第3章復(fù)合運動

1、13.1 絕對運動、相對運動、牽連運動絕對運動、相對運動、牽連運動3.2 變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)3.3 點的復(fù)合運動的分析解法點的復(fù)合運動的分析解法（不要求）（不要求）3.3.1 動點的運動方程動點的運動方程3.3.2 動點的速度和加速度合成的解析表達式動點的速度和加速度合成的解析表達式3.4 點的復(fù)合運動的矢量解法點的復(fù)合運動的矢量解法3.4.1 速度合成定理速度合成定理3.4.2 加速度合成定理加速度合成定理3.5 剛體的復(fù)合運動剛體的復(fù)合運動（不作為重點內(nèi)容，簡單介紹）（不作為重點內(nèi)容，簡單介紹）3.5.1 剛體平面運動的角速度合成定理剛體平面運動的角速度合

2、成定理3.5.2 剛體平面運動可分解為平移和轉(zhuǎn)動剛體平面運動可分解為平移和轉(zhuǎn)動3.5.3 某類剛體的平面運動分解為兩個轉(zhuǎn)動某類剛體的平面運動分解為兩個轉(zhuǎn)動作業(yè)作業(yè) 3.6 3.7 3.8 3.9 3.11 3.15 3.18 3.19 3.21 3.22 9學(xué)時速度分析加速度分析2本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：物體的運動具有相對性。對于同一物體，若選取的參考空間不同，則其運動狀態(tài)也就不同。學(xué)習(xí)本章的意義：學(xué)習(xí)本章的意義：在前面的章節(jié)中，對物體運動的研究都是在同一個參考空間中進行的。本章將在兩個不同的參考空間中討論同一物體的運動，并給出物體在這兩個參考空間中的運動量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。物體相對于甲空

3、間的運動可視為其相對于乙空間的運動和乙空間相對于甲空間運動的復(fù)合運動。本章介紹復(fù)合運動的基本知識。復(fù)合運動是研究剛體復(fù)雜運動的重要基礎(chǔ)。33.1 絕對運動絕對運動 相對運動相對運動 牽連運動牽連運動1. 基本概念基本概念定參考系（定系）動參考系（動系）絕對運動相對運動牽連運動2. 舉例說明舉例說明直升飛機車輪運動吊車飛機螺旋槳偏心凸輪車輪上的點的運動43. 復(fù)合運動復(fù)合運動研究對象在不同的參考空間中的運動狀態(tài)是不同的。這種差別是由于動系相對于定系有運動，即存在牽連運動所導(dǎo)致牽連運動所導(dǎo)致的。如果沒有牽連運動，研究對象的絕對運動和相對運動就沒有任何差別。如果物體作相對運動的同時還存在牽連運動，兩

4、種運動的結(jié)果就是在定系中所看到的運動。換言之，當已知研究對象的相對運動及牽連運動，則研究對象的絕對運動必為某一確定的運動。這說明研究對象的絕對運動可視為其相對運動和牽連運動的合成運動，通常將這種合成運動稱為復(fù)合運動復(fù)合運動。5結(jié)論：結(jié)論：物體（點或剛體）的相對運動與其隨同動系的牽連運動合成為物體的絕對運動，或者說，物體的絕對運動可分解為物體的相對運動和其隨同動系的牽連運動。（牽連運動）（相對運動）（絕對運動）分解合成注意：物體運動的合成與分解是在兩個有相對運動的不同的參考空間中進行的，因此，必須明確研究對象、動參考系和定參考系。4. 運動合成與分解的應(yīng)用運動合成與分解的應(yīng)用（1）某些工程機構(gòu)，

5、只有用上述方法才能求出機構(gòu)中各構(gòu)件的運動關(guān)系；（2）實際問題需要在不同的參考空間研究物體的運動。這種利用動系和定系來分析運動的方法（或運動的合成與分解），不僅在工程技術(shù)上有廣泛應(yīng)用，而且還是在非慣性參考系中研究動力學(xué)問題的基礎(chǔ)。6 tA3.2 變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)目的：目的：為了給出絕對與相對速度、加速度的關(guān)系，需要在兩個相對運動著的參考空間中考察同一個變矢量的變化率。為此，本節(jié)引入矢量的絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)的概念，并研究它們之間的關(guān)系。變矢量A其變化依賴于所選取的參考空間。定義其中一個空間為定系，另一個空間為動系。定系動系 tA時刻t時刻tteAAAttA tA

