第七章小波變換wavelet

1、2022年5月14日第7章 小波與小波變換1/46第7章 小波與小波變換目錄 7.1 小波介紹小波介紹7.1.1 小波簡史7.1.2 小波概念7.1.3 小波分析7.1.4 小波定義7.2 哈爾函數哈爾函數7.2.1 哈爾基函數7.2.2 哈爾小波函數7.2.3 函數的規(guī)范化7.2.4 哈爾基的結構7.3 哈爾小波變換哈爾小波變換7.4 規(guī)范化算法規(guī)范化算法7.5 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換7.5.1 二維小波變換舉例7.5.2 二維小波變換方法2022年5月14日第7章 小波與小波變換2/467.1 小波介紹小波介紹n小波小波(wavelet)是什么是什么 在有限時間范圍內變化且其平均

2、值為零的數學函數n具有有限的持續(xù)時間和突變的頻率和振幅n在有限的時間范圍內，它的平均值等于零2022年5月14日第7章 小波與小波變換3/467.1 小波介紹小波介紹(續(xù)續(xù)1)部分小波n許多數縮放函數和小波函數以開發(fā)者的名字命名，例如，nMoret小波函數是Grossmann和Morlet在1984年開發(fā)的ndb6縮放函數和db6小波函數是Daubechies開發(fā)的圖7-1 正弦波與小波部分小波2022年5月14日第7章 小波與小波變換4/467.1 小波介紹小波介紹(續(xù)續(xù)2)1807: Joseph Fourier n傅立葉理論指出，一個信號可表示成一系列正弦和余弦函數之和，叫做傅立葉展開式

3、n小波簡史小波簡史小波變換 (wavelet transform)是什么n老課題：函數的表示方法 n新方法：FourierHaarwavelet transform 2022年5月14日第7章 小波與小波變換5/467.1 小波介紹小波介紹(續(xù)續(xù)3)where cossinj tetjt( )( )( )( )ej tj tFf t edtf tF12n只有頻率分辨率而沒有時間分辨率n可確定信號中包含哪些頻率的信號，但不能確定具有這些頻率的信號出現在什么時候2022年5月14日第7章 小波與小波變換6/467.1 小波介紹小波介紹(續(xù)續(xù)4)1909: Alfred HaarnAlfred Ha

4、ar對在函數空間中尋找一個與傅立葉類似的基非常感興趣。1909年他發(fā)現并使用了小波，后來被命名為哈爾小波(Haar wavelets)2022年5月14日第7章 小波與小波變換7/467.1 小波介紹小波介紹(續(xù)續(xù)5)1945: Gaborn開發(fā)了STFT (short time Fourier transform)( ,)( )where: ( )signal ( )= windo(wing )functionj tgSTFTs tedts tg ttSTFT的時間-頻率關系圖 2022年5月14日第7章 小波與小波變換8/467.1 小波介紹小波介紹(續(xù)續(xù)6)1980：Morletn20世

5、紀70年代，在法國石油公司工作的年輕地球物理學家Jean Morlet提出小波變換 (wavelet transform，WT)的概念。n 20世紀80年代, 開發(fā)了連續(xù)小波變換 (continuous wavelet transform， CWT)1986：Y.Meyern法國科學家Y.Meyer與其同事創(chuàng)造性地構造出具有一定衰減性的光滑函數，用于分析函數n用縮放(dilations)與平移(translations)均為2 j(j0的整數)的倍數構造了L2(R)空間的規(guī)范正交基，使小波分析得到發(fā)展2022年5月14日第7章 小波與小波變換9/467.1 小波介紹小波介紹(續(xù)續(xù)7)1988：

6、Mallat算法n法國科學家Stephane Mallat提出多分辨率概念，從空間上形象說明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的構造方法和快速算法，稱為Mallat算法1n該算法統(tǒng)一了在此之前構造正交小波基的所有方法，其地位相當于快速傅立葉變換在經典傅立葉分析中的地位2022年5月14日第7章 小波與小波變換10/467.1 小波介紹小波介紹(續(xù)續(xù)8)小波理論與工程應用nInrid Daubechies于1988年最先揭示了小波變換和濾波器組(filter banks)之間的內在關系2，使離散小波分析變成為現實nRonald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科學

7、家在把小波理論引入到工程應用方面做出了極其重要貢獻n在信號處理中，自從Stephane Mallat和Inrid Daubechies發(fā)現濾波器組與小波基函數有密切關系之后，小波分析在信號(如聲音和圖像)處理中得到極其廣泛的應用2022年5月14日第7章 小波與小波變換11/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析n小波分析小波分析/小波變換小波變換變換目的是獲得時間和頻率域之間的相互關系小波變換n對一個函數在空間和時間上進行局部化的一種數學變換n通過平移母小波(mother wavelet)獲得信號的時間信息通過縮放母小波的寬度(或稱尺度)獲得信號的頻率特性n對母小波的平移和縮放操作是為

