【精品】高中數(shù)學選修1__充分條件與必要條件講義+鞏固練習_基礎(chǔ)

1、充分條件與必要條件【學習目標】1 .理解充分條件、必要條件、充要條件的定義；2 .會求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件；3 .會應(yīng)用充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件表達命題之間的關(guān)系；4 .能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進行充要性的證明.【要點梳理】要點一：充分條件與必要條件、充要條件的概念1 .符號pq與pq的含義若p,則q"為真命題，記作：pq;若p,則q”為假命題，記作：pq.2 .充分條件、必要條件與充要條件若pq,稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.如果既有pq,又有qp,就記作pq,這時p是q的充分必要條件，稱p是q的充

2、要條件.要點詮釋：對pq的理解：指當p成立時，q一定成立，即由p通過推理可以得到q.若p,則q"為真命題；p是q的充分條件；q是p的必要條件.以上三種形式均為pq”這一邏輯關(guān)系的表達.要點二：充分條件、必要條件與充要條件的判斷1 .從邏輯推理關(guān)系看命題“若p,則q"，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系.p,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件;若pq,但qp,則p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件；若pq,且qp,即pq,則p、q互為充要條件；若pq,且qp,則p是q的既不充分也不必要條件.2.從集合與集合間的關(guān)系看若p:xCA,貝Uq:xB.若AB,則p

3、是q的充分條件，q是p的必要條件；若A是B的真子集，則p是q的充分不必要條件；若A=B,則p、q互為充要條件；若A不是B的子集且B不是A的子集，則p是q的既不充分也不必要條件.要點詮釋：充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進行：確定哪個是條件，哪個是結(jié)論；嘗試用條件推結(jié)論；再嘗試用結(jié)論推條件；最后判斷條件是結(jié)論的什么條件.要點三：充要條件的證明要證明命題的條件是結(jié)論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）.要點詮釋：對于命題“若p,則q”：如果p是q的充分條

4、件，則原命題“若p,則q”與其逆否命題“若q,則p”為真命題；如果p是q的必要條件，則其逆命題“若q,則p”與其否命題“若p,則q”為真命題；如果p是q的充要條件，則四種命題均為真命題.【典型例題】類型一：充分條件、必要條件、充要條件的判定例1.指出下列各題中，p分別是q的什么條件？(1) p:(x2)(x3)0,q:x2;(2) p:c0,q:拋物線yax2bxc過原點；(3) p:一個四邊形是矩形，q:四邊形的鄰邊相等.【思路點撥】本題中，p是條件，q是結(jié)論.嘗試用條件推結(jié)論，再嘗試用結(jié)論推條件，從而判斷p分別是q的什么條件.【解析】(1)p:x2或x3,q:x2,，-pq且qp,p是q的

5、必要不充分條件.(2)vpq且qp,p是q的充要條件，(3) .,pq且qp,p是q的既不充分條件也不必要條件.【總結(jié)升華】判定充要條件的基本方法是定義法，即“定條件找推式一一下結(jié)論”有時需要將條件等價轉(zhuǎn)化后再判定.舉一反三：【變式U指出下列各題中，p是q的什么條件？(1) p:AB,q:A和B是對頂角.(2) p:x1,q:x21;【解析】(1) pq且qp,p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件.(2) q:x21x1或x1x1x21,但x21x1,p是q的充分不必要條件,q是p的必要不充分條件【變式2】判斷下列各題中p是q的什么條件.(1) p:a0且b0,q:ab0;x(2)

6、p：_1,q：xy.y【答案】(1) p是q的充分不必要條件.a0且b0時，ab0成立；反之，當ab0時，只要求a、b同號即可.必要性不成立.(2) p是q的既不充分也不必要條件1在y0的條件下才有xy成立.y充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清課堂：充分條件與必要條件394804例2】例2.已知p:0<x<3,q:|x-1|<2,則p是4的()A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式|x-1|<2得-1<x<3,即q:-1<x<3.將集合P=x|0x3與Q=Ax|1x3在數(shù)軸上表示出

