高等數(shù)學(xué)課件：重積分的計(jì)算及相關(guān)問題習(xí)題課

1、高等數(shù)學(xué) 習(xí)題課習(xí)題課 重積分的計(jì)算及相關(guān)問題重積分的計(jì)算及相關(guān)問題高等數(shù)學(xué)基本內(nèi)容基本內(nèi)容重積分重積分三重積分三重積分二重積分二重積分應(yīng)用應(yīng)用幾何幾何：面積、體積、曲面面積：面積、體積、曲面面積物理物理：質(zhì)量、重心、引力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量、重心、引力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量性質(zhì)性質(zhì): :估值、單調(diào)、中值定理估值、單調(diào)、中值定理計(jì)算計(jì)算直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法極坐標(biāo)法極坐標(biāo)法換元法換元法性質(zhì)性質(zhì): :估值、單調(diào)、中值定理估值、單調(diào)、中值定理計(jì)算計(jì)算直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法球面坐標(biāo)法球面坐標(biāo)法柱面坐標(biāo)法柱面坐標(biāo)法高等數(shù)學(xué)重積分計(jì)算的關(guān)鍵重積分計(jì)算的關(guān)鍵: :1. 1. 選擇坐標(biāo)系選擇坐標(biāo)系2. 2. 確定積分次序和積分

2、限確定積分次序和積分限3. 3. 計(jì)算積分限計(jì)算積分限高等數(shù)學(xué)基本內(nèi)容：基本內(nèi)容：一、積分坐標(biāo)系的選擇及積分次序的確定一、積分坐標(biāo)系的選擇及積分次序的確定二、積分定義及性質(zhì)的應(yīng)用二、積分定義及性質(zhì)的應(yīng)用四、換元法的使用四、換元法的使用三、對(duì)稱性的利用三、對(duì)稱性的利用五、綜合例題五、綜合例題高等數(shù)學(xué)Oxx+y=121y一、積分坐標(biāo)系的選擇及積分次序一、積分坐標(biāo)系的選擇及積分次序例例1(1)1(1).),(:1201dxyxfdyy 交交換換積積分分次次序序分析分析: : 由積分限先定出積分區(qū)由積分限先定出積分區(qū)域域D，然后再交換積分次序，然后再交換積分次序. .解解 Ddxdyyxf),(dxy

3、xfdyy 1201),(dyyxfdxx 1021),(dxyxfdyy 2101),(高等數(shù)學(xué).sin10 xxdyyydx計(jì)算計(jì)算 解解1 10sin)1(dyyy1sin1 yyxxdxyydydyyydx2sinsin1010例例1(2)1(2)被積函數(shù)被積函數(shù): :直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)+ +換序換序 解解2且且則則記記,sin2sin)(,sin)(xxxxxFdyyyxFxx . 1sin1)2sin(sin)sin2sin()()()(sin101010101010 dxxxdxxxxxxdxxFxxxFdxxFdyyydxxxyOx y=x 1xy 高等數(shù)學(xué)例例1(3)1(3).

4、)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證明證明 證證 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa 被積函數(shù)被積函數(shù): : 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)+ +換序換序高等數(shù)學(xué)解解1 xxvudttftxdttfdudv02000.)()(21)(證明：證明：（教材（教材P113:6P113:6）t=u(v,v)utO;)()()()(0000 vvvtvudttftvdutfdtdttfdu;)()(21)()()()(02000 xxxtxvdttf

5、txdvtftvdtdttftvdvt=v(x,x)vtO xxvudttftxdttfdudv02000.)()(21)(xv例例1(4)1(4)三次積分換序化為兩個(gè)二次積分換序三次積分換序化為兩個(gè)二次積分換序高等數(shù)學(xué)解解2 (截面法截面法)u=vu=tvuOx(x,x) xxvuDvuxDxvudttftxdttfdudvtxdvduxvvutuDdvdudttfdttfdudvvuvu0200020000.)()(21)(,)(21.,:,)()(圍成圍成由由 被積函數(shù)被積函數(shù): : 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)+ +截面法截面法高等數(shù)學(xué)例例2(1)2(1)解解 ( (積分區(qū)域積分區(qū)域: : 直角坐

