第13章-能量法

1、第11章 能 量 法11.1 概 述1.1.能量法：能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可變形利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。2.2.能量法的應(yīng)用范圍十分廣泛：能量法的應(yīng)用范圍十分廣泛：（1 1）線彈性體；非線性彈性體）線彈性體；非線性彈性體（2 2）靜定問(wèn)題；超靜定問(wèn)題）靜定問(wèn)題；超靜定問(wèn)題（3 3）是有限單元法的重要基礎(chǔ)）是有限單元法的重要基礎(chǔ)西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系材料力學(xué)教研室西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系材料力學(xué)教研室應(yīng)變能應(yīng)變能彈性體受力而變形時(shí)所積蓄的能量。彈性體受力而變形時(shí)所積蓄的能量。 單位

2、：?jiǎn)挝唬篧V mN1J1應(yīng)變能的計(jì)算：應(yīng)變能的計(jì)算：能量守恒原理能量守恒原理焦耳焦耳J彈性體的彈性體的功能原理功能原理F l1lDl11.2 桿內(nèi)的應(yīng)變能一 拉（壓）桿的應(yīng)變能拉拉 ( (壓）桿在線彈性范圍內(nèi)的應(yīng)變能壓）桿在線彈性范圍內(nèi)的應(yīng)變能 外力功：外力功： lFWD21)(EAFll DWV 桿內(nèi)應(yīng)變能：桿內(nèi)應(yīng)變能：lF D21EAlF22EAlF22NF l1lDlFDlFDl)(EAFll DWV lF D21llEA2)(2D或F l1lDlFDlFDl應(yīng)變能密度VVv應(yīng)變能密度單位：應(yīng)變能密度單位：3m/Jv桿件單位體積內(nèi)的應(yīng)變能桿件單位體積內(nèi)的應(yīng)變能 兩端受軸向荷載的等直桿，由

3、于其各橫截面上兩端受軸向荷載的等直桿，由于其各橫截面上所有點(diǎn)處的應(yīng)力均相等，故全桿內(nèi)的應(yīng)變能是均勻所有點(diǎn)處的應(yīng)力均相等，故全桿內(nèi)的應(yīng)變能是均勻分布的。分布的。AllF D2121E2222E)(EF F ll1J67.64mmN1067.64)mm25(4)MPa10210()mm102()30cos2N1010()cos2(22323323221NEAlFEAlFV解：解：例例 求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)A的位移的位移DA 。已知已知 P =10 kN, 桿長(zhǎng)桿長(zhǎng) l =2m，桿徑，桿徑 d =25mm, =30，材料的彈性模

4、量，材料的彈性模量 E =210GPa。cos22N1NFFFFABC12)(mm293. 1N10100mmN1067.642233FVA21VFAJ67.64mmN1067.643V而而FABC12二二 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能e21MWV等直圓桿僅在兩端受外力偶矩等直圓桿僅在兩端受外力偶矩 Me 作用且作用且 時(shí)時(shí)ppeGIlMp2e21GIlMp221GIlT2p21lGIV 或或gMe Me Me Me 當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)niiiGIlTV1p22niiilGIV12p2或或ABCAM1M3 BACM2 dlABl

5、AC例例 試用能量法求圖示桿系截面試用能量法求圖示桿系截面C處的扭轉(zhuǎn)角。圖中處的扭轉(zhuǎn)角。圖中Me，l1，l2，D1，d1，d2及桿材的切變模量及桿材的切變模量G均為已均為已知。知。解：解：ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性剛性板板已求得兩軸的扭矩已求得兩軸的扭矩e1MTe2MT 其轉(zhuǎn)向與其轉(zhuǎn)向與Me 相同。相同。2/eCMWVp22ep11eGIlMGIlMC422e4411e32)1 (32dGlMDGlMABCMep222ep112ep2222p11212222GIlMGIlMGIlTGIlTV桿系扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為桿系扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為而而三 彎曲應(yīng)變能EIlMle或或lEIM e圖示純彎

