2015年高考真題——理科數(shù)學(xué)(福建卷)解析版

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(福建卷)數(shù)學(xué)(理科)第I卷(選擇題共50分)-、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.(1)【2015年福建，理1,5分】若集合Ai,i2,i3,i4(i是虛數(shù)單位)，B1,1,則AIB等于()(A)1(B)1(C)1,1(D)【答案】C【解析】由已知得Ai,1,i,1,故AIB1,1,故選C.(2)【2015年福建，理2,5分】下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()(A)yVX(B)ysinx(C)ycosx(D)yexex【答案】D【解析】函數(shù)y、反是非奇非偶函數(shù)；ysinX和ycosx是偶函數(shù)；yexex

2、是奇函數(shù)，故選D.22(3)【2015年福建，理3,5分】若雙曲線E:1的左、右焦點(diǎn)分別為E,F2,點(diǎn)P在雙曲線E上，且PF13,916則PF2等于()(A)11(B)9(C)5(D)3【答案】B【解析】由雙曲線定義得|PF1|PF2|2a6,即3PF2|2a6,解得|PF29,故選B.(4)【2015年福建，理4,5分】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:收入x(力兀)8.28.610.011.311.9支出y(萬(wàn)元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程?？x今，其中k?0.76,?y依，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15萬(wàn)

3、元家庭年支出為()(A)11.4萬(wàn)元(B)11.8萬(wàn)元(C)12.0萬(wàn)元(D)12.2萬(wàn)元【答案】B8.28.610.011.311.96.27.58.08.59.8斛析由已知行x10(萬(wàn)兀)，y8(萬(wàn)兀)，故55$80.76100.4,所以回歸直線方程為§0.76x0.4,當(dāng)社區(qū)一戶收入為15萬(wàn)元家庭年支出為y0.76150.411.8(萬(wàn)元),故選B.2y0y0，貝Uz2xy的最2y20(D)2z最小時(shí)，直線y2xz的縱截距最大,1B1,-時(shí)，z取到取小值，取小值為2x(5)【2015年福建，理5,5分】若變量x,y滿足約束條件xx小值等于()5c3(A) (B)2(C)一22【

4、答案】A【解析】畫出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)變形為y2xz,當(dāng)故將直線y2x經(jīng)過(guò)可行域，盡可能向上移到過(guò)點(diǎn)1z21-2(6)【2015年福建，理6,(A)25，一，,故選A.25分】閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為(B) 1(C)0(D)-1Ml【答案】C【解析】程序在執(zhí)行過(guò)程中S,i的值依次為：S0,i1;S0,i2;S1,i3;S1,i4;S0,i5;S0,i6,程序結(jié)束，輸出S0,故選C.(7)【2015年福建，理7,5分】若l,m是兩條不同的直線,(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件【答案】B【解析】若lm,因?yàn)閙垂直于平面，則l/或lm垂直于平面，則1

5、m"是l/”的()(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件，若l/，又m垂直于平面，則lm,所以fm"是1/”的必要不充分條件，故選B.(8)【2015年福建，理8,5分】若a,b是函數(shù)fpxq個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則(A) 6【答案】D【解析】由韋達(dá)定理得(B) 7(C)0,q0的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a,b,2這三pq的值等于()(D)9項(xiàng)，故42aa所以p1,b(9)【2015年福建，理9,uur平面內(nèi)一點(diǎn)，且AP5分】uuuABuuu-AB【解析】以13(B)bq,則a0,b0,當(dāng)a,b,當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí),2適當(dāng)排序后成等比數(shù)

6、列時(shí)，2必為等比中2必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)a是等差中項(xiàng)時(shí),4;當(dāng)4是等差中項(xiàng)時(shí),a已知uur4ACuuirACuurABuuruurAC,ABLuir-,ACt15，解得a4,b1,綜上所述，abp5,t,若點(diǎn)p是ABC所在LULPBuuinPC的最大值等于()(C) 19(D)21A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則一,uuu1P1,4,所以PB1,4,tuurPC1,t41B-,0,tuuuuuu,因此PBPCuuuAP1,040,11617因?yàn)?t214,所以當(dāng)14t,t時(shí)取等號(hào),LUUPBuuu,_-PC的最大值等于13,故選A.(10)【2015年福建，理10,5分】若定義在R

