W -I- RV例11.求的最小值，并求出函數(shù)y取最小值時點(diǎn)x的集 合。B Jn4解:y = sin x + 2sin x cos x + 3cos x=(sin 2 x + cos2 x) + 2 sin x cos x-b 2cos2 x=1 + sin 4 (1 + cos2r)=2 + sin 2k +cos2k=2 + s

27、iti( 2k H-)4smt2x + ) = -1廠當(dāng)-時，y取最小值-時，使y取得最小值的x的集合為a sin + g y =3、 丨型函數(shù)解：去分母整理得sin x + ycos x = 2- 2y此類函數(shù)的特點(diǎn)是一個分式，分子、分母分別會有正、余弦的一次式?？上绒D(zhuǎn)化為asin- - - -型，再利用三角函數(shù)的有界性來求三角函數(shù)的最大值和最小值。2-sin xy 例12.求函數(shù)I ":的最大值和最小值。2-2yJi + y左4-笛< / +萬 S y <解之得“_4_ 荷 “_ 4 + 7?了血 - Vnua. -故'sin x ±cosx,sin

28、 x-cosx同時出現(xiàn)型函數(shù)是應(yīng)用卄2 .- .- 一丄m 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成二次函數(shù)的問題。例13.函數(shù)'-11-： :1 : 一的最大值為解法_ .令 1 ' ' :I -.-1+ 2sm 3； cosx -t2, sin k cos m = (t2 - 1) 那么；'1 . 1,r(7+匕十護(hù)_1 所以 -_由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng) U!時，"小 -+ 'sin x cos k = (m2 -1) 解法二：令皿=$陽孟+ CQ$ H ,貝y2m 二 win x + )由二，得于是有y 二丄2sin3 (x + ) - 1十叭匝 sin(

29、3; +) = £in3(H-i-) + V2 sin()244424sin( x + ) = 1當(dāng) 時,是應(yīng)用正弦、余弦函數(shù)的有由以上的幾種形式可以歸納解三角函數(shù)最值問題的根底方法:界性來求；二是利用二次函數(shù)閉區(qū)間內(nèi)求最大、最小值的方法來解決； 以后還可以利用重要的不等式公式或利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決。四角的拆拼在求值中的應(yīng)用3 血收二乳匚Q二y, g或儀+ ,療二一一例14.a、B為銳角，那么y與x的函數(shù)關(guān)玄阜 系是A.B.C.y = - Jl- k(0 <x 町 1】D.對此題，不少同學(xué)采取的求解思路是：根據(jù)條件求出cos a、sin B的值后，再將sin a,3cos

30、(a + 灼二一 一cos 3, cos a, sin B的值同時代入-的展開式中，從中解出 y來，思路直接。但運(yùn)算量非常大，不可取，而如果利用“湊的思想，注意到- ' 1 ；，' 這就是“湊丨， 也就是用的角來表示目標(biāo)角因?yàn)?y"C°S,繼而求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，而 x 的范圍可由y = cosB >0來確定。解：Ta為銳角，且又a、3為銳角，且y = c«s P- cqs(®+ 0) -dfcos(cc-i- - cos<t+sm(d4 S) - sin cc易得，應(yīng)選A。)二 一一，sin( -tan2的值。e+Q ,

31、 A0、廠二g-號r號-Q分析：觀察條件和結(jié)論中角的種類差異，可配湊角-，這樣就可以將角與待求角聯(lián)系在一起，實(shí)現(xiàn)了由未知角向角的轉(zhuǎn)化。0 <<：.；J3 < 又4222,422© sin( ) = , :. cos( _ 0)二2323莎二購 一 £-£ 一 ©】故=sin(-y) co嚙-Q -£)sin(詈- jff)4j5 ,f512= x -(2 939 3_ 22一石口 + 0 CQS2 二跡口-£-與-創(chuàng) cos=訛CT-令g苛-厲+血住-豊'血詩一0 ,t巧.4巧2_朋_ 27cos【練習(xí)】0“

32、異，蘭*卻 4 二-同學(xué)們不難看到，上面的例題中我們分別利用了廠一丄 上,cos(-a)= sin( += 小45413，求汕(氐+向。跡+甸-匸一二蘭+ ©+再+ /5 -a提示：配湊角：-，可通過求出- 和- 的差的 余弦來求二 】：1，較簡便。.< 一44-CO5C+>?) = -4 尸 1.37F：sin(朗+ 0)二ccs+ (+ 歷 珂(¥“_()3jTjt7T=-匚處(一十 A)' cost-一如(一十 Q rm( -44445 x 45665k 1 才 51353/T真 、賓 u+q_l十 g+用；等“湊角的技巧。此 外根據(jù)題目的不同，還

33、常用的“湊的技巧有：L，門,及，今后解題時要多關(guān)注“配湊的思想方法?！灸M試題】、選擇題每題 5分，共60分1+tncos 畫=1使：T：的意義的m的值為a.丄iB.C.丨工 1D.m匚-或二'y =:2 sint xj2.函數(shù)4的-一個單調(diào)增區(qū)間是r JTr 7T 3/r,r 5tt tt.r3tt g一才A.-B.一一44-丁 -tC.-D .3 .假設(shè)J亠是夾角為60°的兩個單位向量,那么a. - 2eL + e2» b 二一弓皀+ 2r-的夾角為A. 30 °B. 60 °C.120 °D.150oT > T14. ABC的三個頂點(diǎn) A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn) P,假設(shè)-丄,那么點(diǎn)p與厶ABC的位置關(guān)系是A. P在AC邊上B. P在AB邊上或其延長線上C. P 在 A ABC 外部D. P 在 AABC 內(nèi)部6 假設(shè) 5siii 3 - cos SA.B.的值等于7. 在A ABC 中，：-，：！ 'UAABC 是 A. 銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定形狀7V7T5.20 V 込(_與二飛啦虧-罰二孑Ea十旳8-,且-，廠，那么-'的值為13_ 13239_ 239A.