6、曲梁，彈性范圍內(nèi)的變形有：圖示純彎曲梁，彈性范圍內(nèi)的變形有： (b) OM eM e(a)M elM eVW e21MW 則應(yīng)變能為：則應(yīng)變能為： EIlMMWV2212ee22lEIV 可見(jiàn)，滿足線性關(guān)系?？梢?jiàn)，滿足線性關(guān)系。外力功：外力功：功能轉(zhuǎn)換定律：功能轉(zhuǎn)換定律：或：或：EIlMlelEIM e xEIxMVd2d2全梁的彎曲應(yīng)變能為：全梁的彎曲應(yīng)變能為： llxEIxMVV020d2d xM需分段列出時(shí)，需分段列出時(shí)，V 分段求，然后求和。分段求，然后求和。對(duì)橫力彎曲：彎曲應(yīng)變能對(duì)橫力彎曲：彎曲應(yīng)變能+ +剪切應(yīng)變能剪切應(yīng)變能對(duì)彎曲應(yīng)變能，取對(duì)彎曲應(yīng)變能，取dx段（見(jiàn)左段（見(jiàn)左圖）：

7、圖）：dx很小，很小，dM(x)為一階無(wú)為一階無(wú)窮小量，則窮小量，則dx段上的應(yīng)變能為段上的應(yīng)變能為對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，剪切應(yīng)變能與彎曲應(yīng)變能相比可忽略。對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，剪切應(yīng)變能與彎曲應(yīng)變能相比可忽略。M(x)+dM(x)M(x)F(x)Sddx 21121qxxMAC段：段： 2222212qaaxqaqaxxM aaxEIxMxEIxMV02220112d2d2例：求圖示彎曲剛度為例：求圖示彎曲剛度為EI的梁內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變能。的梁內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變能。解：分段列彎矩方程：解：分段列彎矩方程：ax 10BC段：段：ax 20因?yàn)椋阂驗(yàn)椋簒1x2qAaaBCqa則有則有aaxEIqaxEIqxV022201221d

8、221d221EIaq20352例：求圖示彎曲剛度為例：求圖示彎曲剛度為EI的懸臂梁內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變的懸臂梁內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變能，并利用功能原理求能，并利用功能原理求A端的撓度端的撓度wA。解：梁的彎矩方程為：解：梁的彎矩方程為： FxxM梁內(nèi)的應(yīng)變能為：梁內(nèi)的應(yīng)變能為： EIlFxEIxFxEIxMVll6d2d23202202外載外載F所作的功為：所作的功為：AFwW21由功能定理有：由功能定理有：VW xwABF Al即：即：EIlFFwA62132最后可得最后可得A端的撓度為：端的撓度為：EIFlwA33四 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度 在線彈性范圍和小變形條件下，應(yīng)變能與加載在線彈性范圍和小變形

9、條件下，應(yīng)變能與加載順序無(wú)關(guān)，只取決于外力順序無(wú)關(guān)，只取決于外力( (變形變形) )的最終值。的最終值。VVvdd單位體積的應(yīng)變能，稱(chēng)為應(yīng)變能密度，即：?jiǎn)挝惑w積的應(yīng)變能，稱(chēng)為應(yīng)變能密度，即：1、單向應(yīng)力狀態(tài)dzdydx2222121ddEEVVv zyxzyxyxxzyVddd21ddd21ddzd21ddd21d3322113322112、三向應(yīng)力狀態(tài) 比例加載：比例加載：圖示主單元體中，圖示主單元體中，各面上的應(yīng)力按同一比例增加直各面上的應(yīng)力按同一比例增加直至最終值。至最終值。dzdydx213 此時(shí)，對(duì)每一主應(yīng)力，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能僅與對(duì)此時(shí)，對(duì)每一主應(yīng)力，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能僅與對(duì)應(yīng)的主應(yīng)變有關(guān)