6、規(guī)定：絕對增量絕對增量 ：A相對增量相對增量 ：A遷移增量遷移增量 ：eA變矢量 相對定系的增量。A變矢量 相對動系的增量。A動系相對于定系發(fā)生方位的改變， 的方位改變而產(chǎn)生的增量。A7tAdd絕對導(dǎo)數(shù)絕對導(dǎo)數(shù) ：tAdd相對導(dǎo)數(shù)相對導(dǎo)數(shù) ：推導(dǎo)絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：限于所學(xué)知識，僅討論動系相對定系作平面運動平面運動情形，對于更復(fù)雜的運動復(fù)雜的運動，所得結(jié)論依然正確。eAAA絕對增量 相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為絕對導(dǎo)數(shù)。A相對增量 相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為相對導(dǎo)數(shù)。A其中 是由于動系相對定系發(fā)生方位改變，造成 的方向改變而產(chǎn)生的增量。eAA在這一變化過程中，矢量 的大小保持時刻

7、t的值不發(fā)生變化，因此，當 足夠小，即動系作平面運動的角位移 足夠小時，由附錄I.1知AtAAe則AAAAttAtA8AttAtAttt000limlimlimtt0lim動系相對定系在t時刻的角速度矢量。AtAtAdddd(3.1)變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式上式表明：同一變矢量相對不同的參考空間其變化率一般不同，這種差別是由動系方位變化所引起的。動系作平移的特殊情況：當動系作平移時，由于動系無方位改變，其角速度 ，因此在這一特殊情況下，變矢量 的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)相等，即0AtAtAdddd(3.2)93.4 點的復(fù)合運動的矢量解法點的復(fù)合運動的矢量解法3.4.1 動點的運動方程動點

8、的運動方程(1) 確定參考點：O定系中任一確定點O動系中任一確定點(2) 動點M的變化規(guī)律：rOrrOOM絕對運動方程)(trr相對運動方程)(trr牽連運動方程)(trrOO點 相對點 的矢徑OO在任意時刻t trtrtrO(3.3)給出了動點的絕對運動方程、相對運動方程以及牽連運動為平面運動時的牽連運動方程。根據(jù)點的運動學(xué)知識，由此完全可求出該點相對于定系或動系的軌跡、速度、加速度及其在這兩個參考系中這些量之間存在的關(guān)系。103.4.2 動點的速度和加速度動點的速度和加速度絕對速度絕對速度：av動點M相對于定系的速度trvdda(3.18)絕對加速度絕對加速度：aa動點M相對于定系的加速度

9、tvaddaa(3.19)相對速度相對速度：rv動點M相對于動系的速度trvddr(3.20)相對加速度相對加速度：動點M相對于動系的加速度tvaddrr(3.21)絕對導(dǎo)數(shù)絕對導(dǎo)數(shù)在動系中的相對導(dǎo)數(shù)在動系中的相對導(dǎo)數(shù)ra矢量解法的優(yōu)點：與第二章相類似，對于能構(gòu)成復(fù)合運動的機構(gòu)，如果需要求系統(tǒng)在某一瞬時某一瞬時的運動學(xué)量，這時用分析法求解則比較麻煩，如果用點的速度合成定理和加速度合成定理所給出的矢量公式進行求解則很方便。113.4.3 速度合成定理速度合成定理rOrrOOM已知：動點M動點M相對定系的絕對矢徑為 trr動點M相對動系的相對矢徑為 trr trrOO動空間參考點 的絕對矢徑為O則