6、標(biāo)直角坐標(biāo)) ). 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中計(jì)算計(jì)算 1D2D3D分析分析: : 先去掉絕對(duì)值符號(hào)先去掉絕對(duì)值符號(hào) dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 高等數(shù)學(xué)Ox1y例例2(2)2(2)解解 ( (積分區(qū)域積分區(qū)域+ +被積函數(shù)被積函數(shù): : 極坐標(biāo)極坐標(biāo)) ).0, 02| ),(,12222 yxyxyxDaadyxxyD，最最大大整整數(shù)數(shù)，表表示示不不超超過過的的其其中中計(jì)計(jì)算算分析分析: : 根據(jù)取整函數(shù)劃分積分區(qū)域根據(jù)取整函數(shù)劃分積分區(qū)域D1D2，記記0, 021| ),(0, 01

7、| ),(222221 yxyxyxDyxyxyxDx2+y2=1.83cossin2cossin212132010320222121 drddrddxydxydyxxyDDDDD則則高等數(shù)學(xué)例例2(3)2(3). 1:222 zyxdvez，計(jì)計(jì)算算 解解1 ( (被積函數(shù)被積函數(shù): :直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)+ +截面截面) )即即截截面面法法法法，故故采采用用先先二二后后一一為為圓圓域域的的函函數(shù)數(shù)，截截面面被被積積函函數(shù)數(shù)僅僅為為分分析析：)(1)(222zyxzDz )(2|對(duì)對(duì)稱稱性性上上 dvdveezz 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 注注: : 若被積函

8、數(shù)是單變量函數(shù)若被積函數(shù)是單變量函數(shù), ,則首先考慮截面法。則首先考慮截面法。高等數(shù)學(xué) 解解2 ( (積分區(qū)域積分區(qū)域: :球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)+ +換序換序) )用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)積積分分區(qū)區(qū)域域?yàn)闉榍蚯蝮w體，故故采采分分析析：)(2對(duì)對(duì)稱稱性性上上 dvedvezz 2010cos220sin2drdderr.2 )(sin420cos102換換序序 ddrerr注記注記1.1.本題兩種不同坐標(biāo)系解法的難度有一定的差別本題兩種不同坐標(biāo)系解法的難度有一定的差別, , 請(qǐng)注意和收集同類型題目請(qǐng)注意和收集同類型題目; ;2.2.本例中涉及絕對(duì)值和取整運(yùn)算本例中涉及絕對(duì)值和取整運(yùn)算, ,相似的運(yùn)算還

9、有相似的運(yùn)算還有取最值以及符號(hào)函數(shù)等。取最值以及符號(hào)函數(shù)等。高等數(shù)學(xué)例例3 3.32222)(所所圍圍的的體體積積計(jì)計(jì)算算由由曲曲面面zazyx 分析分析: : 體積可用定積分、二重積分和三重積體積可用定積分、二重積分和三重積分計(jì)算，選擇時(shí)要根據(jù)分計(jì)算，選擇時(shí)要根據(jù)區(qū)域區(qū)域而定而定. . 解解 ( (積分區(qū)域積分區(qū)域: :球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)+ +換序換序) ) dvVdrddar sin3cos022020 203cossin231daa33 高等數(shù)學(xué)例例4 4).(,)()(,0,)(222222tFdvyxfztFtyxazuf 求求記記空空間間區(qū)區(qū)域域圍圍成成的的是是由由連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)解解被

10、積函數(shù)被積函數(shù): : 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo) atatdzrdrrfddzzrdrdtF0022002020)()( trdrrfata0223)(23)(232)(23tatftatF 高等數(shù)學(xué):,1|,)(證證明明確確定定由由區(qū)區(qū)域域?yàn)闉檫B連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xyDuf例例5 5dxxxfdxxxfdxdyfIxDyx)(arccos4()()(211022)1 分析分析: : 要證明的等式的左端是重積分，右端是定積分，觀察要證明的等式的左端是重積分，右端是定積分，觀察兩端積分被積函數(shù)的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)需將兩端積分被積函數(shù)的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)需將 x2+y2 看成一整體看成一整體. . 高等數(shù)學(xué)D12

11、D11證明證明: (被積函數(shù)被積函數(shù): 極坐標(biāo)極坐標(biāo)+換序換序). 1,121111 rDDDDD分分界界線線為為在在第第一一象象限限的的部部分分為為設(shè)設(shè)將式中將式中r的換成的換成x,即得證即得證. DdxdyyxfI1)(422由對(duì)稱性知由對(duì)稱性知 41arccos211040)(4)(4rdrrfdrddrrrf 2110)()arccos4()(1drrrfdrrrfr cos1040)(4drrrfd 交換積分次序交換積分次序高等數(shù)學(xué)二、積分定義及性質(zhì)的應(yīng)用二、積分定義及性質(zhì)的應(yīng)用例例6 6).,(),(),(),0(:),(2222yxfdxdyyxfyyxfaayxDyxfD，求求

