空間解析幾何例題

1、學習好資料歡迎下載第 4 章向量代數(shù)與空間解析幾何習題解答習題 4.1一、計算題與證明題1已知 | a |1, | b |4 ,| c |5 , 并且 abc0 計算 a bb c c a 解：因為 | a |1,|b |4 ,| c |5 ,并且 abc0所以 a 與 b 同向，且 ab 與 c 反向因此 a b0 ， b c0 ， c a 0所以 abbcca02已知 | ab |3 , | ab | 4 , 求 | a |b |解： | ab |a b cos3（ 1）| a b |ab sin4（ 2）(1) 22 2得 a225b所以ab53設力 F2i3 j5k 作用在點 A(3,

2、6,1) ,求力 F 對點 B(,1,7,2) 的力矩的大小解：因為 A 3,6,1 , B 1,7,2所以 AB2,13力矩 MABF2ij3k2i3 j5kijk1323212133i2j2k23555314i16 j4k所以，力矩的大小為M142162261344已知向量 x 與 a(,1,5,2)共線,且滿足 ax3 , 求向量 x 的坐標解：設 x 的坐標為x, y, z，又 a1,5,2則 axx5 y2z3（ 1）學習好資料歡迎下載又 x 與 a 共線，則 xa0即ijkyzxyxyxyzi51j1k1522252y5z iz2xj5xy k0所以2 y5z 2z2x 25x y

3、 20即 29 x25y 226z220 yz4xz10 xy0（2）又 x 與 a 共線， x 與 a 夾角為 0 或cos0 1x a3x2y2z212522 2x 2y 2z230整理得x2y 2z23（3）10聯(lián)立1、2、3解出向量 x 的坐標為1,1, 110255用向量方法證明, 若一個四邊形的對角線互相平分 , 則該四邊形為平行四邊形證明：如圖所示， 因為平行四邊形ABCD 的對角線互相平分，則有BMND,CNMA由矢量合成的三角形法則有BABMMACDCMMDMABMBMMA所以 BACD即 BA 平行且等于 CD四邊形 ABCD 是平行四邊形6已知點A(3,8,7) , B(

4、 1,2, 3) 求線段 AB 的中垂面的方程解：因為 A 3,8,7 , B( 1,2, 3)AB 中垂面上的點到A、 B 的距離相等，設動點坐標為M x, y, z，則由 MAMB 得222222x 3y 8z 7x 1y 2z 3化簡得 2x3 y5z270學習好資料歡迎下載這就是線段 AB 的中垂面的方程。7 向 量 a ,b ,c 具 有 相 同 的 模 ,且 兩 兩 所 成 的 角 相 等 , 若 a ,b 的 坐 標 分 別 為(1,1,0)和( 0,1,1) , 求向量c 的坐標解： abcr 且它們兩兩所成的角相等，設為則有 a b1011011則 cosab1abr 2設向

5、量 c 的坐標為x, y, z則 ac1 x1y0zxyab cosr r11（ 1）r 21b c0x1 y1zyzbc cosr1（ 2）r2rcx2y 2z2r1212022所以 x2y 2z22（ 3）x1x134聯(lián)立（ 1）、（2）、 (3)求出y0或y3z1z13所以向量 c 的坐標為1,0,1 或1,4, 13338已知點 A(3,6,1),B(2, 4,1), C(0,2,3), D (2,0,3) ，(1) 求以 AB , AC , AD 為鄰邊組成的平行六面體的體積(2) 求三棱錐 A BCD 的體積(3) 求 BCD 的面積(4) 求點 A 到平面 BCD 的距離解：因為

6、A 3，0，1 ， B 2, 4,1 ,C 0, 2,3 ,D 2,0, 3所以 AB1, 10,0AC3, 8,2AD5,6,4學習好資料歡迎下載（1） AB, AC, AD 是以它們?yōu)猷忂叺钠叫辛骟w的體積1100V38231000012012176564（2）由立體幾何中知道，四面體ABCD （三棱錐 ABCD ）的體積VT1 V1 17688663（3）因為 BC2，2，2， BD4，4， 4ijkBCBD22216i16 j0k444所以 BCBD16 216 2162 ，這是平行四邊形BCED 的面積因此 S BCD1 S BCED11628222(4)設點 A 到平面 BCD 的

