等邊三角形的判定

1、第第4 4課時(shí)課時(shí) 等邊三角形等邊三角形性質(zhì)定理性質(zhì)定理: :等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡稱等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡稱: :等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角推論推論1:1:性質(zhì)性質(zhì)1:1:推論推論2:2:等腰三角形等腰三角形: :判定定理判定定理: :等邊三角形性質(zhì)等邊三角形性質(zhì): :性質(zhì)性質(zhì)2:2:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.簡稱簡稱:等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合( (三線合一三線合一) )等腰三角形兩底角的平分線、兩腰的高線、中線分別相等等腰三角形兩底

2、角的平分線、兩腰的高線、中線分別相等. .等邊三角形的三條邊相等。等邊三角形的三條邊相等。等邊三角形的三個(gè)角都相等等邊三角形的三個(gè)角都相等, ,并且每個(gè)角都等于并且每個(gè)角都等于6060溫故知新：溫故知新：想一想：想一想： （1 1）一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)便成了等邊三角形？）一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)便成了等邊三角形？ （2 2）你認(rèn)為有一個(gè)角等于）你認(rèn)為有一個(gè)角等于60600 0的等腰三角形是等邊三角形嗎？你的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴進(jìn)行交流。能證明你的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴進(jìn)行交流。命題：有一個(gè)角是命題：有一個(gè)角是60600 0的等腰三

3、角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形. .證明證明:AB=AC, B=60:AB=AC, B=600 0( (已知已知),), C=B=60 C=B=600 0.(.(等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角) ) A=60 A=600 0( (三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理) ) A=B A=B（等式性質(zhì)）（等式性質(zhì)）. . AC=CB AC=CB（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊）. . AB=BC=AC AB=BC=AC（等式性質(zhì)）（等式性質(zhì)）. . ABCABC是等邊三角形是等邊三角形( (等邊三角形意義等邊三角形意義).).已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中 AB=AC,B=60AB=AC,

4、B=600 0. .求證求證: :ABCABC是等邊三角形是等邊三角形. . ACB60600 0試一試：試一試： 定理定理: :有一個(gè)角是有一個(gè)角是60600 0的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形. .在在ABCABC中中, ,AB=AC,B=60AB=AC,B=600 0( (已知已知).).ABCABC是等邊三角形是等邊三角形( (有一個(gè)角是有一個(gè)角是60600 0的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形).).這又是一個(gè)判定等邊三角形的根據(jù)之一這又是一個(gè)判定等邊三角形的根據(jù)之一ACB60600 0歸納：歸納：命題：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形命題：三個(gè)角都相等

5、的三角形是等邊三角形. .證明證明:A=B (:A=B (已知已知),), BC=AC,( BC=AC,(等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊).). 又又B=C(B=C(已知已知),), AB=AC,( AB=AC,(等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊). ). AB=BC=AC( AB=BC=AC(等式性質(zhì)等式性質(zhì)).). ABCABC是等邊三角形是等邊三角形( (等邊三角形意義等邊三角形意義) )已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,A=B=C.,A=B=C.求證求證: :ABCABC是等邊三角形是等邊三角形. .ACB試一試：試一試： 定理定理: :三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是

6、等邊三角形在在ABCABC中中, ,A=B=C(A=B=C(已知已知),),ABCABC是等邊三角形是等邊三角形( (三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形).).ACB 歸納：歸納：已知:如圖,ABC是等邊三角形,DEBC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.求證: ADE是等邊三角形. 證明:ABC等邊三角形(已知), AB=A600(已知), 又 DEBC(已知), 1=B=600,2=C=600 (兩直線平行,同位角相等). A =1=2(等量代換). ADE是等邊三角形 (三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形). BECDA12練一練：練一練：操作操作: :用兩個(gè)含有用兩

7、個(gè)含有30300 0角的三角尺，你能拼成角的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？一個(gè)怎樣的三角形？300300300300結(jié)論結(jié)論: :在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所對(duì)的直角邊等于斜角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半邊的一半. .能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？由此你想到，在直角三角形中由此你想到，在直角三角形中, 30, 300 0角所對(duì)的直角邊與角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？斜邊有怎樣的大小關(guān)系？30030030300 0做一做：做一做：命題命題: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一個(gè)銳角等于如果有一個(gè)銳角等于30300 0, ,那么它所

8、對(duì)那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的直角邊等于斜邊的一半. .已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0,A=30,A=300 0求證求證:BC= AB.:BC= AB.21300ABCD分析：突破如何證明分析：突破如何證明“線段的倍、分線段的倍、分”問題問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化“線段相等線段相等”問題問題延長延長BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,連接連接ADAD歸歸 納：納：30300 0A AB BC CD D ACB=90 ACB=900 0, (, (已知已知),), ACD=90 ACD=900 0( (平角意義平角意義) )在在ABCAB