12、為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè) 解解.),(,),(2yAyxfdxdyyxfAD 則則設(shè)設(shè)定義定義.4sin)(),(4220023222aAadrrdAadxdyyAdxdydxdyyAdxdyyxfAaDDDD 于于是是.)1(4),(224yaayxf 高等數(shù)學(xué)例例7 7).()()()()()(:222(施施瓦瓦茲茲不不等等式式柯柯西西證證明明 dxxgdxxfdxxgxfbababa證證)()()(22dxxdxxIbabagf )()()(22dyydxxbabagf .,:,)()(22byabxaDdxdyyxDgf 同理同理)()()(22dxxdxxIbabagf )()()

13、(22dxxdyybabagf .,:,)()(22byabxaDdxdyxyDgf 高等數(shù)學(xué)dxdyxyIDgfygxf)()(222)()(22 則則dxdyxgyfDygxf)()()()(2 dyygyfdxxgxfbaba )()()()(2)()(22dxxgxfba )()()()()(222(dxxdxxdxxgxfbababagf 故故注注: : 本題提供的將定積分問題轉(zhuǎn)化為重積分問題本題提供的將定積分問題轉(zhuǎn)化為重積分問題的方法具有代表性的方法具有代表性, , 希望同學(xué)們能靈活應(yīng)用希望同學(xué)們能靈活應(yīng)用. .性質(zhì)性質(zhì): :單調(diào)單調(diào)高等數(shù)學(xué).d)(2d)( ,1, 0)(1010

14、 xxfxxxfxf證證明明不不等等式式上上連連續(xù)續(xù)且且單單調(diào)調(diào)增增加加在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù). 0)()()(1, 0 yfxfyx上上有有由由題題設(shè)設(shè)知知在在例例8 8證證.d)(2d)( 1010 xxfxxxf所所以以. 0)()()(, 10 , 10: DdxdyyfxfyxyxD則則記記. 0d)(d)(2 )()()()( )()()(1010 xxfxxfxdxdyxyfyxfyyfxxfdxdyyfxfyxDD而而性質(zhì)性質(zhì): :單調(diào)單調(diào)高等數(shù)學(xué)例例 9 9使使存存在在由由積積分分中中值值定定理理,),(,D 注注: : 三重積分也有類似利用中值定理求極限三重積分也有類似利用中值定

15、理求極限的題目的題目( (參見習(xí)題冊(cè)參見習(xí)題冊(cè)), ), 希望同學(xué)們掌握希望同學(xué)們掌握. .性質(zhì)性質(zhì): :積分中值定理積分中值定理解解.),(,:,),(1lim22220上上連連續(xù)續(xù)在在求求DyxftyxDdxdyyxftDt )(),(),(),(DAfdxdyfdxdyyxfDD tf2),( ).0 , 0(),(lim),(1lim020ffdxdyyxfttDt 則則高等數(shù)學(xué)xy三、對(duì)稱性的利用三、對(duì)稱性的利用(一一)、二重積分的對(duì)稱性、二重積分的對(duì)稱性使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性對(duì)稱性；、被積函數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)

16、于在積分區(qū)域上的關(guān)于對(duì)應(yīng)積分變量對(duì)應(yīng)積分變量的的奇偶性奇偶性.D D1 當(dāng)當(dāng)積分區(qū)域積分區(qū)域D關(guān)于關(guān)于y軸軸對(duì)稱對(duì)稱，且，且被積函數(shù)被積函數(shù)f(x,y)是是關(guān)于關(guān)于x的的奇函數(shù)奇函數(shù)，則，則二重積分為零二重積分為零，若，若被積函數(shù)被積函數(shù)f(x,y)是關(guān)于是關(guān)于x的的偶函數(shù)偶函數(shù)，則，則二重積分二重積分為為D在在y軸右方的半軸右方的半個(gè)閉區(qū)域的個(gè)閉區(qū)域的二二重積分重積分D1的的兩倍兩倍. 高等數(shù)學(xué)使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性對(duì)稱性；、被積函數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)域上的在積分區(qū)域上的對(duì)應(yīng)積分變量對(duì)應(yīng)積分變量的的奇偶性奇偶性.(二二)、三重積

