重言式與蘊涵式第三課

1、例例6、證明、證明P (Q R) Q (P R)證明： P (Q R) P (Q (Q R) R) P ( ( Q Q R) R) Q Q ( ( P R) R) Q Q ( ( P R) R) Q Q (P (P R) R)例例7、證明、證明( P Q )(Q R) P Q R證明： ( P Q )(Q R) ( P Q ) (Q R) (P Q ) (Q R) (P Q R) ( Q Q R) (P Q R) T P Q R第第5節(jié)節(jié) 重言式與蘊涵式重言式與蘊涵式上一節(jié)課給出了永真式（重言式）和永假式（矛盾式）的概念，下面給出有關(guān)定理：定理定理1 任何兩個重言式的合取或析取，仍然是一個重任

2、何兩個重言式的合取或析取，仍然是一個重言式。言式。定理定理2 一個重言式，對同一分量都用任何合式公式置一個重言式，對同一分量都用任何合式公式置換，其結(jié)果仍為一重言式。換，其結(jié)果仍為一重言式。 對矛盾式也有類似定理對矛盾式也有類似定理1，2的結(jié)果。的結(jié)果。證明證明 (P Q) P Q前面我們講過一個關(guān)于等價式的定理：當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A B為永真式為永真式時時A B定義定義1 蘊涵式蘊涵式 當(dāng)且僅當(dāng)P Q是一個重言式時，我們稱P蘊涵Q，記為P Q。注意：注意：P Q不是對稱的，即不是對稱的，即P Q與與 Q P不不等價等價 相對于相對于P Q來說：來說： Q P為為 逆換式逆換式 P Q 反換式反

3、換式 Q P 逆反式逆反式2. 蘊涵式的特征蘊涵式的特征例1：用真值表證明蘊涵式：Q P Q 成立PQP QQ (P Q)TTTTTFFTFTTTFFTT要證P Q，即證P Q為永真式，而條件式為假只有一種情況，即前件為真，而后件為假。前件為真，而后件為假。如何證明如何證明 P Q ?（1）當(dāng)前件為真時，后件必為真；（2）當(dāng)后件為假時，前件必為假。證明蘊含式的方法：證明蘊含式的方法：（1）直接證法設(shè)前件為真，由此推導(dǎo)出后件亦為真。（2）反證法設(shè)后件為假，由此推導(dǎo)出前件亦為假。前件、后件前件、后件以蘊含符號以蘊含符號為界為界例例2 語言推證：語言推證：Q (PQ) P證法一： （直接證法）假設(shè)前

4、件為T,有Q 為T且(PQ) 為T從而Q為F且(PQ) 為T所以P為F，即 P為T。故蘊含式成立。證法二： （反證法）假設(shè)后件為F,則P為F，P為T，分兩種情形討論：1. Q為T，則 Q 為F ， 前件Q (PQ) 為F；2. Q為F，則 (PQ) 為F ，前件Q (PQ) 為F。故蘊含式成立。前件為T時，后件必為T，從而蘊涵式成立后件為F時，前件必為F，從而蘊涵式成立例例3 語言推證：語言推證： (PQ) (P R) (Q R) R幾個重要的性質(zhì)：幾個重要的性質(zhì)：1. 設(shè)P、Q為任意兩個命題公式，P Q 的充分必要條件為 P Q且 Q P2. A B且A為重言式，則B必是重言式3. 若A B且B C，則A C4. 若A B且A C，則A (B C)5.若AB且CB，則(AC) B教材教材P22P21表表1-5.21. P Q P3. P P Q8. P (P Q) Q11. (P Q) (Q R) (P R) 13. (P Q) (R S) (P R) (Q S)14. (P Q) (Q R) (P R)10. P (P Q) QA B (A C) (B C)