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1、第7章 彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析(a)習(xí)題7-1圖 71 桁架結(jié)構(gòu)受力如圖示,其上所有桿的橫截面均為20mm×50mm的矩形。試求桿CE和桿DE橫截面上的正應(yīng)力。 解:圖(a)中,(1) 截面法受力圖(a) ,(2) FCE = 15 kN ,(3) (1)代入(3),得FDE = 50 kN MPa MPa(a)習(xí)題7-2圖 72 圖示直桿在上半部?jī)蓚?cè)面受有平行于桿軸線的均勻分布載荷,其集度= 10kN/m,在自由端D處作用有集中呼FP = 20 kN。已知桿的橫截面面積A = 2.0×10-4m2,l = 4m。試求: 1A、B、E截面上的正應(yīng)力; 2桿內(nèi)橫截面上的
2、最大正應(yīng)力,并指明其作用位置。 解:由已知,用截面法求得 FNA = 40 kN FNB = 20 kN FNE = 30 kN (1)MPa MPa MPa (2)MPa(A截面) 73 圖示銅芯與鋁殼組成的復(fù)合材料桿,軸向拉伸載荷FP通過(guò)兩端的剛性板加在桿上。試: 1寫出桿橫截面上的正應(yīng)力與FP、d、D、Ec、Ea的關(guān)系式;習(xí)題7-3圖 2若已知d = 25mm,D = 60mm;銅和鋁的單性模量分別為Ec = 105GPa和Ea = 70GPa,F(xiàn)P = 171 kN。試求銅芯與鋁殼橫截面上的正應(yīng)力。 解:1變形諧調(diào): (1) (2) 2 MPa MPa 74 圖示由鋁板鋼板組成的復(fù)合材
3、料柱,縱向截荷FP通過(guò)剛性平板沿著柱的中心線施加在其上。試: 1導(dǎo)出復(fù)合材料柱橫截面上正應(yīng)力與FP、b0、b1、h和Ea、Es之間的關(guān)系式;習(xí)題7-4圖 2已知FP = 385kN;Ea = 70GPa,Es = 200GPa;b0 = 30mm,b1 = 20mm,h = 50mm。求鋁板與鋼板橫截面上的最大正應(yīng)力。 解:變形諧調(diào): (1) (2) 1 2 MPa(壓) MPa(壓) 75 從圓木中鋸成的矩形截面梁,受力及尺寸如圖所示。試求下列兩種情形下h與b的比值: 1橫截面上的最大正應(yīng)力盡可能??; 2曲率半徑盡可能大。習(xí)題7-6圖習(xí)題7-5圖 解:1 (正應(yīng)力盡可能小) 2 ,得 (曲率
4、半徑盡可能大) 76 梁的截面形狀為正方形去掉上、下角,如圖所示。梁在兩端力偶Mz作用下發(fā)生彎曲。設(shè)正方形截面時(shí),梁內(nèi)最大正應(yīng)力為;去掉上、下角后,最大正應(yīng)力變?yōu)?,試求?1k值與h值之間的關(guān)系; 2為盡可能小的h值,以及這種情形下的k值。 解:, (1) ,h = 0(舍去), 代入(1): 77 工字形截面鋼梁,已知梁橫截面上只承受Mz = 20 kN·m一個(gè)內(nèi)力分量,Iz = 11.3×106mm4,其他尺寸如圖所示。試求橫截面中性軸以上部分分布力系沿x方向的合力。習(xí)題7-7圖 解: kN 即上半部分布力系合力大小為143 kN(壓力),作用位置離中心軸y = 70m
5、m處,即位于腹板與翼緣交界處。習(xí)題7-8圖 78 圖示矩形截面(b·h)直梁,在彎矩Mz作用的Oxy平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲,且不超出彈性范圍,假定在梁的縱截面上有y方向正應(yīng)力存在,且沿梁長(zhǎng)均勻分布。試: 1導(dǎo)出的表達(dá)式; 2證明:,為中性面的曲率半徑。 解:1先求表達(dá)式: (a) 即 ,() 即 (a)- 2由(a)式,令,得y = 0,則 (b) 79 圖示鋼管和鋁管牢固地粘成復(fù)合材料管,在兩端力偶Mz作用下發(fā)生平面彎曲,試: 1導(dǎo)出管橫截面上正應(yīng)力與Mz、D1、D2、D3和鋼的Es、鋁的Ea之間的關(guān)系式; 2已知D1 = 20mm,D2 = 36mm,D3 = 44mm;Mz = 8
6、00N·m;Es = 210GPa,Ea = 70GPa。求鋼管和鋁和鋁管橫截面上的最大正應(yīng)力。習(xí)題7-9圖 解:靜力平衡: (1) 變形諧調(diào):得 (2) ,(3) 由(2)(4) 代入(1),得 (5) (6) 1 ,() ,() 2 MPa MPa 710 由塑料制成的直梁,在橫截面上只有Mz作用,如圖所示。已知塑料受拉和受壓時(shí)的彈性模量分別為Et和Ec,且已知Ec = 2Et;Mz = 600N·m。試求: 1梁內(nèi)最大拉、壓正應(yīng)力;習(xí)題7-10圖 2中性軸的位置。 解:根據(jù)平面假設(shè),應(yīng)變沿截面高度作直線變化 Ec = 2Et, 沿截面高度直線的斜率不同 中性軸不過(guò)截面