8、計算小波的系數，這些系數代表局部信號和小波之間的相互關系n對比傅立葉變換n提供了頻率域的信息，但丟失了時間域的局部化信息小波分析中常用的三個基本概念n連續(xù)小波變換n離散小波變換n小波重構2022年5月14日第7章 小波與小波變換12/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)1)n連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform，CWT)傅立葉分析n用一系列不同頻率的正弦波表示一個信號n一系列不同頻率的正弦波是傅立葉變換的基函數小波分析n用母小波通過移位和縮放后得到的一系列小波表示一個信號n一系列小波可用作表示一些函數的基函數凡能用傅立葉分析的函數都可

9、用小波分析n小波變換可理解為用經過縮放和平移的一系列函數代替傅立葉變換用的正弦波用不規(guī)則的小波分析變化激烈的信號比用平滑的正弦波更有效，或者說對信號的基本特性描述得更好2022年5月14日第7章 小波與小波變換13/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)2)CWT的變換過程示例，見圖7-3，可分如下5步n小波 (t)和原始信號f(t)的開始部分進行比較 n計算系數C該部分信號與小波的近似程度；C值越高表示信號與小波相似程度越高n小波右移k得到的小波函數為 (t-k) ，然后重復步驟1和2，直到信號結束 n擴展小波，如擴展一倍，得到的小波函數為 (t/2) 1.重復步驟14 圖7-3

10、 連續(xù)小波變換的過程2022年5月14日第7章 小波與小波變換14/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)3)連續(xù)小波變換用下式表示(,)( ) (, )C scale positionf tscale position t dtn該式含義：小波變換是信號f(t)與被縮放和平移的小波函數之積在信號存在的整個期間里求和nCWT變換的結果是許多小波系數C ，這些系數是縮放因子(scale)和位置(position)的函數n離散小波變換離散小波變換(discrete wavelet transform，DWT) 用小波的基函數(basis functions)表示一個函數的方法n小波的基

11、函數序列或稱子小波(baby wavelets)函數是由單個小波或稱為母小波函數通過縮放和平移得到的n縮放因子和平移參數都選擇2j (j 0的整數)的倍數，這種變換稱為雙尺度小波變換(dyadic wavelet transform)2022年5月14日第7章 小波與小波變換15/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)4)圖7-5 離散小波變換分析圖DWT得到的小波系數、縮放因子和時間關系，見圖7-5n圖(a)是20世紀40年代使用Gabor開發(fā)的短時傅立葉變換(short time Fourier transform，STFT)得到的n圖(b)是20世紀80年代使用Morlet開

12、發(fā)的小波變換得到的2022年5月14日第7章 小波與小波變換16/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)5)執(zhí)行DWT的有效方法n用Mallat在1988年開發(fā)的濾波器，稱為Mallat算法1nDWT的概念見圖7-6。S表示原始的輸入信號；通過兩個互補的濾波器產生A和D兩個信號圖7-6 雙通道濾波過程nA表示信號的近似值(approximations)，大的縮放因子產生的系數，表示信號的低頻分量nD表示信號的細節(jié)值(detail)，小的縮放因子產生的系數，表示信號的高頻分量2022年5月14日第7章 小波與小波變換17/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)6)小波分解

13、樹與小波包分解樹n由低通濾波器和高通濾波器組成的樹n原始信號通過一對濾波器進行的分解叫做一級分解。信號的分解過程可以迭代，即可進行多級分解。n小波分解樹(wavelet decomposition tree)n用下述方法分解形成的樹：對信號的高頻分量不再繼續(xù)分解，而對低頻分量連續(xù)進行分解，得到許多分辨率較低的低頻分量，見圖7-7n小波包分解樹(wavelet packet decomposition tree) n用下述方法分解形成的樹：不僅對信號的低頻分量連續(xù)進行分解，而且對高頻分量也進行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量，見圖7-8 20

14、22年5月14日第7章 小波與小波變換18/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)7)圖7-7 小波分解樹2022年5月14日第7章 小波與小波變換19/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)8)圖7-8 三級小波包分解樹1332 SAAADDADDD2022年5月14日第7章 小波與小波變換20/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)9)圖7-9 降采樣過程注意：在使用濾波器對真實的數字信號進行變換時，得到的數據將是原始數據的兩倍n例如，如果原始信號的數據樣本為1000個，通過濾波之后每一個通道的數據均為1000個，總共為2000個。于是,根據尼奎斯特(N