10、，而應(yīng)的主應(yīng)變有關(guān)，而其它主應(yīng)力在該主應(yīng)變上不作其它主應(yīng)力在該主應(yīng)變上不作功功，同時(shí)考慮三個(gè)主應(yīng)力，有：，同時(shí)考慮三個(gè)主應(yīng)力，有：33221121ddVVv由前述廣義虎克定律由前述廣義虎克定律213331223211111EEE有：有：313221232221221Ev則應(yīng)變能密度為：則應(yīng)變能密度為：zyxVdddd而主單元體體積為：而主單元體體積為：32131m3、形狀改變比能一般情況，單元體有體積改變，也有形狀改變。一般情況，單元體有體積改變，也有形狀改變。1=+ 主單元體分解為圖示兩種單元體的疊加，有主單元體分解為圖示兩種單元體的疊加，有23(a)mmm(b)2m21m13m3(c)平均

11、應(yīng)力：平均應(yīng)力：則體積不變，則體積不變，僅發(fā)生形狀改變僅發(fā)生形狀改變( (圖圖c) 。 0321在在 m作用下，作用下，圖圖b無(wú)形狀改變無(wú)形狀改變，且其體積應(yīng)變同圖，且其體積應(yīng)變同圖a，而對(duì)圖而對(duì)圖c，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?與此對(duì)應(yīng)，與此對(duì)應(yīng)，圖圖a的體積改變能密度等于的體積改變能密度等于圖圖b的應(yīng)變能密度，的應(yīng)變能密度，而而圖圖a的形狀改變能密度等于的形狀改變能密度等于圖圖c所示單元體的應(yīng)變能密度，所示單元體的應(yīng)變能密度，1=+23(a)mmm(b)2m21m13m3(c) mmmmmmmEE211321而：而：mmmmmmVv3212121211=+23(a)mmm(b)2m21m13m3(c)

12、即即(圖圖b) ：213331223211111EEE332211d212121v而：而：所以：所以：232121621221323EEvmmmV另外，由另外，由圖圖c可得可得(僅發(fā)生形狀改變僅發(fā)生形狀改變),由應(yīng)變能密度公式：由應(yīng)變能密度公式：所以：所以：231232221d61EvdvvvV由兩者相加并與圖由兩者相加并與圖a的應(yīng)變能密度比較的應(yīng)變能密度比較, 可證明：可證明： 對(duì)一般空間應(yīng)力狀態(tài)的單元體，應(yīng)變能密度可對(duì)一般空間應(yīng)力狀態(tài)的單元體，應(yīng)變能密度可由六個(gè)應(yīng)力分量和對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量來(lái)表示，即為：由六個(gè)應(yīng)力分量和對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量來(lái)表示，即為：zxzxyzyzxyxyzzyyxxvggg21

13、請(qǐng)推導(dǎo)單純由應(yīng)力分量表示的應(yīng)變能密度！請(qǐng)推導(dǎo)單純由應(yīng)力分量表示的應(yīng)變能密度！例：證明例：證明12EG解：對(duì)圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)有：解：對(duì)圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)有：Gxxyg該單元體的應(yīng)變能為：該單元體的應(yīng)變能為：zyxGzyxxzyVxxyxxyxddd2ddd21ddd21d2gggxyxdzdydxx所以，應(yīng)變能密度為：所以，應(yīng)變能密度為：GzyxVvx221ddddx102x3而對(duì)純剪應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力為：而對(duì)純剪應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力為：如左圖所示。如左圖所示。x1x3x1x 而由主應(yīng)力和主應(yīng)變表示而由主應(yīng)力和主應(yīng)變表示的應(yīng)變能密度為：的應(yīng)變能密度為：332211212121vxEE11311xEE

14、11133又由于：又由于：所以：所以：21121121xxxxxEEEvGExx2122由此可得：由此可得： GE211最后證得：最后證得：12EG結(jié)合前式，有：結(jié)合前式，有：五 組合變形時(shí)桿內(nèi)的應(yīng)變能 線彈性體的各基本變形形式下的應(yīng)變能表達(dá)式線彈性體的各基本變形形式下的應(yīng)變能表達(dá)式拉拉( (壓壓) )桿桿EAlFWV22N圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)IGlTWVp22梁彎曲梁彎曲llsslEIxxMGAxxFEIxxMWV2d)(2d)(2d)(222統(tǒng)一寫(xiě)成統(tǒng)一寫(xiě)成WV DF21FWV 廣義力廣義力D廣義位移廣義位移式中的式中的Fi 和和D Di分別為廣義力和廣義位移。分別為廣義力和廣義位移。克拉比隆

