高等數(shù)學(xué)課件：w-8-6微分法在幾何上的應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué) 第第 六六 節(jié)節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面 二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線 三、小三、小 結(jié)結(jié)重點(diǎn)：幾何應(yīng)用重點(diǎn)：幾何應(yīng)用高等數(shù)學(xué)設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面M.),(0000tttzzyyxxM 對對應(yīng)應(yīng)于于;),(0000ttzyxM 對應(yīng)于對應(yīng)于設(shè)設(shè)M (一）一）高等數(shù)學(xué)考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx

2、 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx 高等數(shù)學(xué),0,時時即即當(dāng)當(dāng) tMM曲線在曲線在M處的處的切線方程切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttT 法平面法平面：過：過M點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt高等數(shù)學(xué)求求曲曲線線: tuuduex0cos，tysin2 tcos , tez31 在在0 t處處的的切切線線和和法法平平面面

3、方方程程. 解解當(dāng)當(dāng)0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即例例1 1高等數(shù)學(xué)（二）（二）空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切切線線方方程程為為高等數(shù)學(xué)（三）空間曲線方程為（三）空間曲線方程為0),(0),( zyxGzyx

4、F切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy高等數(shù)學(xué)求求曲曲線線6222 zyx，0 zyx在在點(diǎn)點(diǎn))1, 2, 1( 處處的的切切線線及及法法平平面面方方程程. 將將所所給給方方程程的的兩兩邊邊對對 x求求導(dǎo)導(dǎo)并并移移項項，得得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 解解1 1 直接利用公式；直接利用公式；解解2 2例例2 2高等數(shù)學(xué)由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 T所求切

5、線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0) 1()2(0) 1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz高等數(shù)學(xué)設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲線在曲線在M處的切向量處的切向量在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點(diǎn)過點(diǎn)M的曲線的曲線,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線nTM（一）切平面的存在性（一）切平面的存在性高等數(shù)學(xué)),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令則則,Tn （二）（二） 切平面方程的表達(dá)

6、式切平面方程的表達(dá)式 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx高等數(shù)學(xué) 通通過過點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱稱為為曲曲面面在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法線線.法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M處的法向量即處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量曲面的法向量.（三）曲面的法線方程（三）曲面的法線方程

7、高等數(shù)學(xué)特殊地：空間曲面方程形為特殊地：空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在M處的處的切平面方程切平面方程為為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的處的法線方程法線方程為為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令高等數(shù)學(xué))(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點(diǎn)的上點(diǎn)的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 因?yàn)榍嬖谝驗(yàn)榍嬖贛處的切平面方程為處的切平面方程為全微分的幾何意義全微分的幾何意義),(yxfz 在

8、在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyx處處的的切切平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)的的增增量量.高等數(shù)學(xué) 若若 、 、 表示曲面的法向量的表示曲面的法向量的方向角方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與并假定法向量的方向是向上的，即使得它與z軸軸的正向所成的角的正向所成的角 是銳角，則法向量的是銳角，則法向量的方向余弦方向余弦為為,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中高等數(shù)學(xué)求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面122 yxz在在點(diǎn)點(diǎn))4 , 1

9、 , 2(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程. 解解, 1),(22 yxyxf)4 , 1 , 2()4 , 1 , 2(1,2,2 yxn,1,2,4 切平面方程為切平面方程為, 0) 4() 1( 2) 2( 4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx例例3 3高等數(shù)學(xué)求求曲曲面面32 xyezz在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 2 , 1(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程. 解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0 , 2 , 1()0 , 2 , 1( yFx, 22)0 , 2 , 1()0 , 2 , 1( xFy, 01)0 , 2 , 1

10、()0 , 2 , 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx例例4 4高等數(shù)學(xué)求求 曲曲 面面2132222 zyx平平 行行 于于 平平 面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程. 解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn),),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 例例5 5高等數(shù)學(xué)因?yàn)橐驗(yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，是曲面上的切點(diǎn)，),(0

11、00zyx, 10 x所求切點(diǎn)為所求切點(diǎn)為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)高等數(shù)學(xué)一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線（當(dāng)空間曲線方程為一般式時，求切向（當(dāng)空間曲線方程為一般式時，求切向量注意采用量注意采用推導(dǎo)法推導(dǎo)法）（求法向量的方向余弦時注意（求法向量的方向余弦時注意符號符號）三、小結(jié)三、小結(jié)高等數(shù)學(xué)復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)例例1 1解解.)(lim2200yx

12、xxyyx 求極限求極限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等價于等價于則則yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故高等數(shù)學(xué)例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 高等數(shù)學(xué)xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(

13、2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 高等數(shù)學(xué)例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯然顯然,dxdz求求得得的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故高等數(shù)學(xué)于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.