15、yquist)采樣定理就提出了采用降采樣(downsampling)的方法，即在每個通道中每兩個樣本數據中取一個，得到的離散小波變換的系數(coefficient)分別用cD和cA表示，見圖7-9 2022年5月14日第7章 小波與小波變換21/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)10)n小波重構小波重構重構概念n把分解的系數還原成原始信號的過程叫做小波重構(wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，數學上叫做逆離散小波變換(inverse discrete wavelet transform，IDWT)兩個過程n在使用濾波器做小波變換時包含濾波

16、和降采樣(downsampling)兩個過程，在小波重構時也包含升采樣(upsampling)和濾波兩個過程，見圖7-10n升采樣是在兩個樣本數據之間插入“0”，目的是把信號的分量加長，其過程見圖7-11 2022年5月14日第7章 小波與小波變換22/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)11)圖7-10 小波重構方法圖7-11 升采樣的方法2022年5月14日第7章 小波與小波變換23/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)12)n重構濾波器重構濾波器濾波器關系到能否重構出滿意的原始信號。在信號的分解期間，降采樣會引進畸變，這種畸變叫做混疊(aliasing)。這就

17、需要在分解和重構階段精心選擇關系緊密但不一定一致的濾波器才有可能取消這種混疊低通分解濾波器(L)和高通分解濾波器(H)以及重構濾波器(L和H)構成一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)叫做正交鏡像濾波器(quadrature mirror filters，QMF)系統(tǒng)，如圖7-12所示 圖7-12 正交鏡像濾波器系統(tǒng)2022年5月14日第7章 小波與小波變換24/467.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)13)n小波變換演示小波變換演示網址：.pl/maziarz/Wavelets/要安裝下面的插件Macromedia Shockwave plug-in該演

18、示有聲音解說2022年5月14日第7章 小波與小波變換25/467.2 哈爾函數哈爾函數n7.2.1 哈爾基函數哈爾基函數 基函數是一組線性無關的函數，可以用來構造任意給定的信號，如用基函數的加權和表示哈爾基函數(Haar basis function) n定義在半開區(qū)間0，1)上的一組分段常值函數(piecewise-constant function)集n生成矢量空間V0的常值函數000101: ( )0 xVx其他2022年5月14日第7章 小波與小波變換26/467.2 哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)1)n生成矢量空間V1的常值函數110100.5: ( ) ,0 xVx其他1110.51(

19、)0 xx其他 2022年5月14日第7章 小波與小波變換27/467.2 哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)2)n生成矢量空間V2的常值函數012322221,01/41,1/41/2( )( )0,0,1,1/23/41,3/41( )( )0,0,xxxxxxxx其他其他其他其他n可按照以上方法繼續(xù)定義哈爾基函數和由它生成的矢量空間Vj，2022年5月14日第7章 小波與小波變換28/467.2 哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)3)n為了表示矢量空間中的矢量，每一個矢量空間都需要定義一個基(basis)，哈爾基定義為101( )0 xx其他n為生成矢量空間而定義的基函數也叫做尺度函數(scaling func

20、tion)。哈爾基尺度函數定義為( )(2),0,1,(21) jjjixxiin其中，j為尺度因子，使函數圖形縮小或放大 i為平移參數，使函數沿x軸方向平移2022年5月14日第7章 小波與小波變換29/467.2 哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)4) n7.2.2 哈爾小波哈爾小波(函數函數)最古老和最簡單的小波，定義為101/2( )11/210 xxx 當當其他00101/2( )11/210 xxx 其他生成矢量空間W0的哈爾小波2022年5月14日第7章 小波與小波變換30/467.2 哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)5)生成矢量空間W1的哈爾小波10101/4( )1 1/41/20 xxx 其他1

21、111/23/4( )13/41/20 xxx 其他 2022年5月14日第7章 小波與小波變換31/467.2 哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)6)生成矢量空間W2的哈爾小波22012223101/812/83/8( )1 1/82/8( )13/84/80014/85/816/87/8( )15/86/8( )17/8100 xxxxxxxxxxxx 其他其他其他其他2022年5月14日第7章 小波與小波變換32/467.3 哈爾小波變換哈爾小波變換 n求有限信號的均值和差值求有限信號的均值和差值例例7. 1 假設有一幅分辨率只有4個像素P0、P1、P2、P3的一維圖像，對應的像素值或稱圖像位置的系

