(新)高數(shù)求極限的方法小結(jié)

1、你想是怎樣的人，你就是怎樣的人；你想成為怎樣的人，你離這個目標就不會太遠。高等數(shù)學中求極限的方法小結(jié)2. 求極限的常用方法2.1 利用等價無窮小求極限#這種方法的理論基礎主要包括： (1) 有限個無窮小的和、 差、 積仍是無窮小 .(2) 有界函 數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .(3) 非零無窮小與無窮大互為倒數(shù) .(4) 等價無窮小代換 ( 當求兩 個無窮小之比的極限時，分子與分母都可用等價無窮小代替 ). 3且 limlim ；則：與 是等價無窮小的充分必要條件為：看人生峰高處，唯有磨難多正果。210( ) 常用等價無窮小：當變量 x 0 時，sin x x, tan x x,arcsin x

2、 x,arctan x x,e1 x,ln(1 x)x,1 cosx 1x2,21x1 x x,(1 x) 1 x求 limx1 cosx 0 x arctan x120時,1 cosx x ,arctan x x ，2例2故，原式求 limx12 x lim 2 2 x 0 x212)3 1(1 x0 cosx 10時,(11x2)312 13x2,112cosx x ,因此:212x原式limx30 1 2 x例3求 lim 3 1 3 1 x 0 tanx1x3x0例431x 0時, 31 x 1 x,tanx x，故: 原式= lim 3x2 e1 求 lim解x0時,ex1 x,ln

3、(1 x) x , 故 :x 0 2 x ln(1 x)原式試確定常數(shù)a與 n，使得當 x0 時，axn 與 ln(13x)3x3 為等價無窮小lim ln(1 x3) x3x0n ax1 而左邊n 1 5即n 63 lim x 0 6a3x23 3x2 lim 1 x3 n x 0 naxn3 116a3x5lxim0 naxn 112 x lim 2 x 0 2x22.2 利用洛必達法則求極限#利用這一法則的前提是：函數(shù)的導數(shù)要存在；為0比 0 型或者 型等未定式類型 .洛必達法則分為 3種情況：(1)0比 0，無窮比無窮的時候直接用 . (2)0 乘以無窮， 無窮減去無窮(無窮大與無窮小

4、成倒數(shù)關系時)通常無窮大都寫成無窮小的倒數(shù)形式 , 通項 之后，就能變成( 1)中形式了 .(3)0的 0次方， 1的無窮次方，無窮的 0次方，對于(指 數(shù), 冪函數(shù))形式的方法主要是取指數(shù)的方法， 這樣就能把冪函數(shù)指數(shù)位置的函數(shù)移下來了， 就是寫成 0 與無窮的形式了 .洛必達法則中還有一個定理： 當 x a時，函數(shù) f(x)及 F(x)都趨于 0；在點 a的某去心鄰域內(nèi)， f (x)F(x)的導數(shù)都存在且 F ( x)的導數(shù)不等于 0；lim f (x) 存在，那么 x aF (x)limxaf(x)F(x)limxaf (x) F (x)1法.求極限有很多種方法如洛必達法則，夾逼定理求極

5、限的秘訣是： 強行代入， 先定型后定3例61求 lim(2x 0 sin 2 x2cos x)2 ) .x分析秘訣強行代入，先定型后定法221 02 02240 04(0 0)(0 0)040 30 0 0 (此為強行代入以定型)03 00 可能是比 00 高階的無窮小， 倘若不這樣， 或(0 0)(0 0)042202 02(0 0)(0 0)0 00040031 lxim0( sin12 x2cos x2)xlxim0x2 sin2 xcos2 x22x sin x(x sin x cos x)(x sin x cos x) lim x0xlimx0sin x cos x lim x由洛必

6、達法則的2,有：例7x 求lxim0 xe2x sin xcosx2limx0x sin xcosx上式=2limxcos2 x3x2sin2 x4sin2 x 4lim 23 x 0 x2xx 解 lxim0 (xe2 1x) lxim0 2xe 1lim 2x 0 x2例8求lxim1x3 3x 2x3x2 x 1解 原式3x2 3 lim 2 x 1 3x2 2x 16x 3lim . (二次使用洛必達法則)x 1 6x 2 2例9求lxim0xxe e 2xx sin x你想是怎樣的人，你就是怎樣的人；你想成為怎樣的人，你離這個目標就不會太遠。2看人生峰高處，唯有磨難多正果。23xx原

7、式 lim e e 2 x0 1 cosxxx ee lim x 0 sin xxx ee lim x0 cosx2.10 求 lxim1x2 4x 3 x2 2x原式 lxim12x 42x 2tanxlxim111 求 limx 0 xsin xarcsin x原式 lim tanx x012 求 limx0xxx cotxln x原式 limx02sin x13 求 lim(x0sin 2 xx 2 xx 12 lxim1 xxlxim012cos x3x22 cos x 2x sin x2cos x)2 ).x22x sin 原式 lim 2x 0sin2xcos2 x2 xx原式=l