7、上的函數(shù)fx滿足x滿足f則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是(1(A)fk【答案】C【解析】由已知條件,構(gòu)造函數(shù)(B)(C)fk0,故函數(shù)gx在R上單調(diào)遞增，且六°，,所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C,選項(xiàng)D不確定；構(gòu)造函數(shù)0,所以函數(shù)hx在R上單調(diào)遞增,一11且一0,所以hh0,即fkk第n卷選項(xiàng)A,B無(wú)法判斷，故選C.(非選擇題共100分)二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.(11)【2015年福建，理11,5分】【答案】805x2的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)等于(用數(shù)字填寫答案)x2的系數(shù)等于80.【解析】x25的展開(kāi)式中x2項(xiàng)為C；23x280,所以則BC等于

8、2x,23【解析】由已知得陰影部分面積為4x2dx15.所以此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(14)【2015年福建，理14,5分】若函數(shù)f36,x25123logax,x2a0且a1)的值域是4,(12)【2015年福建，理12,5分】若銳角ABC的面積為1073,且AB5,AC8,【答案】7【解析】由已知得ABC的面積為1ABACsinA20sinA10丁3,所以$所人,A22余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosA49,BC7.(13)【2015年福建，理13,5分】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,4若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等.【答案】512取值范

9、圍是【答案】【解析】當(dāng)1,22,故x64,要使得函數(shù)x的值域?yàn)?,，只需f1x4,，故a1,所以fx3loga2,所以3loga24,解得1a(15)【2015年福建，理15,5分】一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2L3logax2,所以實(shí)數(shù)*2的值域包含于a取值范圍是1,2.xnnN，其中xk稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由或者由1變?yōu)?),已知某種二元碼xx2Lx7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組:定義為：000,011,101,1已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第可判定k等于.【答案】5【解析】由題意得相同數(shù)字經(jīng)過(guò)運(yùn)算后為0,10,其中運(yùn)

10、算定義為:k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了X4X5X6X7X2X3X6X7XiX3X5X700,011,1001101101,k1,2,L,n0變?yōu)?,00,其中運(yùn)算01,110.現(xiàn)那么利用上述校驗(yàn)方程組出錯(cuò)；由x2x3x6不同數(shù)字運(yùn)算后為1.由x4乂5%乂70可判斷后4個(gè)數(shù)字x70可判斷后2個(gè)數(shù)字沒(méi)錯(cuò)，即出錯(cuò)的是第4個(gè)或第5個(gè)；Xix3x5x70可判斷出錯(cuò)的是第5個(gè)，綜上，第5位發(fā)生碼元錯(cuò)誤.三、解答題：本大題共6題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.(16)【2015年福建，理16,13分】某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)

11、現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇試，直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(1)設(shè)當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則543P(A)654(2)依題意得，X所有可能的取值是1,2,3,又P(X1)1,P(X2)11,P(X56所以X的分布列為X123112p663所以E(X)1(17)2015年福建，理17,13分】如圖，在幾彳S體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面

12、BEEC,ABBEEC2,G,F分別是線段BE,DC的中點(diǎn).(1)求證：GF/平面ADE;(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.解：解法一：(1)如圖，取AE的中點(diǎn)H,連接HG,HD,又G是BE中點(diǎn)，所以GH/AB,且GH-AB,21又F是CD中點(diǎn)，所以DFCD,由四邊形ABCD是矩形得，AB/CD,ABCD2所以GH/DF.且GHDF,從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF/DH,又DH平面ADE,GF平面ADE,所以GF/平面ADE.(2)如圖，在平面BEG內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作BQ/EC,因?yàn)锽ECE,平面BEC,所以ABBE,ABBQ,以B為原點(diǎn)，分別以所以BQBE,因?yàn)锳Buu

