第七章彎曲變形 第一節(jié)積分法

1、第七章第七章 彎曲變形彎曲變形第一節(jié)第一節(jié) 引言引言2FF2F二、梁對稱彎曲時的變形二、梁對稱彎曲時的變形對稱彎曲時，梁的軸線彎成一條光滑連續(xù)的平面曲線。對稱彎曲時，梁的軸線彎成一條光滑連續(xù)的平面曲線。該曲線稱為梁的撓曲線該曲線稱為梁的撓曲線Fx建立圖示坐標系，彎曲變形所導致的梁橫截面的位移可建立圖示坐標系，彎曲變形所導致的梁橫截面的位移可w橫截面形心的豎向線位移，為撓曲線的縱坐標橫截面形心的豎向線位移，為撓曲線的縱坐標 w，1. 撓度（線位移）撓度（線位移）即規(guī)定上正下負；即規(guī)定上正下負；用兩個參量來描述用兩個參量來描述 w撓曲線( )wf x撓曲線方程撓曲線方程橫截面繞中性軸轉動的角度，橫

2、截面繞中性軸轉動的角度，2. 轉角（角位移）轉角（角位移）記作記作 ，規(guī)定逆時針旋向為正，反之為負規(guī)定逆時針旋向為正，反之為負Fxw( )wf x第二節(jié)第二節(jié) 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程 一、梁的撓曲線（中性層）曲率一、梁的撓曲線（中性層）曲率 zEIxM)(1式中，式中，EIz 稱為梁的抗彎剛度稱為梁的抗彎剛度橫力彎曲時橫力彎曲時, M 和和 都是都是x的函數(shù)，的函數(shù)，略去剪力對梁的位移的影響略去剪力對梁的位移的影響, 則則1( )( )M xxEI Fxw( )wf x二、梁的撓曲線近似微分方程二、梁的撓曲線近似微分方程高等數(shù)學中的曲率計算公式高等數(shù)學中的曲率計算公式3 2211

3、ww 322|( )(1)wM xEIwOxwxOw0M0MMMMM0 w0w322( )(1)wM xEIw 322( )(1)wM xEIw( )M xwEI2w2w Fxwx tan( )M xwEI ( )MxxdxEIw ( )M xw xdxEI( )d dzM xwx xEI dxx 轉角方程轉角方程 撓曲線方程撓曲線方程第三節(jié)第三節(jié) 計算彎曲變形的積分法計算彎曲變形的積分法說明：說明：1）若彎矩方程）若彎矩方程 M(x) 為分段函數(shù)，積分則應分段進行；為分段函數(shù)，積分則應分段進行；2）積分常數(shù)由梁的位移邊界條件以及位移連續(xù)條件確定）積分常數(shù)由梁的位移邊界條件以及位移連續(xù)條件確定

4、二、確定位移邊界條件二、確定位移邊界條件00AxBlAwx00AxwwABlxwa00Axww0Bx lwwFxwlAB例例1 圖圖示懸臂梁，自由端承受集中力示懸臂梁，自由端承受集中力 F 作用，試建立梁的轉角作用，試建立梁的轉角方程和撓曲線方程，并計算最大撓度和最大轉角。設梁的抗彎剛方程和撓曲線方程，并計算最大撓度和最大轉角。設梁的抗彎剛度度 EI 為常數(shù)。為常數(shù)。x1）列彎矩方程）列彎矩方程解：解： M xF lx 2）建立轉角方程和撓曲線方程）建立轉角方程和撓曲線方程對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉角方程對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉角方程 212FlxxCEI再積分一次，得撓曲線

5、方程再積分一次，得撓曲線方程23126FlxxCxDEI M xdxEI1F lx dxEI( )d dzM xwx xEI dxxFxwlABx3）確定積分常數(shù)）確定積分常數(shù)該梁的位移邊界條件為該梁的位移邊界條件為00 x00 xw解得積分常數(shù)解得積分常數(shù)0C 0D 故得梁的轉角方程和撓曲線方程分別為故得梁的轉角方程和撓曲線方程分別為212FlxxEI23126FlwxxEI212FlxxCEI23126FlwxxCxDEIFxwlABx4）計算最大撓度和最大轉角）計算最大撓度和最大轉角212FlxxEI23126FlwxxEI由梁的變形圖易見，梁的最大由梁的變形圖易見，梁的最大撓度和最大轉

6、角均發(fā)生于撓度和最大轉角均發(fā)生于 x = l 的自由端面的自由端面 B 處，故得處，故得maxx lwwmaxx l最大撓度：最大撓度：最大轉角：最大轉角：212FlllEI 23126FlllEI 33FlEI2()2FlEI逆時針例例2 圖圖示簡支梁，在截面示簡支梁，在截面 C 處受集中力處受集中力 F 作用，試建立梁的轉作用，試建立梁的轉角方程和撓曲線方程，并計算最大撓度和最大轉角。設梁的抗彎角方程和撓曲線方程，并計算最大撓度和最大轉角。設梁的抗彎剛度剛度 EI 為常數(shù)。為常數(shù)。1）列彎矩方程）列彎矩方程解：解：AbFFlBaFFl支座反力支座反力分段列彎矩方程分段列彎矩方程 AC 段（

7、段（0 x1 a）11FbM xxlCB 段（段（a x2 l ）222FbM xxF xalAFBF1x2x分段積分，得轉角方程和撓曲分段積分，得轉角方程和撓曲線方程分別為線方程分別為AC 段（段（0 x1 a）CB 段（段（a x2 l ）2）建立轉角方程和撓曲線方程）建立轉角方程和撓曲線方程21112FbxCEIl3111 116FbwxC xDEIl22222222FbFxxaCEIlEI3322222266FbFwxxaC xDEIlEIAFBF1x2x3）確定積分常數(shù)）確定積分常數(shù) 位移邊界條件：位移邊界條件：1100Axww220Bxlww位移連續(xù)條件：位移連續(xù)條件： 1212x

8、axa1212xaxaww根據(jù)上述條件求得四個積分常數(shù)分別為根據(jù)上述條件求得四個積分常數(shù)分別為AFBF1x2x120DD22126FbCCblEIlAC 段（段（0 x1 a）CB 段（段（a x2 l ）所以，最終梁的轉角方程和撓曲線方程分別為所以，最終梁的轉角方程和撓曲線方程分別為2221136FbxblEIl3221116FbwxblxEIl2222222226FbFFbxxablEIlEIEIl33222222666FbFFbwxxablxEIlEIEIlAFBF1x2xAC 段（段（0 x1 a）CB 段（段（a x2 l ）2221136FbxblEIl3221116Fbwxblx

9、EIl2222222226FbFFbxxablEIlEIEIl33222222666FbFFbwxxablxEIlEIEIl4）計算最大轉角和最大撓度）計算最大轉角和最大撓度 假設假設 a b，可得梁的最大轉角，可得梁的最大轉角max6BFab laEIlAFBF1x2xAC 段（段（0 x1 a）CB 段（段（a x2 l ）2221136FbxblEIl3221116FbwxblxEIl2222222226FbFFbxxablEIlEIEIl33222222666FbFFbwxxablxEIlEIEIl最大撓度最大撓度221322max139 3lbxFblbwwEIl AFBF1x2x例例3max maxwABqRR2ABqlFFABqFRAFRBx