8、imx0lxim0x sin x cos xlimx0x sin型：14limxx(2arctan x) .原式 limxarctanx”型：15求 limxsecx tanx .lxim02 cos x 22 3x cos x2sin xcosx(x sin xcosx)(x lim x0xcosx2limxlimx11 x21x2(1 cos)1 x2lim 2 22x 0 3x cos xsin x cos x)x sin xcosx2lixm01 cos2x3x2limxx12 1x1.sin 2 x 43你想是怎樣的人，你就是怎樣的人；你想成為怎樣的人，你離這個目標就不會太遠。1 s

9、inxcosx1 sin x 解 secx tanxcosx cosx看人生峰高處，唯有磨難多正果。43故原式 lim 1 sinxx 2 cosxcosx lim x sinx 20.00”型：例 16 求 lim xx . x0解 原式 limx0ln xelimx0xln xelimex 0ex ln1.1 ”型：例 17 求 limx解 原式 limxee.0 ”型：例 18 求 limx0解 原式1 tanx ()x1ln( )lim e xx0tanlimx0tan xln x eexlim0tan xln x e而 lim( tanxln x)x0tanxxlim( xln x)

10、x00 ，因此：原式 =1.2.3 泰勒公式含有 e的 x 次方的時候，尤其是含有正、余弦的加減的時候要特別注意)泰勒中值定理定理：如果函數(shù)f (x)在含有 n 的某個開區(qū)間 ( a, b)內(nèi)具有直到 (n 1)階的導數(shù)，則對任x (a,b) ，有f (x0)( x- x0) 2+ 2!(n)f(x) f(x0)+ f (x0)( x-x0)+ f n(!x0)( x- x0)n+Rn( x) n!(n 1)其中 Rn(x)n1x x0 ，這里 是 x 與 x0 之間的某個值 . 1例 19 利用帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式，求極限 lim x0sinx xcosxsin3 x解 由于公式的

11、分母 sin3 x x(x0) ，我們只需將分子中的sin x x0(x3),xcosx3!于是 sinx xcosx x3!2!0(x3)3時，把兩個 x3 高階的無窮小的代數(shù)和還是記作3x3 x2 4例 20lxim x32x2limx1limxn2 1(n1)2limxlimx2)n3n( 2)n 3n 12.4 無窮小與有界函數(shù)的處理方法面對復雜函數(shù)，尤其是正、法. 3例 21 求 limxx sinx解 原式 lim(1xxsin x)x2.5 夾逼定理12limx30( x3 )代入計算，2! 0(x3)0(x3).3xx1x23，1，n2n313x3余弦的復雜函數(shù)與其它函數(shù)相乘的

12、時候，lim(1x1sin x) 1.x主要介紹的是如何用之求數(shù)列極限，之放縮或擴大 . 10(x3) ，對上式做運算定要注意這個方這個主要是看見極限中的通項是方式和的形式， 對例 22求 limnsinnn12sinn12sin1解i1isinn1sinii1isinn1i1limni1nnolimnsininilimni1limn根據(jù)夾逼定理limx2.6 等比等差數(shù)列公式例 23 設 |任取 0nlnnlnln,nlnlnln由定義知limisinno1n1isinn1 ni1sin0i1的絕對值要小于| 1 ，證等比數(shù)列1，為使 xn1，lnln因此 ,很顯然有 :當nN 時，即 xn

13、1)1xndx 2 ，1sin x dx 20，的極限為0.，即limnlnln1.lnln0.99. lim 0.99. 1.nn2.7 各項以拆分相加 3, 可以使用將待求的和式子的各項拆分相加來消除中間的大多數(shù)，主要應用于數(shù)列極限待定系數(shù)來拆分簡化函數(shù)例 24 求 limn2*33*4解 原式 limn1133n1limnlimnn12.8 求左右極限的方式1, x例 25 求函數(shù)f (x),x1, x求x0 時， f x 的極限 .解 lim fx0lim0x1lim fx0lim xx0因為limx0limx0所以，當 x0時，f (x) 的極限不存在例 26 limx00.解 xl

14、im0x ( x)limx0(x， lim x xx 0 xlxim0 x0，因為 limx0x ( x)limx0xx0，所以 ,原式 =0.2.9 應用兩個重要極限lim sin xx01 ， lim 1x例 27求 lxim0解 記 x ln 1 t原式=ltim0 1t tex 1 t ，則1因為 lim 1 x x ex例 28 求 limn1n1解 原式 =limn1n11=e.例 29 求 limnn-1解 原式 =limn1n-1=e.2.10 根據(jù)增長速度ln x(x30 求 limxnxx x n 為正整數(shù)， e0.原式 =limxn1nxxenn =lim x12xen2