17、分的對(duì)稱性、三重積分的對(duì)稱性高等數(shù)學(xué) 1111DDDDDDD1),(),(D.),(2),( C.),(2),( B.0),( A._),(),(, 10 , 10:, 10 , 11:dxdyxyfdxdyyxfdxdyxyfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfyxfyxfyxDyxD；則則不不正正確確的的等等式式是是且且設(shè)設(shè)A例例 10(1)高等數(shù)學(xué).)(;)(;)(;)(._min_;max,cos, 11, 11:432141414221IDICIBIAIIxdxdyyIDDDDyxDkkkkDkk 則則如如圖圖，設(shè)設(shè)A例例 10(2)解解 I10; I2=I4=0

18、; I30.y x D1D2D4D3C高等數(shù)學(xué).)(, 1)1(222 dvzyxzyx求求：設(shè)設(shè)空空間間區(qū)區(qū)間間.34)1(120220 dzzzdxdyzdzdvzdvydvxzD原原式式 解解1 1 ( (被積函數(shù)被積函數(shù): : 截面法截面法) )例例 1111積分區(qū)域關(guān)于積分區(qū)域關(guān)于yOz面和面和zOx面對(duì)稱面對(duì)稱,被積函數(shù)被積函數(shù)分別是分別是x和和y的奇函數(shù)的奇函數(shù). .則則：設(shè)設(shè),)1(1222 zyxDzxz12.y高等數(shù)學(xué).)(, 1)1(222 dvzyxzyx求求：設(shè)設(shè)空空間間區(qū)區(qū)間間 dvzdvzdvydvx原原式式 解解2 2 ( (積分區(qū)域積分區(qū)域: : 球面坐標(biāo)球面

19、坐標(biāo)) )例例 1111xz12.y積分區(qū)域關(guān)于積分區(qū)域關(guān)于yOz面和面和zOx面對(duì)稱面對(duì)稱,被積函數(shù)被積函數(shù)分別是分別是x和和y的奇函數(shù)的奇函數(shù). . cos2032020cossindrrdd34 高等數(shù)學(xué)設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.例例 1111分分析析： 由由于于 1)(xdyyf不不能能直直接接積積出出，故故考考慮慮改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(,)()(010 xdyxfyfdx解解1 1)899,)()(：見見教

20、教材材的的輪輪換換對(duì)對(duì)稱稱性性對(duì)對(duì)被被積積函函數(shù)數(shù)Pyxyfxf高等數(shù)學(xué)則則 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 2)()(2110Adyyfxfdxx 故故dxyFxfdyyfxfdxxx 101110|)()()()(解解2 2則則令令,)()(0 xdttfxFdxxFxfdxFxf 1010)()()1()(2)1(21)1()()()()1(2221010|AFFxdFxFxFF 高等數(shù)學(xué)使用換元法需注意的兩個(gè)方面使用換元法需注意的兩個(gè)方面: :.),(),(. 2;.

21、 1的的計(jì)計(jì)算算雅雅可可比比行行列列式式的的確確定定新新區(qū)區(qū)域域vuyxJD .),(),(1),(),(. 2;. 1JyxvuJvuyxJDTD來(lái)來(lái)得得到到時(shí)時(shí)可可通通過過求求當(dāng)當(dāng)不不便便求求確確定定的的邊邊界界曲曲線線通通過過變變換換由由 方法方法: :四、換元法的使用四、換元法的使用高等數(shù)學(xué)廣義極坐標(biāo)廣義極坐標(biāo): :廣義球面坐標(biāo)廣義球面坐標(biāo): :)(;),(),(,sin,cos適適用用于于橢橢圓圓abrryxJbryarx )(;sin),(),(|,cos,sinsin,cossin2適適用用于于橢橢球球 rabcrzyxJcrzbryarx 高等數(shù)學(xué)例例 1212.2,),0(2