7、形心。 1確定中性軸位置。設(shè)拉壓區(qū)高度分別為ht、hc 由,得:(a)ht 即 (1) 又(2) 由(1)、(2),得 即 (中性軸的位置) 2 其中 MPa(壓)習(xí)題7-11圖 MPa(拉) 711 試求圖a、b中所示的二桿橫截面上最大正應(yīng)力的比值。 解:(a)為拉彎組合 (b)為單向拉伸 習(xí)題7-12圖 712 橋墩受力如圖所示,試確定下列載荷作用下圖示截面ABC上A、B兩點(diǎn)的正應(yīng)力: 1在點(diǎn)1、2、3處均有40 kN的壓縮載荷; 2僅在1、2兩點(diǎn)處各承受40 kN的壓縮載荷; 3僅在點(diǎn)1或點(diǎn)3處承受40 kN的壓縮載荷。解:Mpa MPa 1 MPa 2 MPa 3在點(diǎn)1加載: MPa
8、MPa 由對(duì)稱性,得 在3點(diǎn)加載:MPa,MPa 713 圖示側(cè)面開(kāi)有空洞的正方形截面管,管壁厚= 5mm,管在兩端承受軸向載荷FP。已知開(kāi)孔處截面的形心為C,形心主慣性矩m4,F(xiàn)p = 25kN。試求: 1開(kāi)孔處橫截面上點(diǎn)F處的正應(yīng)力;習(xí)題7-13圖 2最大正應(yīng)力。 解:kN N·m m2 1 MPa2 MPa(在y正向最大位置)習(xí)題7-14圖 714 圖示矩形截面桿在自由端承受位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的縱向載荷FP,已知FP = 60kN。試求: 1橫截面上點(diǎn)A的正應(yīng)力取最小值時(shí)的截面高度h; 2在上述h值下點(diǎn)A的正應(yīng)力值。 解: (1) 1令, h = 3d = 75mm(2) 2由(
9、1)、(2)式得: MPa習(xí)題7-15圖 715 圖中所示為承受縱向載荷的人骨受力簡(jiǎn)圖,假定實(shí)心骨骼為圓截面。試: 1確定截面BB上的應(yīng)力分布; 2假定骨骼中心部分(其直徑為骨骼外徑的一半)由海綿狀骨質(zhì)所組成,且忽略海綿狀承受應(yīng)力的能力,確定截面BB上的應(yīng)力分布;(b) 3確定1、2兩種情況下,骨骼在截面BB上最大壓應(yīng)力之比。(a)(c)OB(d)O 解:1MPa MPa MPa MPa 沿y方向應(yīng)力分布如圖(c)所示,中性軸為zc。2 MPa MPa Mpan MPa zC為中性軸,沿y軸應(yīng)力分布如圖(d) 3 ,或(a)習(xí)題7-16圖 716 正方形截面桿一端固定,另一端自由,中間部分開(kāi)有
10、切槽。桿自由端受有平行于桿軸線的縱向力FP。若已知FP =1kN,桿各部分尺寸示于圖中。試求桿內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力,并指出其作用位置。 解:m2 m3 m3 FNx = 1 kN N·m N·m MPa 最大正應(yīng)力作用位置位于中間開(kāi)有切槽的橫截面的左上角點(diǎn)A,如圖(a)所示。習(xí)題7-17圖 717 鋼制立柱上承受縱向載荷FP如圖所示。現(xiàn)在A、B、D三處測(cè)得x方向的正應(yīng)變,。若已知鋼的彈性模量E = 200GPa。試求: 1力FP的大?。?2加力點(diǎn)在Oyz坐標(biāo)中的坐標(biāo)值。 解:m2 m3 m3 (1) (2) (3) (4) 由(1)、(4), 即 (5) 由(2)、(4)
11、,(6)習(xí)題7-18圖 由(3)、(4),(7) 解(5)、(6)、(7):mm mm FP = 240 kN 718 矩形截面柱受力如圖所示,試證明: 1當(dāng)鉛垂力FP作用在下面方程所描述的直線上的任意點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A的正應(yīng)力等于零:(a) 2為了使橫截面的所有點(diǎn)上都不產(chǎn)生拉應(yīng)力,其作用點(diǎn)必須位于由類似上述方程所描述的直線圍成的區(qū)域內(nèi)(圖中虛直線圍成的區(qū)域)。 解:1寫出K點(diǎn)壓彎組合變形下的正應(yīng)力(圖a)。 (b) (1) 將代入(1)式,并使正應(yīng)力為零,得FP所作用的直線方程 整理得: 2若FP作用點(diǎn)確定,令(1)式等于零,得截面的中性軸方程(圖b):(c) (2) 中性軸nn的截距:(3) 說(shuō)明