7、距離為 H ，由立體幾何使得三棱錐 ABCD 的體積VT1SBCD H33VT3881111 2所以 H3S BCD8222習題 4.2一、計算題與證明題1求經(jīng)過點A(3,2,1) 和 B( 1,2, 3) 且與坐標平面xOz 垂直的平面的方程解：與 xoy平面垂直的平面平行于y軸，方程為AxCzD 0(1)把點 A 3，2，1 和點 B1，2， 3代入上式得3ACD0(2)A3CD0(3)由（ 2），（ 3）得 AD, CD22代入（ 1）得D x D z D 022消去 D 得所求的平面方程為x2z0學習好資料歡迎下載2求到兩平面: 3xy2z6 0 和: xyz1 距離相等的點的軌跡方程

8、251解；設動點為 Mx, y, z ，由點到平面的距離公式得3z y 2z 65x 2 y 10 z 10321 2225 22210 2所以 3xy 2z6145x 2 y 10z101293已知原點到平面的距離為 120, 且在三個坐標軸上的截距之比為2:6:5, 求的方程解：設截距的比例系數(shù)為k ，則該平面的截距式方程為xyz12k6k5k化成一般式為15x5 y 6 z30k0又因點 O 0,0,0 到平面的距離為 120，則有30k1202526215求出 k4 286所以，所求平面方程為15x5 y6z12028604若點 A( 2,0,1) 在平面上的投影為B( 2,5,1)

9、, 求平面的方程解：依題意，設平面的法矢為n4, 5,2代入平面的點法式方程為4 x25 y52 z10整理得所求平面方程為4x5y2z3505已知兩平面: mx7 y6z240 與平面: 2x3my11z190 相互垂直， 求 m的值解：兩平面的法矢分別為n1m, 1, 6 ， n22, 3m,11 ，由 n1 n2 ，得2m21m66066求出 m196已知四點A(0,0,0) , B(,2, 5,3) , C(0,1, 2) , D(2,0,7) , 求三棱錐DABC 中 ABC學習好資料歡迎下載面上的高解：已知四點A 0,0,0 , B 2, 5,3 ,C 0,1, 2 , D 2,0

10、,7 ,則DA2,0, 7 ,DB0, 5, 4 ,DC2,1, 9由 DA , DB , DC 為鄰邊構成的平行六面體的體積為207V DA,DB,DC054219900070089070828由立體幾何可知，三棱錐DABC 的體積為VD ABC1 V12814設 D 到平面 ABC 的高為 H663則有VDABC1 HS ABC3所以H3VDABCS ABC又 AB2,5,3 , AC0,1,2ijkAB AC2537i4 j2k012所以， S ABC1ABAC17 24222169222314282869因此， H3169696927已知點 A 在 z 軸上且到平面: 4x2 y7 z

11、 14 0 的距離為 7,求點 A 的坐標解： A 在 z 軸上，故設 A 的坐標為0，0，2，由點到平面的距離公式，得7z147422 27 2學習好資料歡迎下載所以7 z1469則 z269那么A 點的坐標為A 0,0,2698已知點A 在 z 軸上且到點B(0, 2,1) 與到平面: 6x2y3z9 的距離相等, 求點A的坐標。解：A 在z 軸上，故設A 的坐標為0,0, z，由兩點的距離公式和點到平面的距離公式得 02221 z23z932622 2化簡得 40z274 z2290因為74 2440229311640方程無實數(shù)根，所以要滿足題設條件的點不存在。習題 4.3一計算題與證明

12、題1求經(jīng)過點 P(1, 2,0) 且與直線x1y 1z1 和 xyz 1 都平行的平面的方110110程解：兩已知直線的方向矢分別為v11，1，0 ， v21， 1，0，平面與直線平行，則平面的法矢 aA， B， C 與直線垂直由 a v1 ，有 A B 0 0（ 1）由 a v2 ，有 A B 0 0（ 2）聯(lián)立（ 1），（2）求得 A 0, B0,只有 C0又因為平面經(jīng)過點P 1， 2，0 ，代入平面一般方程得0102C0D0所以D0故所求平面方程Cz0 ，即 z0 ，也就是 xoy 平面。學習好資料歡迎下載2求通過點 P(1， 0， -2) ，而與平面3x-y+2z-1=0 平行且與直線

13、x1y 3z 相交的直241線的方程解：設所求直線的方向矢為vm， n， p ，直線與平面3x2z10 平行，則 v n ，有3mn 2 p 0（ 1）直線與直線 x1y3z 相交，即共面421mnp則有4210113002所以7m 8n 12 0（ 2）由（ 1），（ 2）得m2np，即 mnp123314503181212778取 m4 ， n50 ， p31，得求作的直線方程為x1yz2450313求通過點 A(0,0,0) ) 與直線 x3y4z4 的平面的方程211解：設通過點 A(0,0,0)的平面方程為A(x0)B( y0) C ( z0)0即AxByCz0(1)又直線 x3y4