15、xlimxn!nxe0.0nxnnm lix 求31例nnmlixm lixn1mlix同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的，x 的 x次方快于 x!（ x 的階乘）快于指數(shù)函數(shù)，快于冪函數(shù)，快于對數(shù)函數(shù)所以增長速度： ln x xn e x (x ) . 故以后上述結(jié)論可直接在極限計算中運用 .2.11 換元法1例 32 lim (1 )x .xx解 令 x t ，3)如果 lim f (x) 存在，而 n為正整數(shù)，則lim f (x)nlim f (x)1tt1t1 t 1 1 e則原式 = lim 1limlim 11= etttttt1 t 12.12 利用極限的運算法則 1利用如下的極限

16、運算法則來求極限：(1) 如果 lim fx A,lim gxB,那么 lim f (x)g(x) limf (x)lim g(x)ABlim f xg x limfxlimgxAB若又有 B 0 ，則 lim f (x)limf(x)Ag(x)lim g(x)B2)如果 lim f (x)存在，而 c為常數(shù)，則 lim cf(x) clim f(x)4)如果 (x)(x)，而 lim (x) a,lim (x) b，則 a b5)設有數(shù)列 xn 和 yn ，如果 lim xn ynA B;n那么， lim xn ynA B; lim xn yn A BxA當yn 0 n 1,2,. 且b 0

17、時， lnim yn B2.13 求數(shù)列極限的時候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分1例 33 已知 f xn, 在區(qū)間 0,1 上求 lim0 i 1i xi其中將 0,1 分為 n個小區(qū)間 xi 1,xi , xi 1xi ，xi 中的最大值）解 由已知得 : lim0xii11f x dx00 1 x2 dx注釋：由已知可以清楚的知道，該極限的求解可以轉(zhuǎn)化為定積分, 求函數(shù) f x 在區(qū)間 0,1 上的面積） .在有的極限的計算中，需要利用到如下的一些結(jié)論、概念和方法：1）定積分中值定理：如果函數(shù)f x 在積分區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在a,b 上至少有一個點，使下列公式成立：bfxdx x b a a

18、2）設函數(shù) f x 在區(qū)間 a,上連續(xù)，取 t a ，如果極限limttf x dx 存在，a則稱此極限為函數(shù) f x 在無窮區(qū)間a, 上的反常積分，記作f (x)dx ，即f(x)dx limattf (x)dx；a設 f x 在區(qū)間a,b 上連續(xù)且 f x 0 ，求以曲線 y f x 為曲線，底為a,b 的曲邊梯形的面積 A ，把這個面積bA 表示為定積分： A= f x dx 的步驟是：a首先，用任意一組的點把區(qū)間a,b 分成長度為 xi （i 1,2,.n） 的 n 個小區(qū)間，相應地把曲線梯形分成 n 個窄曲邊梯形，第 i 個窄曲邊梯形的面積設為Ai ，于是有 AnAi ；i1其次，計

19、算 Ai 的近似值Aiixi xi 1 ixi ；n然后，求和，得 A的近似值 A f i xi ；i1bf (x) dx.an最后，求極限，得 A lim f ( i ) xi0i1例 34 設函數(shù) f x 連續(xù)，且 f 0mli= lxim0xtf t dt0xx t f t dt 解 lim 0 xx 0 xx f x t dt0xxf t dt0xx f u du0x由洛必達得：f t dt+xf x xf x lim 0 x x 0 xf u du xf0其中 f x tdx,令u x t, 得 0u du ,再由積分中值定理得xf lim x 0 xfxf x在0到x之間limx0

20、f0例 35fx計算反常積分 :dx .1 x2 .dx2 = arctanx = lim arctanx lim arctan x=( )1 x x x - 2 22.14 利用函數(shù)有界原理證明極限的存在性，利用數(shù)列的逆推求極限31）單調(diào)有界數(shù)列必有極限； 2）單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限例 36 數(shù)列 x : 2 ， 2 xn 1 ，極限存在嗎？解 由已知可得 xn 單調(diào)遞增且有界，由單調(diào)有界原理，知lim xn 存在n又 xn2 xn 1 ， lim xn lim 2 xn 1nn記lim xn=t,則t2 t ，n即可證 xn 2 ，得到 t 2.2.

21、15 直接使用求導的定義求極限當題目中告訴你 F（0） 0時， F （x）的導數(shù)等于 0 的時候，就是暗示你一定要用導數(shù)定義：（1）設函數(shù) y f x 在點 x0的某個領域內(nèi)有定義，當自變量x在 x0處取得增量 x（點 x x0 仍在該領域內(nèi)）時，相應的函數(shù)取得增量y f x x0 f x0 ；如果 y與 x 之比 x 0 時的極限存在，則稱函數(shù) y f x 在點 x0 處可導，并稱這個極限為函數(shù) y f x 在點x0處可導，并稱這個極限為函數(shù) y f x 在點 x0處的導數(shù)，記作 f x0 ，即 f x0lixm0lixm0x x0f x0 ； x2）在某點處可導的充分必要條件是左右導數(shù)都存在且相等例 36 f x x 1 x e x ，求