9、C與與ADCADC中中 BC=DCBC=DC（作圖）（作圖） ACB=ACDACB=ACD（已證）（已證） AC=AC=ACAC（公共邊）（公共邊） ABCABCADCADC（SASSAS） AD=ABAD=AB ACB=90 ACB=900 0,A=30,A=300 0( (已知已知),), B=60 B=600 0( (直角三角形兩銳角互余直角三角形兩銳角互余).). ABDABD是等邊三角形是等邊三角形( (有一個(gè)角是有一個(gè)角是60600 0的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形) ) BC= BD= AB( BC= BD= AB(等式性質(zhì)等式性質(zhì)).).證明證明: : 延長延

10、長BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,連接連接ADAD2121已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0,A=30,A=300 0求證求證:BC= AB.:BC= AB.21定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一個(gè)銳角等于如果有一個(gè)銳角等于30300 0, ,那么它所那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. .在在ABCABC中中, ,ACB=90ACB=900 0,A=30,A=300 0. .BC= AB.BC= AB.( (在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一

11、半角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).).21ABC30300 0實(shí)踐出真知：實(shí)踐出真知：解解:B=ACB=15:B=ACB=150 0( (已知已知),),DAC=B+ACB= 15DAC=B+ACB= 150 0+15+150 0=30=300 0( (三角形的一個(gè)外角三角形的一個(gè)外角, ,等于和不相鄰的兩內(nèi)角的和等于和不相鄰的兩內(nèi)角的和).).CD= AC=a(CD= AC=a(在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一個(gè)銳角等于如果有一個(gè)銳角等于30300 0, ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).).ACBD15015021例例 . .已知已知: :如

12、圖如圖, ,等腰三角形的底角為等腰三角形的底角為15150 0, ,腰長為腰長為2a.2a.求求: :腰上的高腰上的高. .2a2a典例分析：典例分析：1 1。房梁的一部分如圖所示房梁的一部分如圖所示, ,其中其中BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=7.4m,AB=7.4m,點(diǎn)點(diǎn)D D是是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn),DEAC,DEAC,垂垂足為足為E.E.求求:BC,DE:BC,DE的長的長. . 解解:BCAC,A=30:BCAC,A=300 0,AB=7.4m(,AB=7.4m(已知已知),), BC=AB/2=7.4 BC=AB/2=7.42 23.7(3.7(在直角三角形中在直

13、角三角形中, , 如果有一個(gè)銳角等如果有一個(gè)銳角等于于30300 0, ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半), ), 又又 AD=AB/2=7.4AD=AB/2=7.42 23.7(3.7(中點(diǎn)意義中點(diǎn)意義), ), DE=AD/2=3.7 DE=AD/2=3.72 21.85(1.85(在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一個(gè)銳如果有一個(gè)銳角等于角等于30300 0, ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半). ). 答答:BC=3.7m,DE=1.85m. :BC=3.7m,DE=1.85m. 老師提示老師提示: :對(duì)于含對(duì)

14、于含30300 0角的直角三角形邊之間角的直角三角形邊之間, ,角之間的關(guān)系要作為常角之間的關(guān)系要作為常識(shí)去認(rèn)可識(shí)去認(rèn)可. . B BE EC CD DA A30300 0練一練：練一練：2.2.已知已知: :如圖如圖, ,ABCABC是等邊三角形是等邊三角形, ,過它的過它的三個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)邊的平行線三個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)邊的平行線, ,得到一個(gè)得到一個(gè)新的新的DEF,DEF,DEFDEF是等邊三角形嗎是等邊三角形嗎? ?你還能你還能找到其它的等邊三角形嗎找到其它的等邊三角形嗎? ?請(qǐng)證明你的結(jié)請(qǐng)證明你的結(jié)論論. . 答答:(1):(1)DEFDEF是等邊三角形是等邊三角形;(2);(2)ABE,

15、ABE,ACF,ACF,BCDBCD也是等邊三角形也是等邊三角形. .證明證明(1):(1):ABCABC是等邊三角形是等邊三角形( (已知已知), ), 又又EFBC,DEAC(EFBC,DEAC(已知已知), ), EE60600 0( (三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理). ). 同理同理,D=60,D=600 0,F,F60600 0. . B BE EC CD DA AF F112=32=360600 0( (等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都等于等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都等于60600 0 ). ).4 42 21 13 3442 260600 0,5,51 160600 0( (兩直線平行兩直線平行, ,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等). ). 5 5 D DE=FE=F60600 0( (等量代換等量代換). ). DEFDEF是等邊三角形是等邊三角形( (三個(gè)角相等的三角形是等邊三角三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形形). )