14、)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu試求試求且且所確定所確定由方程組由方程組設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的的函函數(shù)數(shù)都都看看成成是是以以及及將將方方程程組組的的變變元元xzyu,高等數(shù)學(xué)得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdx

15、du 得得代入代入高等數(shù)學(xué)例例5 5解解,2,2,6000zyxn 設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)),(000zyx依題意知切向量為依題意知切向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點(diǎn)滿足曲面和平面方程切點(diǎn)滿足曲面和平面方程 016930169320202200020 xxxxxx .2 高等數(shù)學(xué),1 , 1 , 3)0 , 0(, 0 , 0(),()(,3)(, 1)0 , 0(, 3)0 , 0()0 , 0(),()0,0(法法向向量量為為的的在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲面面則則附附近近有有定定義義且且在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)fyxfzBdydxdzAyxyxfff 曲曲線線)(C0),(

16、 yyxfz的的在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(, 0 , 0(f,3 , 0 , 1切切向向量量為為曲曲線線)(D0),( yyxfz的的在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(, 0 , 0(f.1 , 0 , 3切切向向量量為為例例6 6高等數(shù)學(xué)課堂練習(xí)課堂練習(xí) ._,2),(. 11, 1333 yxdzzzyxyxzz則則確確定定由由設(shè)設(shè)2.下列說法中正確的是下列說法中正確的是_.),(),()(.),(),()(.),(),()(.),(),()(00000000連連續(xù)續(xù)處處可可微微則則在在該該點(diǎn)點(diǎn)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在可可微微處處偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)則則在在該該點(diǎn)點(diǎn)在在存存在在處處連連續(xù)續(xù)則則在在該該點(diǎn)點(diǎn)偏偏導(dǎo)導(dǎo)

17、數(shù)數(shù)在在連連續(xù)續(xù)處處偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在則則在在該該點(diǎn)點(diǎn)在在yxyxfDyxyxfCyxyxfByxyxfA高等數(shù)學(xué))1()1()(1)()1()()1()1()(._,),(.3yxxzyDyyzCyxyByxxyAxyxyzzxyyeyx 是是則則所所確確定定由由方方程程函函數(shù)數(shù).,),sin,2()2(.42yxzfgyyxyfxgz 求求具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)二二階階可可微微其其中中設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)fffyyyACdydx 12111cos222 .4),.(3),.(2,33.1答案答案高等數(shù)學(xué)xyyxxfx ),(010 )10(1 在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理

18、在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx 100),( （根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時時，01 .證證),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf ),(),(0000yyxfyyxxf 高等數(shù)學(xué)xxyxfx 100),( yyyxfy 20),( z 2121 yx, 00 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處可微處可微.對于對于),(),(0000yxfyyxf 當(dāng)當(dāng)0 y時，時，02 ,yyyxfyxfyyxfyxfyyxfyyxfyxfyyxfyyxfyyy

19、y 2000000200000000000),(),(),(),(),(),(),(),(),(lim 高等數(shù)學(xué)作業(yè)評講作業(yè)評講.),(),(),(),()3:32(nfzfzyfyxfxnnzyxfzyxfttztytxfzyxftPn 方方程程次次齊齊次次可可微微函函數(shù)數(shù)滿滿足足次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)，試試證證為為則則稱稱都都滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式，函函數(shù)數(shù)若若對對任任意意正正實(shí)實(shí)數(shù)數(shù).).,(),().,().,(),(),(,1nfzfzyfyxfxwvunfzyxfntfwf vfuzyxfntftzftyftxtzyxfntf zf yfxtzyxftwvuftzwtyvtxunwvu

20、nwvunwvun 故故有有于于是是得得上上式式同同乘乘以以求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩端端對對則則令令解解高等數(shù)學(xué)作業(yè)評講作業(yè)評講.),(),(),(),()3:32(nfzfzyfyxfxnnzyxfzyxfttztytxfzyxftPn 方方程程次次齊齊次次可可微微函函數(shù)數(shù)滿滿足足次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)，試試證證為為則則稱稱都都滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式，函函數(shù)數(shù)若若對對任任意意正正實(shí)實(shí)數(shù)數(shù).).,(),().,().,(),(),(,1nfzfzyfyxfxwvunfzyxfntfwf vfuzyxfntftzftyftxtzyxfntf zf yfxtzyxftwvuftzwtyvtxunwvunwvunwvun 故故有有于于是是得得上上式式同同乘乘以以求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩端端對對則則令令解解高等數(shù)學(xué)).0(),(,()(,)0 , 0(,)0 , 0(, 0)0 , 0(,),()5:32( 求求