15、定理克拉比隆定理DDDDniiinnFFFF122112121.2121113 卡氏定理設(shè)圖中材料為非線性彈性，設(shè)圖中材料為非線性彈性，由于應(yīng)變能只與由于應(yīng)變能只與最后荷載有關(guān)，最后荷載有關(guān)，而與加載順序無(wú)而與加載順序無(wú)關(guān)。不妨按比例關(guān)。不妨按比例方式加載，從而方式加載，從而有有123n123nBWV DniiiF121由于力與位移成線性關(guān)系，則應(yīng)變能為力的二次齊由于力與位移成線性關(guān)系，則應(yīng)變能為力的二次齊次函數(shù)次函數(shù)),.,(21nFFFVV 假設(shè)第假設(shè)第i個(gè)荷載個(gè)荷載Fi有一微小增量有一微小增量dFi ，而其余，而其余荷載均荷載均保持不變，因此，由于保持不變，因此，由于Fi改變了改變了dF

16、i ，應(yīng)變能的相應(yīng)應(yīng)變能的相應(yīng)改變量為：改變量為：iiFFVVdd梁內(nèi)的應(yīng)變能變?yōu)椋毫簝?nèi)的應(yīng)變能變?yōu)椋篿iFFVVVd如果加力的順序?yàn)橄燃尤绻恿Φ捻樞驗(yàn)橄燃觗Fi ，然后再加這組力，然后再加這組力 ，梁，梁內(nèi)的內(nèi)的應(yīng)變能為：應(yīng)變能為：VFFViiiiDDddd21 VV FViiD（稱(chēng)為（稱(chēng)為“卡氏第二卡氏第二定理定理”）略去二階微量，得到：略去二階微量，得到：由由它表明：線彈性結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)變能對(duì)作用于其上的它表明：線彈性結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)變能對(duì)作用于其上的某一廣義力的偏導(dǎo)數(shù)，就等于該力作用點(diǎn)沿其作某一廣義力的偏導(dǎo)數(shù)，就等于該力作用點(diǎn)沿其作用方向的位移。用方向的位移。注意：注意： 而卡氏第二定理適合于

17、線彈性體。而卡氏第二定理適合于線彈性體。lilipliNNlilpilNiixFMEIMxFTGITxFFEAFxEIMFxIGTFxEAFFdddd2d2d2222D所導(dǎo)出的位移是加力點(diǎn)沿加力方向的位移。所導(dǎo)出的位移是加力點(diǎn)沿加力方向的位移。當(dāng)所求位移處無(wú)相應(yīng)廣義力時(shí)，可在該處當(dāng)所求位移處無(wú)相應(yīng)廣義力時(shí)，可在該處“虛加虛加”上廣義力，將其看成已知外力，反上廣義力，將其看成已知外力，反映在反力和內(nèi)力方程中，待求過(guò)偏導(dǎo)后，再映在反力和內(nèi)力方程中，待求過(guò)偏導(dǎo)后，再令該令該“虛加虛加”外力為外力為0 0。實(shí)際計(jì)算時(shí)，常采用以下更實(shí)用的形式：實(shí)際計(jì)算時(shí)，常采用以下更實(shí)用的形式：例例 彎曲剛度為彎曲剛度