7、來，如圖，從圖中看PQ,所以pq,但qp,/:,J-故p是q的充分不必要條件.-101*【總結(jié)升華】先對已知條件進行等價轉(zhuǎn)化化簡，然后由定義判斷；不等式(解集)表示的條件之間的相互關(guān)系可以借助集合間的關(guān)系判斷舉一反三：【高清課堂：充分條件與必要條件394804例3】【變式1】設(shè)xR,則條件“x2”的一個必要不充分條件為(A.x1B.x1C.x3D.x3【答案】A【變式2】下列各小題中，p是q的什么條件？(1)p:2x2,q:2x0;(2)p:0x3,q:1x3.【答案】(1)p是q的必要不充分條件；(2)p是q的充分不必要條件.【變式3】設(shè)條件甲為“x25x0"，條件乙為女25x60

8、"”那么甲是乙的(A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件【答案】B類型二：充要條件的探求與證明例3.設(shè)x、yR,求證：|xy|=|x|+|y|成立的充要條件是xy>0.【思路點撥】注意分清條件與結(jié)論.本題中條件：xy>Q結(jié)論：|xy|=|x|+|y|.要證明充要條件的成立，須從兩方面著手：條件結(jié)論；結(jié)論條件.【證明】(1)充分性：若xy=0,那么x=0,yWQxWQy=0;x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,當x>0,y>0時，|x+y|=

9、x+y=|x|+|y|.當x<0,y<0時，|x+y|=(x+y)=x+(y)=|x|+|y|.總之，當xyO時，有|x+y|=|x|+|y|.(2)必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、yCR,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x22xyy2x22xyy2,|xy|=xy,.xy>0.綜上可得|xy|=|x|+|y|成立的充要條件是xy>0.【總結(jié)升華】充要條件的證明關(guān)鍵是根據(jù)定義確定哪是已知條件，哪是結(jié)論，然后搞清楚充分性是證明哪一個命題，必要性是證明哪一個命題.判斷命題的充要關(guān)系有三種方法：(1)定義法;(2)等價法，即利用AB與BA;BA與AB;AB與

10、AB的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系(否定式)的命題，一般運用等價法(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷，若AB,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件.舉一反三：【變式1】已知a,b,c都是實數(shù)，證明ac<0是關(guān)于x的方程ax2bxc=0有一個正根和一個負根的充要條件(1)充分性：若ac<0,則A=b-4ac>0,方程ax2bxc=0有兩個相異實根,設(shè)為xi,x2,.ac<0,.xix2=£<0,即xi,x2的符號相反，即方程有一個正根和一個負根.a(2)必要性：若方程ax2bxc=0有一個正根和一個負根，設(shè)為xi,x2,且x

11、i>0,x2<0,貝xix2=c<0,ac<0.a綜上可得ac<0是方程ax2bxc=0有一個正根和一個負根的充要條件.【變式2】求關(guān)于x的方程ax22xi0至少有一個負的實根的充要條件(i)a=0時適合.(2)當aWO時，顯然方程沒有零根4aa0；若方程有兩異號的實根，則必須滿足若方程有兩個負的實根，則必須滿足44a0綜上知，若方程至少有一個負的實根，則a<4反之，若a01則方程至少有一個負的實根，因此，關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件是a<l類型三：充要條件的應(yīng)用例4.已知條件p:x2+ax+K0,條件q:x2-3x+2

12、<0,若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】2<a02【解析】解不等式x2-3x+2<0W1<x<2.A=xCR|x2+ax+1&0,B=x|lWW2p是q的充分不必要條件，pq,即AB,可知A或方程x2+ax+1=0的兩根要在區(qū)間1,2內(nèi)，0O,、1-2A=a4V0或2,行2s02.42a101a10【總結(jié)升華】解決這類參數(shù)的取值范圍問題，應(yīng)盡量運用集合法求解，即先化簡集合A、B,再由它們的因果關(guān)系，得到A與B的包含關(guān)系，進而得到相關(guān)不等式組，解之即可.舉一反三：【變式1】已知命題p:1cx1+cc0,命題q:x>7或xv1,并且p

13、是q的既不充分又不必要條件，則c的取值范圍是.【答案】0vc02【解析】命題p對應(yīng)的集合A=x|1c<x<1+c,c>0,同理，命題q對應(yīng)的集合B=x|x>7或xv1.因為p是q的既不充分又不必要條件，所以aQb或A不是B的子集且B不是1c11c1A的子集，所以c，或c，解得解得cA2,又c>0,綜上所1c71c7述得0vc02.【變式2已知p:|1上|2,q:x22x1m20(m0),若p是q的充分不必要條件,求m的取值范圍.【解析】由x22xm0(m0)解得1m又由|12I2解得2x10p是q的充分不必要條件，所以2,或11012,10解得m9【鞏固練習】一、