12、中性軸nn,與力FP作用點(diǎn)位于形心C的異側(cè),說(shuō)明nn劃分為FP作用下的區(qū)域?yàn)閴簯?yīng)力區(qū),另一區(qū)域是拉應(yīng)力區(qū)(見(jiàn)圖b)。 如果將(2)改寫為(4) 并且把中心軸上一點(diǎn)(y, z)固定,即中性軸可繞該點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(從11轉(zhuǎn)到22) 由(4)式,F(xiàn)P作用必沿直線移動(dòng)。由(3)式,22直線的截距值大于11直線的。所以,當(dāng)中性軸11順時(shí)針轉(zhuǎn)向中性軸22時(shí),F(xiàn)P作用點(diǎn)FP1、FP2沿直線,并繞形心也順時(shí)針轉(zhuǎn)向。(d) 如果中性軸繞A點(diǎn)從11順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)至33(中性軸始終在截面外周旋轉(zhuǎn)),則截面內(nèi)就不產(chǎn)生拉應(yīng)力,將A坐標(biāo)代入(4)式:,即FP沿該直線移動(dòng)。從FP1FP2FP3,反之鉛垂力FP從FP1FP2FP3
13、直線移動(dòng),截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力,同理過(guò)B、F、D分別找另三條FP移動(dòng)的直線。這四條直線所圍區(qū)域?yàn)榻孛婧诵?。鉛垂壓力在截面核心內(nèi)作用,則橫截面上不會(huì)有拉應(yīng)力。 719 矩形截面懸臂梁受力如圖所示,其中力FP的作用線通過(guò)截面形心。試: 1已知FP、b、h、l和,求圖中虛線所示截面上點(diǎn)a的正應(yīng)力; 2求使點(diǎn)a處正應(yīng)力為零時(shí)的角度值。習(xí)題7-19圖 解:, , 令,則, 720 矩形截面柱受力如圖所示。試:習(xí)題7-20圖 1已知= 5°,求圖示橫截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力。 2求使橫截面上點(diǎn)b正應(yīng)力為零時(shí)的角度值。 解: , 1 MPa MPa MPa習(xí)題7-21圖 2 ,= 4.76
14、6; 721 交通信號(hào)燈柱上受力如圖所示。燈柱為管形截面,其外徑D = 200mm,內(nèi)徑d = 180mm。若已知截面A以上燈柱的重為4kN。試求橫截面上點(diǎn)H和K處的正應(yīng)力。 解:,=22.62° N N·m MPa習(xí)題7-22圖 MPa 722 No. 25a普通熱軋工字鋼制成的立柱受力如圖所示。試求圖示橫截面上a、b、c、d四點(diǎn)處的正應(yīng)力。解:m2 m3 m3 kN N·m N·m(a) MPa MPa MPa MPa MPa Mpa習(xí)題7-23圖 723 承受集度為q = 2.0kN/m均布載荷的木制簡(jiǎn)支梁,其截面為直徑d = 160mm的半圓形。
15、梁斜置如圖所示。試求梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。(a) 解:, N·m(b) m4 m4 (c) yC MPa(左下角A點(diǎn)) 最大壓應(yīng)力點(diǎn)應(yīng)在CD弧間,設(shè)為 (1) ,得: 代回(1)式, MPa習(xí)題7-24圖 724 簡(jiǎn)支梁的橫截面尺寸及梁的受力均如圖所示。試求N截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力及最大拉應(yīng)力。 解:kN·m MPa(壓應(yīng)力) MPa(拉應(yīng)力) MPa(拉應(yīng)力) MPa(拉應(yīng)力) 725 根據(jù)桿件橫截面正應(yīng)力分析過(guò)程,中性軸在什么情形下才會(huì)通過(guò)截面形心?試分析下列答案中哪一個(gè)是正確的。 (A)My = 0或Mz = 0,; (B)My = Mz = 0,; (
16、C)My = 0,Mz = 0,; (D)或,。 正確答案是 D 。 解:正如教科書P168第2行所說(shuō),只要,則其中性軸一定不通過(guò)截面形心,所以本題答案選(D)。 726 關(guān)于中性軸位置,有以下幾種論述,試判斷哪一種是正確的。 (A)中性軸不一定在截面內(nèi),但如果在截面內(nèi)它一定通過(guò)形心; (B)中性軸只能在截面內(nèi)并且必須通過(guò)截面形心; (C)中性軸只能在截面內(nèi),但不一定通過(guò)截面形心; (D)中性軸不一定在截面內(nèi),而且也不一定通過(guò)截面形心。 正確答案是 D 。 解:本題解答理由可參見(jiàn)原書P167倒數(shù)第1行,直至P168頁(yè)第2行止,所以選(D)。 727 關(guān)于斜彎曲的主要特征有四種答案,試判斷哪一種是正確的。 (A),中性軸與截面形心主軸不一致,且不通過(guò)截面形心; (B),中性軸與截面形心主軸不一致,但通過(guò)截面形心; (C),中性軸與截面形心主軸平
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