13、uuumuunBE,BQ,BA的萬(wàn)向?yàn)閤軸,y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,2,B因?yàn)锳B平面uuuBEC,所以BA0,0,2為平面BEC0,0,0,E2,0,0,F2,2,1,r的法向量，設(shè)n=(x,y,z)為平面AEF的法向量,uuruur又AE2,0,2,AF2,2,1umrAEuurAF02x0得2x2z2yr取z=2得n2,1,2.從而cosi：n,LUInBAuuu-|n|BA|所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為解法二：(1)如圖，取AB中點(diǎn)M,連接MG,MF,又G是BE的中點(diǎn),面ADE,GM平面ADE,所以GM/平面ADE.在矩形是AB,CD的中點(diǎn)

14、得MF/AD,又AD平面ADE,MF可知GM/AE，又AE平ABCD中，由M,F分別平面ADE,所以MF/平面ADE,又因?yàn)镚MIMFM,GM平面GMF,MF平面GMF,所以平面GMF/平面ADF,因?yàn)镚F(2)同解法一.平面GMF,所以GF/平面ADE.22(18)【2015年福建，理18,13分】已知橢圓E:勺+%=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,J2),且離心率為ab(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線l:xmy1mR交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G為直徑的圓的位置關(guān)系,解：解法一：并說(shuō)明理由.(1)由已知得ca2a222b2近,所以橢圓E的方程為2(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),xB-y

15、z),AB中點(diǎn)為H(x0,y0).由x24my2y2所以所以2m%+丫2=；，m+2-292|GH|(x04)V丫2=23c，從而V0m+22m222V。|AB|2422(x-x2)(y1-y2)，5、22(my0-)y0422(1m)(y1-y2)，22(m1)y01,得(m22)y22my30,19，,一-,0與以線段AB42e=25”0251622(1m)(%y2)-4的丫2(1m2)(y02-y1y2)故|GH|2所以|GH|解法二：(1)同解法一._2|AB|4|AB|25my02(m21)y1y2竺-m162(m2)99,0)在以AB為直徑的圓外.423(m1)2m2251617m

16、22216(m2)9,y1)，Gb4(X2uuu(2)設(shè)點(diǎn)A(xy1),B(x2,y2),則GA(x1xmy122xy,得(m22)y212my30,所以y1y22m-2myiy24uuu從而GA2uuuGB(x14X29)45N1V2(myi5-)(my245)yiy2(m251)y1y2m(y14、25y2)163(m21)-m2"uuuuuu.所以cost'GA,GBj0,又25217m+221616(m+2)>0uuuuurGA,GB不共線，所以AGB為銳角.故點(diǎn)9G(一,0)在以AB為直徑的圓外.4(19)【2015年福建，理19,13分】已知函數(shù)fx的圖像是

17、由函數(shù)g(x)=cosx的圖像經(jīng)如下變換得到：先將g(x)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.2(1)求函數(shù)fx的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程；(2)已知關(guān)于x的方程fxgxm在0,2內(nèi)有兩個(gè)不同的解(i)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；一9m2(ii)證明：cos()1.5解：解法一：y=2cosx的圖像，再(1)將g(x)=cosx的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到將y2cosx的圖像向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)2cos(x-)的圖像，故f(x)2sinx,從而函數(shù)f(x)2sinx圖像的對(duì)稱軸方程為xk(kZ).2(2)(i

18、)f(x)g(x)2sinx_.2.1cosx5(-=sinx-=cosx)T5sin(x)(其中55sin依題意，sin(x)-m在區(qū)間0,2內(nèi)有兩個(gè)不同的解5當(dāng)且僅當(dāng)m1.511,故m的取值范圍(ii)因?yàn)槭欠匠?5sin(x)m在0,2內(nèi)的兩個(gè)不同的解，所以sin(sin(),即2(當(dāng)51m1時(shí),32(),所以cos()cos2(、_2)2sin(21)122m1.5解法二：(1)同解法一.(2)(i)同解法(ii)因?yàn)槭欠匠?sin(x)m在區(qū)間0,2)內(nèi)的兩個(gè)不同的解，所以sin(sin(斯時(shí),),即2(于是cos(1時(shí),cos(2(2)(32(),所以cos()cos()cos()