14、z4 在平面上，則直線的方向矢v 與平面法矢 n 垂直2112ABC0所以(2)直線上的點3,4,4也在該平面上，則3A4B4C0（ 3）由（ 1），（ 2），（ 3）得知，將A, B,C 作為未知數(shù)，有非零解的充要條件為xyz2110344即 8x5 y11z0 ，這就是求作的平面方程。學習好資料歡迎下載4求點 P(1,1,0) 到直線 x 2y z1 的距離110解：點 A 2,0,1 在直線上，直線的方向矢v 1, 1,0AP1, 1,1 ,AP與 v 的夾角為則cosAP v11001 21 21212AP v1 2所以900因此點 P 1, 1,0 到直線的距離為dAP1 21 21

15、235 取何值時直線3xy2z60x4yz15與 z 軸相交 ?03x y 2z 6 00，0， z ，解：直線4 yz15與 z 軸相交，則有交點坐標為x0由直線方程得2z60，求得5z 1506平面 x yz10上的直線 l 通過直線 l1x2 z0l1 垂：z與此平面的交點且與y1 0直 , 求 l 的方程解：依題意， l 與 l1 的交點在平面上，設通過交點的平面方程為x y z1y z 1x 2z 0即 1x 1y 12z 10（ 1）x2 z0已知直線 l1的一組方向數(shù)為yz10mnp022110111001所以mnp211由直線與平面垂直得1112211學習好資料歡迎下載2所以1

16、22得3122143將2，1代入（ 1）得2 x1 y1 z10333333化簡得 2xyz10xyz10故所求直線方程為2 xyz107求過點 (3,25) 且與兩平面x4z3和 3xyz1平行直線方程解：與兩平面平行的直線與這兩個平面的交線平行，則直線的方向矢垂直于這兩平面法矢所確定的平面，即直線的方向矢為ijkv n1n21 044i 13 j k311將已知點代入直線的標準方程得x3y2z541318 一 平 面 經(jīng) 過 直 線 （ 即 直 線 在 平 面 上 ） l： x35 y 2 z ， 且 垂 直 于 平 面14x y z150 ，求該平面的方程解：設求作的平面為Ax ByCz

17、D0(1)直線 x 5y2z 在該平面上， 則有點5,2,0 在平面上， 且直線的方向矢 v 3,1,4314與平面的法矢 nA, B,C 垂直所以5A2BD0(2)3AB4C0(3)又平面與已知平面xy z110垂直，則它們的法矢垂直所以A BC0(4)A5D39聯(lián)立 (2),(3),(4) 得 B7 D34C2D34學習好資料歡迎下載代入（ 1）式消去 D 并化簡得求作的平面方程為5x2 y2z390習題 4.4一計算題與證明題1一動點 P 到定點 A(4,0,0) 的距離是它到B( 2,0,0) 的距離的兩倍 , 求該動點的軌跡方程解：設動點 P 的坐標為 P x, y, z ，依題意，

18、得x 4 2y2z22 x 1 2y2z2化簡得 x2y 2z28x 02已知橢圓拋物面的頂點在原點，xOy 面和 xOz 面是它的兩個對稱面，且過點(6， 1， 2)與1， 1， 1 , 求該橢圓拋物面的方程3解：頂點在原點，xoy 面和 xoz 面是它的對稱面的橢圓拋物線方程為ya2z22 px2b 2代入已知點 6，1，2 ，11，1 得31412 pa 2b 2112 p9a2b 2b26a 2聯(lián)立求出5b36a 2代入（ 1）式得 y 2z210xa 26a 236a2化簡得求作的橢圓拋面方程為18 y 22z 25x3求頂點為 O (0,0,0) ，軸與平面 x+y+z=0垂直，且

19、經(jīng)過點(3,2,1) )的圓錐面的方程解：設軌跡上任一點的坐標為P x， y， z ，依題意，該圓錐面的軸線與平面xyz0 垂學習好資料歡迎下載直，則軸線的方向矢為v 1，1，1，又點 O 0,0,0 與點 3，2,1在錐面上過這兩點的線的方向矢為l1 3,2,1 ，點 O(0,0,0) 與點 Px， y， z 的方向矢為 l 2x, y, z，則有 l 1 與 v的夾角和 l2 與 v 的夾角相等，即x 1 y 1 11312111x 2y 2z 2121212322212121212化簡得所求的圓錐面方程為11x 211y 211z214 xy14 yz04已知平面過 z 軸,且與球面 x