22、,22圖圖形形的的面面積積所所圍圍求求由由xyxyaaxyaxy 分析分析: : 區(qū)域的邊界較復(fù)雜區(qū)域的邊界較復(fù)雜, , 考慮換元考慮換元. . 解解;,vuxyxy 令令; 21 ,2:22 vauaD則則;1212),(),(vJvyxvuJ 得得且且由由知知?jiǎng)t則由由 DdxdxA2ln21121|221222aduvdvdudvJAaaD 高等數(shù)學(xué)例例 1313. 1:,)(22 yxyxDdxdyyxID其其中中計(jì)計(jì)算算解解1,23)21()21( :22 yxD.)1()(23 DDdudvvudxdyyxI則則; 1),(),(,:2322 vuyxJDvu,2121vyux 令令

23、 換元換元+對(duì)稱對(duì)稱高等數(shù)學(xué)解解2,sin21,cos21 ryrx 令令.23)sincos1()( DDrdrdrrdxdyyxI 則則;),(),(,20 ,0:23rryxJrD 高等數(shù)學(xué).)(, 1)1()1()1(222 dvzyxzyx求求：設(shè)設(shè)空空間間區(qū)區(qū)間間.4343)2(3)1(1333,)1(1)1()1(203220220222 dzzzdzzzdxdyzdzdvzzyxDzDz原原式式則則：設(shè)設(shè) 解解1 ( (被積函數(shù)被積函數(shù): : 截面法截面法) )例例 1414高等數(shù)學(xué).4343000)(3)3. 1:, 1, 1, 1222 Vdudvdwwvuwvuuvwzw

24、yvxuT（原原式式于于是是，坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下為為在在則則：設(shè)設(shè) 解解2 ( (積分區(qū)域積分區(qū)域: : 換元法換元法+ +對(duì)稱對(duì)稱) ).)(, 1)1()1()1(222 dvzyxzyx求求：設(shè)設(shè)空空間間區(qū)區(qū)間間例例 1414高等數(shù)學(xué)例例1515:, 122試證明不等式試證明不等式為為設(shè)設(shè) yxD.52sin16561)(223 dxdyyxD證證drrdxdyIryxD 1033sin2sin)(22)10(sin!33 xxxxx,16561)!3(21093 drrrr而而 522104drr.52sin16561)(223 dxdyyxD五、綜合問題五、綜合問題 二重積分極坐標(biāo)二重

25、積分極坐標(biāo)+泰勒公式泰勒公式+定積分單調(diào)性定積分單調(diào)性高等數(shù)學(xué)例例1616.1lim24/)(20022 txxutxxdueedt求極限求極限解解.,2002)(202)(2022 xtutxtxutxduedtduedtIxtx于是于是時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng).1112)(204/24/)(202222 xtutxxtxxutxduedtedueedt故故則則令令,202)(22 txwxtutdweduewtu.)2(2020202020222 xwwxwxtxwxdwewxdtedwdwedtI高等數(shù)學(xué) 定積分換元定積分換元+二重積分換序二重積分換序+洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則+變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo)

26、.21,210 所所以以所所求求極極限限為為極極限限為為時(shí)時(shí)，同同理理可可得得當(dāng)當(dāng) x.)2(1111204/2)(204/2222 xwxxtutxxdwewxeduedte即即.21221lim22lim)2(11lim1lim4/2004/20200204/024/)(200222222222 xxwxxxwxwxxwxxtxxutxxexdweexdwwedwexdwewxedueedt高等數(shù)學(xué)).(2)(,0:)2()()1(.| ),()(,| ),()(,)()()(,)()()()(22222222)(22)(22)(222tGtFttFtyxyxtDtzyxzyxtdxxfd

27、yxftGdyxfdvzyxftFxftttDtDt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證證明明在在區(qū)區(qū)間間上上的的單單調(diào)調(diào)性性；討討論論其其中中連連續(xù)續(xù)且且恒恒為為正正，設(shè)設(shè)例例17 17 ( (教材教材P113:7)高等數(shù)學(xué)解解 (1).)(2)(2)(,)()(2)(,)(2)()()(,)(4sin)()()(02020202221020220)(222022022020)(2221 tttttttDtttdxxfdrrfrtGdrrfrdrrfrIItFdrrfrdrrfrddyxfIdrrfrdrrfrdddvzyxfI 極極坐坐標(biāo)標(biāo)球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)高等數(shù)學(xué).)(00)()()()(2)()()()()(2