10、 trtrtrO(3.3)對時間t求絕對導(dǎo)數(shù)，得trtrtrOdddddd其中a18. 3ddvtr動點M的絕對速度OOvtrdd動系參考點 相對定系的絕對速度Otrdd （相對矢徑的絕對速度）AtAtAdddd1 . 3rtre1 . 3ddrver20. 3動系的角速度12reavrvvO(3.32)定義牽連速度：定義牽連速度：在動空間中對動點M的絕對運動產(chǎn)生直接影響的是此瞬時動系上與動點相此瞬時動系上與動點相重合的點重合的點N。定義重合點N相對定系的絕對速度為牽連速度牽連速度，記作 。ev則重合點N的絕對速度為當牽連運動為平面運動時，其角速度為 ，ervvvONee(3.33)reavv

11、v(3.34)于是速度合成定理速度合成定理（矢量方程式，在任意瞬時均成立）速度合成定理：速度合成定理：在任一瞬時，動點的絕對速度等于其相對速度與牽連速度的矢量和。速度合成定理的適用范圍：速度合成定理雖然是在牽連運動為平面運動時推導(dǎo)所得，但當牽連運動為其他形式的剛體運動時，依然成立。133.4.4 加速度合成定理加速度合成定理加速度合成關(guān)系的推導(dǎo)：加速度合成關(guān)系的推導(dǎo)：re34. 3avvv）（tvtvtvddddddreatvaddaarvttvOe33. 3edddd）（trrttvOddddddeetrraOddeeAtAtAdddd1 . 3rtrraOeee) 1 . 3(ddrvra

12、Oeeree定義定義牽連加速度牽連加速度：當動系作平面運動時，動系上與動點重合點N的絕對加速度，定義為牽連加速度。rraaOeeee(3.35)則tvddereeva(3.36)牽連速度的絕對導(dǎo)數(shù)并不等于牽連加速度。14tvddrrer1 . 3ddvtv）（rerva(3.37)相對速度的絕對導(dǎo)數(shù)并不等于相對加速度。rev的產(chǎn)生原因：的產(chǎn)生原因：rev的產(chǎn)生時由于相對運動和牽連運動同時存在相對運動和牽連運動同時存在的結(jié)果。reC2va在式(3.36)中，由于相對運動的存在相對運動的存在，在定系中看到的重合點不是動系中的固在定系中看到的重合點不是動系中的固定不變點定不變點，由于重合點的改變而產(chǎn)

13、生了該項附加加速度。在式(3.37)中，由于牽連運動使得相對速度的方向在定系中發(fā)生變化牽連運動使得相對速度的方向在定系中發(fā)生變化而產(chǎn)生的附加加速度。定義科氏加速度：定義科氏加速度：法國人科里奧利（G. G. Coriolis 17921843）在1835年提出，(3.38)加速度合成定理：加速度合成定理：Creaaaaa(3.39)加速度合成定理的矢量公式，在任意瞬時均成立。15加速度合成定理：加速度合成定理：任一瞬時動點的絕對加速度等于其相對加速度、牽連加速度與科氏加速度的矢量和。適用于任何形式的牽連運動?？剖霞铀俣瓤剖霞铀俣?的大小和方向：的大小和方向：Care38. 3C2va(1) 大

14、小、方向：sin2reCvaervCa為 的正向與 正向的夾角；erv沿 和 組成平面的法向，erv指向由右手法則決定(如圖所示)。(2) 特殊情況：當 時，90revreC2vaervCa方向由 順 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn) 得到。rve9016當 或 時，1800re/v0Ca一般情況下，得到 ， ，將 正交分解，rvrvrv reC2va(3) 綜合上述：ervCarv rv大小其方向為 順 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過 (如圖所示)時所指方向。e90rv17思思考考以作勻速定軸轉(zhuǎn)動水管中的水滴M為動點，請分析對應(yīng)于式(3.39)中每一項的物理含義。OMM NNIIIOMM NNIII動點：水管中的水滴M，動系：與水管固

