量子力學(xué)第四版卷一(曾謹(jǐn)言著)習(xí)題集答案解析

1、 第一章 量子力學(xué)的誕生1.1設(shè)質(zhì)量為的粒子在諧振子勢中運(yùn)動，用量子化條件求粒子能量E的可能取值。 提示：利用 解：能量為E的粒子在諧振子勢中的活動范圍為 （1）其中由下式?jīng)Q定：。 0 由此得 ， （2）即為粒子運(yùn)動的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。有量子化條件得 （3）代入（2），解出 （4）積分公式： 1.2設(shè)粒子限制在長、寬、高分別為的箱內(nèi)運(yùn)動，試用量子化條件求粒子能量的可能取值。解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內(nèi)作自由運(yùn)動。假設(shè)粒子與箱壁碰撞不引起內(nèi)部激發(fā)，則碰撞為彈性碰撞。動量大小不改變，僅方向反向。選箱的長、寬、高三個方向?yàn)檩S方向，把粒子沿軸三個方向的運(yùn)動分開處理。利用量子化條件，對于x方向，有即 （：一來

2、一回為一個周期）,同理可得， , ,粒子能量 1.3設(shè)一個平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為I，求能量的可能取值。提示：利用 是平面轉(zhuǎn)子的角動量。轉(zhuǎn)子的能量。 解：平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角（角位移）記為。它的角動量（廣義動量），是運(yùn)動慣量。按量子化條件 ，因而平面轉(zhuǎn)子的能量，1.4有一帶電荷質(zhì)量的粒子在平面內(nèi)運(yùn)動,垂直于平面方向磁場是B,求粒子能量允許值.(解)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運(yùn)動,設(shè)圓半徑是,線速度是,用高斯制單位，洛倫茲與向心力平衡條件是: (1)又利用量子化條件,令電荷角動量 轉(zhuǎn)角 (2)即 (3)由(1)(2)求得電荷動能=再求運(yùn)動電荷在磁場中的磁勢能,按電磁學(xué)通電導(dǎo)體在磁場中的勢能=,是電荷的

3、旋轉(zhuǎn)頻率, ,代入前式得運(yùn)動電荷的磁勢能= (符號是正的)點(diǎn)電荷的總能量=動能+磁勢能=E= ( )1.5，1.6未找到答案1.7（1）試用Fermat最小光程原理導(dǎo)出光的折射定律 （2）光的波動論的擁護(hù)者曾向光的微粒論者提出下述非難： 如認(rèn)為光是粒子，則其運(yùn)動遵守最小作用量原理 認(rèn)為則這將導(dǎo)得下述折射定律這明顯違反實(shí)驗(yàn)事實(shí)，即使考慮相對論效應(yīng)，則對自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，從一種媒質(zhì)到另一種媒質(zhì)E仍不變，仍有，你怎樣解決矛盾？（解）甲法：光線在同一均勻媒質(zhì)中依直線傳播，因此自定點(diǎn)A到定點(diǎn)B的路徑是兩段直線：光程設(shè)A，B到界面距離是a,b(都是常量)有又AB沿界面的投影c也是常數(shù)，因而

4、，存在約束條件： （2）求(1)的變分,而將,看作能獨(dú)立變化的,有以下極值條件 (3)再求（2）的變分 (3)與(4)消去和得 (5)乙法見同一圖,取為變分參數(shù),取0為原點(diǎn)，則有: 求此式變分,令之為零,有： 這個式子從圖中幾何關(guān)系得知,就是(5).(2)按前述論點(diǎn)光若看作微粒則粒子速度應(yīng)等于光波的群速度光程原理作,依前題相速,而,是折射率,是波前陣面更引起的,而波陣面速度則是相速度,這樣最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.前一非難是將光子的傳播速度看作相速度的誤解.1.8對高速運(yùn)動的粒子(靜質(zhì)量)的能量和動量由下式給出: (1) (2)試根據(jù)哈密頓量 (3)及正則方程式來檢驗(yàn)以上二式.由此

5、得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關(guān)系.計(jì)算速度并證明它大于光速.(解)根據(jù)(3)式來組成哈氏正則方程式組:,本題中,因而 (4)從前式解出(用表示)即得到(2).又若將(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度和它的物質(zhì)波的群速度間的關(guān)系.運(yùn)用德氏的假設(shè): 于(3)式右方, 又用于(3)式左方,遍除:按照波包理論，波包群速度是角頻率丟波數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)： =最后一式按照（4）式等于粒子速度，因而。又按一般的波動理論，波的相速度是由下式規(guī)定 （是頻率）利用（5）式得知 （6）故相速度（物質(zhì)波的）應(yīng)當(dāng)超過光速。最后找出和的關(guān)系，將（1）（2）相除，再運(yùn)用德氏波假設(shè)：， （7）補(bǔ)充：1.1

6、設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維無限深勢阱中運(yùn)動， 試用de Broglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。解：據(jù)駐波條件，有 （1）又據(jù)de Broglie關(guān)系 （2）而能量 （3） 1 試用量子化條件,求諧振子的能量諧振子勢能 (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化條件式:在量子化條件中,令為振子動量, 為振子坐標(biāo),設(shè)總能量E則 代入公式得: 量子化條件的積分指一個周期內(nèi)的位移,可看作振幅的四倍,要決定振幅,注意在A或B點(diǎn)動能為0,(1)改寫為: (2)積分得:遍乘得乙法也是利用量子化條件,大積分變量用時間而不用位移,按題意振動角頻率為,直接寫出位移,用的項(xiàng)表示:求微分:

7、 (4)求積分: (5)將(4)(5)代量子化條件:T是振動周期,T=,求出積分,得 正整數(shù)#2用量子化條件,求限制在箱內(nèi)運(yùn)動的粒子的能量,箱的長寬高分別為 (解)三維問題,有三個獨(dú)立量子化條件,可設(shè)想粒子有三個分運(yùn)動,每一分運(yùn)動是自由運(yùn)動.設(shè)粒子與器壁作彈性碰撞,則每碰一次時,與此壁正交方向的分動量變號(如),其余分動量不變,設(shè)想粒子從某一分運(yùn)動完成一個周期,此周期中動量與位移同時變號,量子化條件: (1) (2) (3)都是常數(shù),總動量平方總能量是: =但 正整數(shù).#3 平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為,求能量允許值.(解)解釋題意:平面轉(zhuǎn)子是個轉(zhuǎn)動體,它的位置由一坐標(biāo)（例如轉(zhuǎn)角）決定,它的運(yùn)動是一種剛體的平面平行運(yùn)動.例如雙原子分子的旋轉(zhuǎn).按剛體