28、)()(2)(0220220220222022202022單單調(diào)調(diào)增增加加的的時(shí)時(shí)，是是當(dāng)當(dāng)tFtdrrfrdrrfrtrtftdrrfrdrrfrtftdrrfrtftdrrfrdrrfrtFttttttt 高等數(shù)學(xué) ttttttttttttttdttfdrrfrdrrfrdrrfrdrrfdrrfrdrrfdrrfrdrrfrdrrfrtGtFdrrfdrrfrtGdrrfrdrrfrtF0202020202022020202022020202022)()()()()()(2)()()()(2)(2)()()()(,)()(2)(知知，由由0)()()()()2()()()(2)()()(

29、)()()()()()(0222022220220222022202202022 ttttttttdrrfrttfdrrfrrtttfdrrfrtftdrrfrtfdrrftfttHdrrfrdrrfdrrfrtH則則，記記. 0)(2)( tGtF (2)二重積分極坐標(biāo)二重積分極坐標(biāo)+三重積分球面坐標(biāo)三重積分球面坐標(biāo)+變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo)+單調(diào)性的判斷單調(diào)性的判斷高等數(shù)學(xué) ttttttttttttttdttfdrrfrdrrfrdrrfrdrrfdrrfrdrrfdrrfrdrrfrdrrfrtGtFdrrfdrrfrtGdrrfrdrrfrtF020202020202202020202

30、2020202022)()()()()()(2)()()()(2)(2)()()()(,)()(2)(知知，由由，知知由由柯柯西西不不等等式式： tttbababadrrfdrrfrdrrfrdxxgdxxfdxxgxf02022022222)()()()()()()()()(. 0)(2)( tGtF (2)二重積分極坐標(biāo)二重積分極坐標(biāo)+三重積分球面坐標(biāo)三重積分球面坐標(biāo)+變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo)+柯西不等式柯西不等式高等數(shù)學(xué).),(1)10(.2200022立體的體積所圍成處的切平面與拋物面上任意一點(diǎn)求拋物面分四yxzyxPyxz.2)()(1 dd)122(, 1)()(, 122, 12

31、2),(120202220200020202020002220200000022yyxxyxyxyxyyxxVyyxxDyxyyxxzyxzyxyyxxzyxPyxzDD所圍成的立體的體積：求得投影區(qū)域處的切平面為在點(diǎn)拋物面解高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)練習(xí)練習(xí). 14:,)41(. 12222 yxDdxdyyxID求求.10 , 10:,. 2,max22 yxDdxdyeIDyx求求. 321312dydxIxey 求求. 1:,)(. 44422 yxDdxdyyxID求求高等數(shù)學(xué)dyydzdxxzxezy 1010102)1()1(. 6 求求. 1:,)(. 7222222222 czbyax

32、dvzyx其其中中計(jì)計(jì)算算 bababadxxgxfabdxxgdxxfbabaxgxf)()()()()(:),0,(,)(),(. 8證證明明上上的的連連續(xù)續(xù)增增函函數(shù)數(shù)均均為為設(shè)設(shè)9.:,)(證證明明單單調(diào)調(diào)減減少少且且恒恒大大于于零零在在上上連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xf 1010210102)()()()(dxxfdxxdxxxfdxxxff高等數(shù)學(xué)參考答案參考答案:(簡(jiǎn)解在后簡(jiǎn)解在后)2. 4);1(21. 3; 1. 2;4. 14 ee)(154. 7;41. 6);89290(60. 5222cbaabce 高等數(shù)學(xué). 1:,)(. 44422 yxyxDdxdyID求求drrdI

33、 444cossin03408221arctan2112tan1021042 ttdtttt)(tantan1sec2cossin240424044 dd高等數(shù)學(xué)9.:,)(證證明明單單調(diào)調(diào)減減少少且且恒恒大大于于零零在在上上連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xf 1010210102)()()()(dxxfdxxdxxxfdxxxff簡(jiǎn)證簡(jiǎn)證 1021010102)()()()(dxxxdxxfdxxxfdxxff只要證明只要證明 1021010102)()()()(dyyydxxfdyyyfdxxff即即證證0)()()()(1010 dxdyyfxfyyfxfI即即證證高等數(shù)學(xué)dxdyxfyfxxfyfI)()()()(1010 同同理理dxdyyfxfxyyfxfI)()()()(21010 于于是是0)()()(0)( yfxfxyfxf可可保保證證的的單單調(diào)調(diào)性性及及由由則本題得證則本題得證.高等數(shù)學(xué)解解1 xxvudttftxdttfdudv02000.)()(21)(證明：證明：作業(yè)講解作業(yè)講解P113:6t=u(v,v)utO;)()()()(0000 v