15、連。絕對運動：未知曲線運動， 相對運動：直線運動，牽連運動：隨水管的定軸轉(zhuǎn)動的圓周運動。rvevavnea0tearaCa大小方向?a/vOM/2rrOM?OM/r2 vOM0Cre)39. 3(aaaaatanaaaCrteneaaaa2avtaanaaav?18例例3.7圖a所示機構(gòu)中，曲柄OA以勻角速度 作定軸轉(zhuǎn)動，帶動桿AC在套筒B內(nèi)滑動，套筒B和與其剛性連接的桿BD又可繞B軸轉(zhuǎn)動。已知OA = BD = r，圖示瞬時桿OA處于鉛垂位置，桿AC與水平線的夾角 ，試求此時點D的速度和加速度。030解解(1) 運動分析：動點：桿AC上的點B；動系：與BD固連。0OABCD(2) 速度分析：

16、BAABvvvavvBreavvvAvACBAvrvAvBAvevrv大小方向0rOAACAB?AC0?AC/沿 軸方向投影：sinAvBAv 00sin0ACABr041AC動系：動點： 桿AC上的點A；與BD固連。教材中改變動點和動系，如何？190OABCD0OABCDAvACBAvrvBD041ACBD041rBDvBDDDvBD方向沿 軸方向投影：AvBAvevrvcosAvrv 000r2330cosrrv(3) 加速度分析：ACBDtnBABAABaaaaBaaaCreaaaaaACtnBABAAaaaCreaaa大小方向20rOA/Aa2ACABnBAaAB/tBAaACAB?A

17、B0?AB/rare2vABBDeCa200OABCDACBDBDACAanBAatBAaraCa沿 軸方向投影：tnBABAAaaaCreaaacosAa0tBAa 00Car202cosvABrBDAC2083AC2083ACBDnDatDa20202n16141rrBDaBDDBD/方向2020t8383rrBDaBDDBD方向213.5 剛體的復(fù)合運動剛體的復(fù)合運動3.5.1 剛體平面運動的角速度合成公式剛體平面運動的角速度合成公式設(shè)剛體相對于地面固連的空間作平面運動，以剛體的平面圖形S代表剛體。1x2x1i2iO1x2x1e2eOSABareare，定系：21xOx動系：21xxO。

18、動系相對于定系作平面運動，圖形S相對于動系作平面運動。平面運動方位角隨時間的變化規(guī)律為 taa trr tee任一瞬時各方位角之間有如下關(guān)系era(3.40)對時間求導(dǎo)數(shù)erarea(3.41)角速度轉(zhuǎn)向如圖所示絕對角速度aa相對角速度rr牽連角速度ee22用矢量表示角速度3aai3rre3eei因為在運動過程中33eirea(3.42)稱為剛體平面運動的角速度合成定理。對式(3.42)求導(dǎo)rea(3.43)tttddddddrearerrddddtt0rerer得到角加速度的關(guān)系233.5.2 剛體平面運動可分解為平移和轉(zhuǎn)動剛體平面運動可分解為平移和轉(zhuǎn)動動系原點 與圖形S上的點A鉸接，O使動

19、系與點A以相同的規(guī)律作平移。圖形S的絕對運動絕對運動：平面運動；圖形S的相對運動相對運動：繞A軸的定軸轉(zhuǎn)動；圖形S的牽連運動牽連運動：與A同規(guī)律的平面平移。圖形S的平面運動分解繞A軸的定軸轉(zhuǎn)動與A同規(guī)律的平面平移。注意： 點A的選取具有任意性。0e由于牽連運動為平移，所以0e，rara平面圖形S上任一點B的速度、加速度可由復(fù)合運動方法得到：1x2x1i2iO1x2x1e2eOSABar24點B的相對運動相對運動：以A為圓心，以AB為半徑的圓周運動；點B的牽連運動牽連運動：以A同規(guī)律的平移。點B的速度為re)34. 3(avvvABvvAB點B的加速度為Cre)39. 3(aaaaaABABaaAB以上兩式正是在第二章中得到的平面圖形上兩點速度與加速度關(guān)系，這些關(guān)系現(xiàn)在從復(fù)合運動的途徑得到的。通過上述的推導(dǎo)可進一步理解公式(2.21)和(2.24)中各項的物理含義。BAABvvv)21. 2(nt)24. 2