22、數分別為 9 7 3 5計算該圖像的哈爾小波變換系數n步驟步驟1：求均值(averaging)。計算相鄰像素對的平均值，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素數目變成了2個，即新的圖像的分辨率是原來的1/2，相應的像素值為 8 4 2022年5月14日第7章 小波與小波變換33/467.3 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)1)n步驟步驟2：求差值(differencing)。為能從2個像素組成的圖像重構由4個像素組成的原始圖像，就需要存儲一些圖像的細節(jié)系數(detail coefficient)n方法是把像素對的第一個像素值減去這個像素對的平均值，或者使用這個像素對的差值除以2 原始圖像用兩個均

23、值和兩個細節(jié)系數表示為 8 4 1 -1n步驟步驟3：重復步驟1和2，把由第一步分解得到的圖像進一步分解成分辨率更低的圖像和細節(jié)系數。其結果，整幅圖像表示為 6 2 1 -12022年5月14日第7章 小波與小波變換34/467.3 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)2)把由4個像素組成的一幅圖像用一個平均像素值和三個細節(jié)系數表示，這個過程稱為哈爾小波變換(Haar wavelet transform)，也稱哈爾小波分解(Haar wavelet decomposition)。這個概念可以推廣到使用其他小波基的變換特點：(1) 變換過程中沒有丟失信息，因為能夠從所記錄的數據中重構出原始圖像。(2)

24、 對這個給定的變換，可從所記錄的數據中重構出各種分辨率的圖像。(3) 通過變換之后產生的細節(jié)系數的幅度值比較小，為圖像壓縮提供了一種途徑，如去掉微不足道的系數分辨率平均值細節(jié)系數49 7 3 528 41 -1162表7-1 哈爾變換過程2022年5月14日第7章 小波與小波變換35/467.3 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)3)n哈爾小波變換哈爾小波變換在例7.1中的求均值和差值的過程實際上就是一維小波變換的過程，現在用數學方法重新描述哈爾小波變換nI(x)圖像用V2中的哈爾基表示22220123( )9( )7( )3( )5( ) I xxxxx2022年5月14日第7章 小波與小波變換

25、36/467.3 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)4)nI(x)圖像用V1和W1中的函數表示生成V1矢量空間的基函數為 和 ，生成矢量空間W1的小波函數為 和 ，I(x)可表示為01( )x11( )x10( )x11( ) x 11111111001 10011( )( )( )( )( )I xcxcxdxdx2022年5月14日第7章 小波與小波變換37/467.3 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)5)nI(x)圖像用V0、W0和 W1中的函數表示生成矢量空間V0的基函數為 ，生成矢量空間W0的小波函數為 ，生成矢量空間W1的小波函數為 和 ， I(x)可表示為00( ) x00( )x10

26、( )x11( ) x0000111100000011( )( )( )( )( )I xcxdxdxdx2022年5月14日第7章 小波與小波變換38/467.5 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換n用小波對圖像進行變換的兩種方法用小波對圖像進行變換的兩種方法標準分解(standard decomposition)n首先使用一維小波對圖像每一行的像素值進行變換，產生每一行像素的平均值和細節(jié)系數，然后使用一維小波對這個經過行變換的圖像的列進行變換，產生這個圖像的平均值和細節(jié)系數 n分解的過程如下： 2022年5月14日第7章 小波與小波變換39/467.5 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換(續(xù)續(xù)

27、1)圖7-28 圖像的標準分解方法 2022年5月14日第7章 小波與小波變換40/467.5 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換(續(xù)續(xù)2)非標準分解(nonstandard decomposition)n用一維小波交替地對每一行和每一列像素值進行變換。n對每一行計算像素對的均值和差值，然后對每一列計算像素對的均值和差值n對包含均值的1/4像素計算行和列的均值和差值，依此類推n過程如下：2022年5月14日第7章 小波與小波變換41/467.5 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換(續(xù)續(xù)3)圖7-29 圖像的非標準分解方法 2022年5月14日第7章 小波與小波變換42/467.5 二維哈爾小波變換

28、二維哈爾小波變換(續(xù)續(xù)4)(a) 原始圖像(b) 1/4分辨率圖像(c) 1/16分辨率圖像(d) 1/64分辨率圖像圖7-26 使用小波分解產生多種分辨率圖像2022年5月14日第7章 小波與小波變換43/467.5 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換(續(xù)續(xù)5)(c) 1/16分辨率圖像(d) 1/64分辨率圖像灰度圖2022年5月14日第7章 小波與小波變換44/46第第7章章 小波與小波變換小波與小波變換n參考文獻和站點參考文獻和站點Mallat, S. G.，A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation, IEEE Trans. PAMI, vol. 11, no. 7, July 1989, pp. 674-693Daubechies, I. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets, Comm. Pu