]3[1]11方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、問題情境問題情境: :(1)y=x(1)y=x2 2+2x-3+2x-3與與x x2 2+2x-3=0+2x-3=0(2)y=x(2)y=x2 2+2x+1+2x+1與與x x2 2+2x+1=0+2x+1=0(3)y=x(3)y=x2 2+2x+3+2x+3與與x x2 2+2x+3=0+2x+3=0問題問題1 1：下列二次函數(shù)的圖象與下列二次函數(shù)的圖象與x x軸交點(diǎn)和相應(yīng)方軸交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根有何關(guān)系？程的根有何關(guān)系？ 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函數(shù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象方程的實(shí)數(shù)根方程的實(shí)數(shù)根x1=1,x2=3x1=x2=1無實(shí)數(shù)根無實(shí)

2、數(shù)根函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)(1,0)、(3,0)(1,0)無交點(diǎn)無交點(diǎn)x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函數(shù)函數(shù)y= ax2 +bx+c(a0)的圖象的圖象判別式判別式 =b24ac0=00函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與 x 軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)有兩個(gè)相等的有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根實(shí)數(shù)根x1 = x2沒有實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)沒有交點(diǎn)沒有交點(diǎn)兩個(gè)不相等兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)根x1 、x2問題問題2:2:二

3、次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c (a0)+bx+c (a0)的圖象與的圖象與x x軸交點(diǎn)軸交點(diǎn)和相應(yīng)一元二次方程和相應(yīng)一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根有何關(guān)系的根有何關(guān)系? ?結(jié)論結(jié)論: : 二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象與x x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根。就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根。 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。方程方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn)函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)有零點(diǎn)觀察

4、二次函數(shù)觀察二次函數(shù)f(x)=x22x3的圖象的圖象: 2,1 f(2)0 f(1)0 f(2)f(1)0（2,1）x1 x22x30的一個(gè)根的一個(gè)根 2,4 f(2)0 f(2)f(4)0（2,4）x3 x22x30的另一個(gè)根的另一個(gè)根.xy0132112123424觀察對(duì)數(shù)函數(shù)觀察對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=lgx的圖象的圖象: 0.5 , 1.5 f(0.5)0 f(0.5)f(1.5)0（0.5 , 1.5) x1 lgx=0的一個(gè)根的一個(gè)根.xy0121 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線不斷的一條曲線，并且有，并且有f(a)f(b)0，那

5、么，函，那么，函數(shù)數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a,b)，使得使得f(c)=0，這個(gè)，這個(gè)c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。結(jié)論結(jié)論例例abababab練習(xí)練習(xí)2 2、求函數(shù)、求函數(shù)y=xy=x2 2-5x+1-5x+1的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。變式：判斷函數(shù)變式：判斷函數(shù)y=xy=x3 3-5x+1-5x+1是否有零點(diǎn)。是否有零點(diǎn)。練一練練一練: :練習(xí)練習(xí)1 1、利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，、利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個(gè)根。有幾個(gè)根。(2)5x(2)5x2 2+2x=3x+2x=3x2 2+5+5(1)lnx-2=0(1)ln

6、x-2=0練習(xí)練習(xí)3 3、函數(shù)、函數(shù)f(xf(x)=x)=x3 3+x-1+x-1在下列哪個(gè)區(qū)間有零點(diǎn)（在下列哪個(gè)區(qū)間有零點(diǎn)（ ） A.(-2A.(-2，-1) B.(0-1) B.(0，1) C.(11) C.(1，2) D.(22) D.(2，3)3)練習(xí)練習(xí)4 4、求證：方程、求證：方程5x5x2 2-7x-1=0-7x-1=0的一個(gè)根在區(qū)間的一個(gè)根在區(qū)間(-1,0)(-1,0)內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)(1,2)內(nèi)。內(nèi)。變式：若函數(shù)變式：若函數(shù)y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b 上的圖象是上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)連續(xù)不斷的曲線

7、，且函數(shù)y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在(a,b(a,b) )內(nèi)有內(nèi)有零點(diǎn)，則零點(diǎn)，則f(a)f(a)f(bf(b) )的值的值( )( )A A、大于、大于0 B0 B、小于、小于0 C0 C、無法判斷、無法判斷 D D、等于零、等于零總結(jié)：總結(jié)：函數(shù)函數(shù)y=f(xy=f(x) )在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b 上的圖象是連續(xù)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：不斷的一條曲線：（1 1） f(a)f(a)f(bf(b)0 )0 函數(shù)函數(shù)y=f(xy=f(x) )在區(qū)間在區(qū)間(a,b(a,b) )內(nèi)有零點(diǎn)；內(nèi)有零點(diǎn)；（2 2）函數(shù)）函數(shù)y=f(xy=f(x) )在區(qū)間在區(qū)間(a,b(a,b)

8、 )內(nèi)有零點(diǎn)內(nèi)有零點(diǎn) f(a)f(a)f(bf(b)0)0。由表由表3-1和圖和圖3.13可知可知f(2)0，即即f(2)f(3)0,f(1.5)=2.8750,所以所以f(x)= x33x+5在區(qū)間在區(qū)間(1, 1.5)上有零點(diǎn)。又因?yàn)樯嫌辛泓c(diǎn)。又因?yàn)閒(x)是是(,）上的減函數(shù)，所以在區(qū)間上的減函數(shù)，所以在區(qū)間(1, 1.5)上有上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。且只有一個(gè)零點(diǎn)。xy0132112543f(x)= x33x+5作出函數(shù)的圖象，如下：作出函數(shù)的圖象，如下： 因?yàn)橐驗(yàn)閒(3)30,所以所以f(x)= 2x ln(x2)3在區(qū)間在區(qū)間(3,4)上有零點(diǎn)。又因?yàn)樯嫌辛泓c(diǎn)。又因?yàn)閒(x) =2x

9、ln(x2)3是是(2，）上的增函數(shù)，）上的增函數(shù)，所以在區(qū)間所以在區(qū)間(3,4)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。xy01321125-3-24f(x)=2x ln(x2)3作出函數(shù)的圖象，如下：作出函數(shù)的圖象，如下： 因?yàn)橐驗(yàn)閒(0)3.630,所以所以f(x)= ex1+4x4在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)。又因上有零點(diǎn)。又因?yàn)闉閒(x) = ex1+4x4是是( ，）上的增函數(shù)，所以在）上的增函數(shù)，所以在區(qū)間區(qū)間(0,1)上有且只有一個(gè)零上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。點(diǎn)。f(x)=ex1+4x4xy0132112123424作出函數(shù)的圖象，如下：作出函數(shù)的圖象，如下：x080155y24012043604020432 因?yàn)橐驗(yàn)閒(4)40, f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在區(qū)間在區(qū)間(4,3 )、