18、為 EI的懸臂梁受三角形分布荷載如圖所的懸臂梁受三角形分布荷載如圖所示。梁的材料為線彈性體，且不計(jì)切應(yīng)變對(duì)撓度的影示。梁的材料為線彈性體，且不計(jì)切應(yīng)變對(duì)撓度的影響。試用卡氏第二定理計(jì)算懸臂梁自由端的撓度。響。試用卡氏第二定理計(jì)算懸臂梁自由端的撓度。 解：解：在自由端在自由端“虛加虛加”外力外力F任意任意x截面處的彎矩為：截面處的彎矩為：Fxxlq)x(M)x(M)x(MFq3061xF)x(MqqxlyABx00lxFEIlqxxlxqEIxFxMEIxMwllFA30d61d)()(4003000例例 圖示彎曲剛度為圖示彎曲剛度為EI的等截面開(kāi)口圓環(huán)受一對(duì)集的等截面開(kāi)口圓環(huán)受一對(duì)集中力中力F

19、作用。環(huán)的材料為線彈性的，不計(jì)圓環(huán)內(nèi)剪作用。環(huán)的材料為線彈性的，不計(jì)圓環(huán)內(nèi)剪力和軸力對(duì)位移的影響。試用卡氏第二定理求圓環(huán)力和軸力對(duì)位移的影響。試用卡氏第二定理求圓環(huán)的張開(kāi)位移的張開(kāi)位移D D。 解：解： 將一對(duì)力將一對(duì)力F視為廣義力，視為廣義力， D D即即為相應(yīng)的廣義位移。為相應(yīng)的廣義位移。)cos1 ()()cos1 ()(RFMFRMFRFR (1-cos )(3dcos12)d()()(1232030EIRFEIRFRFMMEIFVD所以所以FRFR (1-cos )例例 彎曲剛度均為彎曲剛度均為 EI的靜定組合梁的靜定組合梁 ABC，在，在 AB段上段上受均布荷載受均布荷載q作用，如

20、圖作用，如圖a 所示。梁材料為線彈性體，所示。梁材料為線彈性體，不計(jì)切應(yīng)變對(duì)梁變形的影響。試用卡氏第二定理求梁不計(jì)切應(yīng)變對(duì)梁變形的影響。試用卡氏第二定理求梁中間鉸中間鉸B兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。 解：解：在中間鉸在中間鉸B兩側(cè)虛設(shè)一對(duì)外力偶兩側(cè)虛設(shè)一對(duì)外力偶MB（圖（圖b)各支反力如圖各支反力如圖b。 AB段彎矩方程：段彎矩方程：222)(22xqlqMxlMqlxMBBqACBllMBMB222qlMBlMqlBlMBACBqxx由卡氏第二定理得：由卡氏第二定理得：EIlqxxxMEIxMBMBMlB247d)()(300D 結(jié)果符號(hào)為正，說(shuō)明相對(duì)轉(zhuǎn)角結(jié)果符號(hào)為正，說(shuō)明相對(duì)轉(zhuǎn)

21、角DDB的轉(zhuǎn)向與圖的轉(zhuǎn)向與圖b中虛加外力偶中虛加外力偶MB的轉(zhuǎn)向一致。的轉(zhuǎn)向一致。BC段彎矩方程段彎矩方程xlM)x(MB1、廣義位移、廣義位移D Di與義廣力與義廣力Fi 是相對(duì)應(yīng)的：是相對(duì)應(yīng)的：（1）同一點(diǎn)或同一截面）同一點(diǎn)或同一截面（2）同種性質(zhì)）同種性質(zhì)（3）同種方位）同種方位卡二定理解題應(yīng)注意問(wèn)題：卡二定理解題應(yīng)注意問(wèn)題：2、注意區(qū)分相同的力、注意區(qū)分相同的力114 用能量法解超靜定系統(tǒng)例例 試用卡氏第二定理求圖試用卡氏第二定理求圖a所示剛架的支反力。已所示剛架的支反力。已知兩桿的彎曲剛度均為知兩桿的彎曲剛度均為EIEI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)剛架變，不計(jì)剪力和軸力對(duì)剛架變形的影響形的影響。 解：解：取取B處的支反力處的支反力X為多余未知力?；眷o定系統(tǒng)如圖為多余未知力。基本靜定系統(tǒng)如圖(b)。BD段段xXxMXxxM)()(各段彎矩及其對(duì)各段彎矩及其對(duì)X的偏導(dǎo)如下的偏導(dǎo)如下eMa=5mq=