14、選擇題1 .設(shè)a、bR,那么ab=0的充要條件是()A.a=0且b=08 .a=0或bw0C. a=0或b=0D. aw0且b=02.命題p:(x1)(y2)=0;命題q:(x1)2+(y-2)2=0,則命題p是命題4的()A.充分不必要條件8 .必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件9 .已知a,b,c,d為實數(shù)，且cd,則“ab”是“acbd”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件.10 “b=c=0”是二次函數(shù)“y=ax2+bx+c”的圖象經(jīng)過原點的()A.充分不必要條件11 必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12 命題

15、p:不等式ax2+2ax+1>0的解集為R,命題q:0<a<1,則p是q成立的()A.充分不必要條件13 必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6 .設(shè)0x萬，貝U“xsin2x1”是“xsinx1”的()A.充分而不必要條件8 .必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件二、填空題9 .若xCR,則函數(shù)fx=ax2+bx+ca0的值恒為正的充要條件是2包為負的充要條件是:10 已知數(shù)列an,那么“對任意的nCN+,點照(5%),都在直線y=2x+1上”是“4為等差數(shù)列”的條件.11 用“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分

16、也不必要條件”填空：(1) “mwW是"mwW的;(2) “四邊形ABCD為平行四邊形”是“AB/CD”的；(3) “a>b,cd”是“acbd”的.10 .函數(shù)fx=ax2+bx+ca0的圖象關(guān)于y軸對稱的充要條件是.三、解答題11 .下列各題中，p是q的什么條件？(1) p:x=1;q：x1=Jx1.(2) p:1<x<5q：xA1且x05.(3) p:三角形是等邊三角形；q:三角形是等腰三角形.12 .(1)寫出x<2的一個充分不必要條件；(2)寫出x>1的一個必要不充分條件；(3)寫出1>2的一個充要條件.x13 .已知p:x28x20&g

17、t;0,q:x22x1a2>0,若p是q的充分而不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍.14 .不等式x2-2mx-1>0對一切1003都成立，求m的取值范圍.15 .證明：方程ax2+bx+c=0有一根為1的充要條件是a+b+c=0.【答案與解析】1 .【答案】C【解析】由ab=0,知a、b至少有一個為0.2 .【答案】B【解析】命題p：(x-1)(y2)=0?x=1或y=2.命題q：(x1)2+(y2)2=0?x=1且y=2.由q?p成立，而由p?q不成立.3 .【答案】B【解析】本小題主要考查不等式的性質(zhì)和充要條件的概念.由ac>bd變形為ab>cd,因為c>d,

18、所以cd>0,所以ab>0,即a>b,.ac>bd?a>b.而a>b并不能推出ac>bd.所以a>b是a-c>b-d的必要而不充分條件.故選B.4 .【答案】A【解析】若b=c=0,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c=ax2經(jīng)過原點，若二次函數(shù)y=ax2+bx+c過原點，則c=0,故選A.5 .【答案】B【解析】當a=0時，不等式ax2+2ax+1>0的解集為R;a0當9，即0<a<1時，不等式ax2+2ax+1>0的解集為R.4a24a0綜上，不等式ax2+2ax+1>0的解集為R時，0&<1,故選

19、B.6 .【答案】B【解析】本題考查了充要條件及不等式關(guān)系.0x一，0<sinx<120<sin2x<sinx<1,xsin2x<xsinx貝Uxsinx<1?xsin2x<1成立，故選B.7 .【答案】a>0且b24ac<0a<0且b2-4ac<08 .【答案】充分不必要【解析】點Pn(n,an)都在直線y=2x+1上，即an=2n+1,an為等差數(shù)歹！J,但是an是等差數(shù)列卻不一定就是an=2n+1.9 .【答案】(1)必要不充分條件(2)充分不必要條件(3)既不充分也不必要條件10 .【答案】b=0【解析】f(x)關(guān)于y軸對稱？50b011 .【解析】(1)充分不必要條件當x=1時，X1=瓜1成立；當x1=-X1時,x=1或x=2.(2)充要條件:一1<?xA1且x<5.(3)充分不必要條件V等邊三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等邊三角形.12 .【解析】(1)此題為開放題，只要寫出兇-2”<2的一個非空真子集即可，如x=0.(2)仿(1)只要寫出一個包含x|x>-1的集