20、2y2z26 x8 y10 z410 相交得到一個半徑為 2 的圓 , 求該平面的方程解：過 z 軸的平面為 AxBy0（ 1）球面方程化為 x3 2y4 2z5 29表示球心坐標為O 3,4, 5 到截面圓的圓心的距離為d32225 ,如題三 .4 圖所示由點到平面的距離公式為3A4B5A2B2化簡得 4A224BA1120B解關于A的一元二次方程地24B24B24411B 2A24求出 A11B,A211 B22分別代入 (1)式得1 BxBy0, 11 Bx By 0223 y消去 B 得所求平面方程為x2 y 或 x115求以 z軸為母線 , 直線x1為中心軸的圓柱面的方程y 1解 :

21、如習題三 .5 所示 ,圓柱面在 xoy 平面上投影的圓心坐標為學習好資料歡迎下載1,1 ,2 ,x1 2y1 22半徑為所以求作的圓柱面方程為6求以 z軸為母線 ,經(jīng)過點 A(,4,2,2)以及 B(6,3,7) 的圓柱面的方程解 :設以 z 軸為母線的柱面方程為xa 2yb 2a2(1)因為點 A(,4,2,2), B(6,3,7) 在柱面上 ,則有4a 22b 2R 2(2)6a 23b 2R 2(3)則a0 2b 0 2R2(4)聯(lián)立 (2),(3),(4) 求出 a25, b5, R22258464代入 (1) 式得所求的柱面方程為252225x25y84647根據(jù) k 的不同取值

22、, 說明 (9k) x2(4 k) y2(1 k )z21表示的各是什么圖形解:方程9 k x24 k y 21k z21(1)k9時 ,(1)式不成立 , 不表示任何圖形 ; 4k9 時 ,(1)式變?yōu)?x2y 2z 21, 表示雙葉雙曲線 ;a2b2c2 1k4 時 ,(1)式變?yōu)?x2y 2z21, 表示單葉雙曲線 ;a 2b2c2k1 時,(1)式變?yōu)?x 2y 2z 21, 表示橢球面 ;a 2b 2c2k1時 ,(1)式變?yōu)?x 2y 21, 表示母線平行于z 軸的橢圓柱面 ;a 2b 2k4時 ,(1)式變?yōu)?x2z 21 , 表示雙曲柱面 ;a2b 2 k9時 ,(1)式變?yōu)閥

23、2z21, 不表示任何圖形 ;b 2c2學習好資料歡迎下載x2y2z2x 2y 21, 與點 A(1,2,23) , 試確定 X ,Y, Z8已知橢球面1經(jīng)過橢圓916XYZz0.的值解: 因為橢球面x2y 2z21經(jīng)過橢圓x2y 21與點 A(1,2,23) ,則有xyza16z0x2y2z21(1)916z21222231 (2)xyz所以 x9, y16代入 (2) 得 z36x9即 y16z36復習題四一、計算與證明題1已知 | a |2 , |b |7 , | c |5 , 并且 abc0 計算 a bb cc a 解 :| a |2 , | b |7 , | c |5 , 且 ab

24、c0則 a與 c同向， a、 c均與 b反向 .所以 a b b cc a 02 7 cos180075cos18005 2 cos 00143510392設力 Fi3 j2k 作用在原點點 , 求力 F 對點 B(2,0,1) 的力矩的大小解: 原點坐標O 0,0,0,則 OQ2,2,12i 2 j kxFi3 j2k ， F 對 B 的力矩為學習好資料歡迎下載ijkMOBF2013i5 j6k132力矩的大小為 M3 25 26 2703已知點 A(0,1,4),B( 2,3,0) 求線段 AB 的中垂面的方程解：已知點 A(0,1,4) , B( 2,3,0)，設 AB 的中垂面上任一點的坐標為M x, y, z ，由兩點間的距離公式得x0 2y1 2z 4 2x2 2y 1 2z0 2化簡得 xy2z104已知平面與三個坐標軸的交點分別為A,B,C 且 OABC 的體積為80, 又 在三個坐標軸上的截距之比為4 :5:3 ,求的方程解：設在三個坐標軸上的截距之比為 a : b : c4 :5:3k ，則平面與三個坐標軸的交點為 A 4k,0,0 , B 0,5k,0