19、cos(sin(2/cos()sin()sin()122)sin(>2m25(20)【2015年福建，理20,(1)證明：當(dāng)x>0時(shí),(2)證明：當(dāng)k<1時(shí),14分】fx已知函數(shù)fIn1存在X0>0,使得對(duì)任意的x0,t(3)確定k的所以可能取值，使得存在t>0,對(duì)任意的x解：解法一：恒有0,tfxgx；，恒有|f(x)-g(x)|<(1)令F(x)f(x)xln(1x)x,x0,),則有F(x)所以F(x)在0,)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)11xF(0)(2)令G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx,x0,),則有G(x)0,1x1xx1即當(dāng)，當(dāng)x

20、(0,)時(shí)，F(xiàn)(x)0,x0時(shí)，f(x)x.kx(1k)5當(dāng)k0時(shí)，G(x)0,故G(x)在0,1當(dāng)0k1時(shí)，令G(x)0,得x1)單調(diào)遞增，k1-10,kkG(x)取XoG(0)1-1,kx10,故對(duì)任意正實(shí)數(shù)X0均滿足題意對(duì)任意x(0,%),有G(x)0,從而G(x)在0,)單調(diào)遞增，所以G(x)G(0)0,即f(x)g(x).綜上，當(dāng)k1時(shí)，總存在Xo0,使得對(duì)任意x(0,Xo),恒有f(x)g(x).(3)當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，對(duì)于x(0,),g(x)xf(x),故g(x)f(x).2|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)令M(x)kxln(1x)x,x0,),則有M(x

21、)k'2x2x2(k2)Xk1故當(dāng)x(0,k2'(k2)28(k-)時(shí),m(x)0,1xx14M(x)在0,k24k2)一8(kD)上單調(diào)遞增，故M(x)M(0)0,即|f(x)g(x)|x2.所以滿4足題意的t不存在，當(dāng)k1時(shí)，由(2)知，存在xo0,使得當(dāng)x(0,凡)時(shí)，f(x)g(x),此日|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln(1x)kx,令N(x)ln(1x)kxx2,x0,),12x2(k2)x1k4小(k2),(k2)28(k1)、.則有N(x)k2x，當(dāng)x(0,)時(shí)，N(x)0x1x14N(x)在0,(k2)J(k2)8(k上單調(diào)遞增，故N(x)N(0)0,即

22、f(x)g(x)x2.4記(k27(k2)2j中的較小者為4足題意的t不存在.當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，當(dāng)x令H(x)xln(1x)x2,x0,),則有H(x)所以H(x)在0,)上單調(diào)遞減，故H(x)H(0)此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)t均滿足題意，綜上，k1.解法二：2X,則當(dāng)x(0,Xi)時(shí)，恒有|f(x)g(x)|x,故酒0時(shí)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x),212x&-x,當(dāng)x0時(shí)，H(x)0,1xx10,故當(dāng)x0時(shí)，恒有|f(x)g(x)|x2,(1)解法一.(2)解法二.(3)當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，對(duì)于x(0,),g(x)xf(x),故|f(x)g(x)|從而得到，當(dāng)

23、k當(dāng)k1時(shí)，取k1g(x)f(x)kxln(1x)kxx(k1)x,1時(shí),對(duì)于x(0,k1),恒有|f(x)g(x)|k1,從而kk11,由(2)知，存在Xo2令(k1)xx2,解得0xx2,故滿足題意的t不存在.0,使得x(0,X0),f(x)kiXkxg(x),此日|f(x)g(x)|f(x)g(x)(kik)xx,令x22.一1k,解得0x,f(x)22g(x)x,記xo與的較小者為當(dāng)k1時(shí)，由(1)知,X,當(dāng)x(0,xi)時(shí)，恒有|f(x)g(x)|2x,故滿足題意的t不存在.令M(x)xln(1x)x當(dāng)x故當(dāng)x0,|f(x)g(x)|f(x)2,x0,)，則有M(x)g(x)x111xln(12xx),2x20時(shí)，M(x)0,所以M(x)在0,)上單調(diào)遞減，故M(x)M(0)0.x0時(shí)，恒有|f(x)g(x)|x2,此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)t均滿足題意，綜上，k1.本題設(shè)有三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答.滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分,時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上所選題目對(duì)